四川省德阳市中江县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省德阳市中江县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析四川省德阳市中江县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题原卷版docx、精品解析四川省德阳市中江县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1. 下列四个车标图形中，为中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称的概念，将图形绕对称中心旋转能和原图形重合就是中心对称图形．
【详解】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形；
B选项是中心对称图形；
C选项是轴对称图形不是中心对称图形；
D选项是轴对称图形不是中心对称图形；
故选B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的判断方法是解决本题的关键．
2. 一元二次方程经过配方变形为，则k的值是（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法将方程变形得，即可求解．
【详解】解：，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键．
3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，
解得：且k≠2．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
4. 如图，中，，把绕着点C顺时针旋转得到，若点恰好在一条直线上，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出，再根据全等的性质即可解答．
【详解】解：绕着点C顺时针旋转得到，
，
，，，
，故D结论错误．
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
5. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 2021B. 2023C. D. 4046
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，即，且，
．
故选：A．
6. 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题一元二次方程的应用，设为米，则平行于墙的一边长为米，依题意即可列出方程，正确用含的式子表示出平行于墙的一边长是解题的关键．
【详解】解：设为米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得，，
故选：．
7. 若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A. B. 3C. 3或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键．
8. 对于函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次函数的解析式确定对称轴；再根据抛物线开口向上且当时，随的增大而减小可进而确定出a的取值范围．
【详解】解：∵二次函数，
∴该二次函数的对称轴为直线，且抛物线开口向上，
又∵当时，y随x的增大而减小，
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查的是二次函数图象与系数的关系，要确定出a的取值范围，需借助二次函数图象的性质进行分析．
9. 下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A.
B. 这个函数的最小值是
C. 一元二次方程的根是
D. 当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可判断A、B、D选项，解相应的方程即可判断C选项，进而可得答案.
【详解】解：把点代入，得
，解得：，
所以抛物线的解析式为；
∴，这个函数的最小值是，当时，y的值随x值的增大而增大，
故A、B、D选项错误；
方程即为，此方程的两根是，故选项C正确；
故选：C.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识，正确求解函数的解析式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
10. 已知点关于轴的对称点坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于原点的对称点是（-x，-y），据此即可求得点A关于原点的对称点的坐标．
【详解】解：∵点A关于x轴的对称点坐标为（-1，2），
∴点A坐标为（-1，-2）；
∴点A关于原点的对称点的坐标为（1，2）．
故选A．
【点睛】本题考查关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，解题关键是熟练掌握坐标变化规律．
11. 已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解方程-x2+x+6=0得A(-2，0)，B(3，0)，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+2)(x-3)，即y=x2-x-6(-2≤x≤3)，然后求出直线y=x+m经过点B(3，0)时m的值和当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围．
【详解】解：如图，当时，，解得，
∴A(-2，0)，B(3，0)，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，则下方对应的解析式为，
∵y=x为第一、三象限的角平分线，直线y=x+m可以看成是y=x上下平移m个单位得到，
∴当直线y=x+m刚好经过B点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的
直线y=x+m1所示，
∴，解得；
当直线y=x+m刚好经过C点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的
直线y=x+m2所示，
∴联立方程组，整理得到：，
∵直线y=x+m2和y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点C，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当新函数图像与y=x+m有4个交点时，，
综上所述：直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法及二次函数的图像和性质，考查了二次函数图像的坐标变化，本题的关键是求出沿x轴翻折后对应的解析式．
12. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线图像的性质得到a的范围，根据对称轴和x轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故①符合题意；
∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∵与轴的交点在，之间包含端点，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∵顶点坐标 ，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为n，
∴对于任意实数m，，
∴，
∴，故③符合题意；
∵顶点坐标，且开口向下
∴直线与抛物线没有交点，
∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．
二.填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
13. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】解出一元二次方程的两根，结合三边关系直接求解即可得到答案．
【详解】解：解方程得：，，
∵，，
∴不符合题意，符合，
∴这个三角形周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次二次方程及三角形的三边关系，解题的关键是解出一元二次方程的解结合三边关系判断．
14. 如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动___秒后，△PBQ面积为5个平方单位．
【答案】1．
【解析】
【分析】由题意：PA=t，BQ=2t，则PB=6﹣t，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【详解】由题意：PA=t，BQ=2t，则PB=6﹣t，
∵×(6﹣t)×2t=5，
解得t=1或5(舍去)，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
15. 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，根据确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案．
【详解】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，
则，
令，
解得，，
∴．
令，则，
∴．
又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
16. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得函数图像开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为，根据的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置值最小即可得出函数值的取值范围．
【详解】解：，
可知函数图像开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为，
的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置值最小，
当时，，
当时，函数值的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像与不等式解集，二次函数一般式化成顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
17. 桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为______米．

【答案】
【解析】
【分析】由待定系数法求出函数表达式，进而求解．
【详解】解：由题意得，点，
设抛物线的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
即抛物线的表达式为：，
当时，即，
解得：（米，
则在距离水面2米处桥拱宽度为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
18. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B的坐标为，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则b的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则直线l必过平行四边形对角线的交点，即为线段的中点，可知的中点坐标为，然后将其代入直线方程即可得解．
【详解】解：直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，
直线l必过平行四边形对角线的交点，即为线段的中点，设为点E（如图），
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查一次函数图像平分平行四边形的面积问题，熟练掌握一次函数的图像与性质，平行四边形的性质是解此题的关键．
19. 对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有一根，则；
②若，则；
③若方程的两个根是，那么方程的两个根为；
④若c是方程的一个根，则一定有成立．
其中正确的是 ________．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可．
【详解】解：①若方程有一根，则，故正确；
②若，则可知方程有一个根为，
则，故正确；
③若方程的两个根是，
则或4，
所以方程的两个根为，故正确；
④若c是方程的一个根，
则，
当时，则一定有成立，故错误．
所以其中正确的是①②③．
故答案为：①②③．
三.解答题（共6小题，满分74分）
20. 用合适的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
【小问1详解】
解：移项可得：
∴
【小问2详解】
解：移项可得：
∴
21. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标________；
（3）已知P为x轴上一点．若△ABP的面积为3，直接写出点P的坐标________；
【答案】（1）见详解；（2）（0，2）；（3）（−1，0）或（−5，0）
【解析】
【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，描点得到△A1B1C1，利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2；
（2）连接AA2、BB2、CC2，它们相交于Q点，则Q点为对称中心，进而即可得到坐标；
（3）设P点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t＋3|×3＝3，然后解得P点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所作；
（2）如图，△A2B2C2与△ABC关于Q点成中心对称，Q点的坐标为（0，2），
故答案为（0，2）；
（3）设P点坐标为（t，0），
∵△ABP的面积为3，
∴×|t＋3|×3＝3，解得t1＝－1，t2＝－5，
∴P点坐标为（－1，0）或（－5，0）．
故答案为（－1，0）或（－5，0）．
【点睛】本题考查了图形与坐标−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22. 如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y= （2）点P的坐标为
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，代入三点即求得方程式；
（2）由△ABC的底边AB上的高为3，设△PAB的高为h，则|h|=3，则点P的纵坐标为3或-3，然后根据点P在x轴的下方，可知纵坐标只能为-3，然后代入求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线与y轴交于点C的坐标（0，3），
∴y=ax2+bx+3，
又∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，解得
∴抛物线的解析式为；
（2）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，
∵△ABC的底边AB上的高为3，
设△PAB的高为h，则|h|=3，又点P在x轴下方，∴点P的纵坐标为﹣3，
当时，得
∴点P的坐标为
【点睛】主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等底等高的三角形的面积相等，等腰三角形的性质以及解直角三角形．
23. 为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
【答案】（1）该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%
（2）2021年最多可购买电脑880台
【解析】
【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．
【小问1详解】
解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1＋x）2=7200，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；
【小问2详解】
解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500−m）台，
根据题意得：3500m＋2000（1500−m）≤86400000×5%，
解得：m≤880，
答：2021年最多可购买电脑880台．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的一元一次不等式．
24. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．
（1）求证：平分；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）BE⊥AB，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得到，，因此，得到，即可证明平分；
（2）由余角的性质推出，由等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质，即可证明；
（3）作于，由三角形内角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：作于，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求三角形面积等知识，关键是掌握旋转的性质．
25. 如图，抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），假设点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．当时，图象G的最大值与最小值的差为多少？
（3）将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线：与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据点P与点C的位置，结合图象分类讨论即可；
（3）根据平移求得点的坐标，根据抛物线恰好经过其中一个点的临界状态即可求解．
【小问1详解】
解:将，代入得：
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，令，
则，
∴，
在中，令，
则，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
又∵，抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，图象G取得最小值，最小值为；
当时，图象G取得最大值，最大值为5；
∴图象G的最大值与最小值的差为．
【小问3详解】
解：由平移方式可知：
若抛物线：恰好经过点
即：
解得：
若抛物线：恰好经过点
即：
解得：
故：若抛物线：与线段只有一个交点
则：或
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，线段问题，点的平移，二次函数图像的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
x
…
0
1
3
…
y
…
12
…