2022-2023学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5}，则集合(∁UA)∩B=( )
A. {x|02.“∃x∈R，x+|x|<0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x+|x|≥0B. ∀x∈R，x+|x|≥0
C. ∀x∈R，x+|x|<0D. ∃x∈R，x+|x|≤0
3.已知f(x)=x+1,(x≤1)−x+3,(x>1)，那么f[f(52)]的值是( )
A. 32B. 52C. 92D. −12
4.函数f(x)=x+lnx−3的零点位于区间( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.若函数f(x)=2x,x≤1lg12x,x>1，y=f(1+x)的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，设a=f(lg314),b=f(2−32),c=f(2−23)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a7.已知f(x)=(3a−1)x+4a,x<1lgax,x≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,13)C. [17,13)D. [17,1)
8.已知实数a、b，满足a=lg56+lg2625，3a+4a=5b，关于a、b下列判断正确的是( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知lg3a>lg3b，则下列不等式一定成立的是( )
A. 0<1a<1bB. lg3(a−b)>0C. 3a−b<1D. (13)a<(12)b
10.下面命题为真命题的是( )
A. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的既不充分也不必要条件
B. “ac<0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根”的充要条件
C. “m=2”是“M={x|mx2+(m+2)x+2=0}为单元素集”的充分而不必要条件
D. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
11.已知函数f(x)=|x|−x2，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最大值为14B. f(x)在(−1,0)上是增函数
C. f(x)>0的解集为(−1,1)D. f(x)+2x≥0的解集为[0,3]
12.定义域和值域均为[−a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，其中a>c>b>0，下列四个结论中正确有( )
A. 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C. 方程f[f(x)]=0有且仅有八个解D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知定义在R上的奇函数y=f(x)，当x≥0时，f(x)=3x+x+a，则f(−2)= ______．
14.方程x2−2ax+4=0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是______．
15.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt(k为正常数)求得．若k=12ln2，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为______min．
16.已知函数f(x)=−x2+2x+1，x∈[0,2]，函数g(x)=ax−1，x∈[−1,1]，对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[−1,1]，使得g(x2)≥f(x1)成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求值：
(Ⅰ)( 2−1)0+(169)−12+( 8)−43；
(Ⅱ)lg1100−ln e+2lg23−lg427⋅lg98.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|−2≤x≤8}，B={x|−3≤x≤5}．
(1)若C={x|m+1≤x≤2m−1}，C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围；
(2)若D={x|x>3m+2}，且(A∪B)∩D=⌀，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1，或x>b}．
(1)求a，b的值;
(2)当x>0，y>0，且ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=1−22x+1．
(Ⅰ)用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数；
(Ⅱ)当x∈[1,3]时，求函数g(x)=lg3f(x)的最值．
21.(本小题12分)
党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售.经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入I(x)(单位：万元)与售价量x(单位：万盒)之间满足关系式I(x)=56−2x,010．
(1)写出利润F(x)(单位：万元)关于销售量x(单位：万盒)的关系式；(利润=销售收入−成本)
(2)当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg12(x2+1)，g(x)=x2−ax+6．
(Ⅰ)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|21时，求g(x)x−1的最小值；
(Ⅱ)若对任意的x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}
∴CUA={x|x<2}
∵B={x|0≤x<5}
∴(CUA)∩B={x|0≤x<2}
故选B
根据全集U=R，集合A={x|x≥2}，易知CUA={x|x<2}再根据交集定义即可求解
本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题的否定．存在量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查．
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以：“∃x∈R，x+|x|<0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：由分段函数可知，f(52)=−52+3=12，
∴f[f(52)]=f(12)=12+1=32，
故选A．
根据分段函数，直接代入进行求解即可．
本题主要考查利用分段函数进行求值问题，直接代入即可，注意分段函数的取值范围，比较基础．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=x+lnx−3，(x>0)
∴f′(x)=1+1x，可得f′(x)>0，f(x)为增函数，
f(1)=1+0−3=−2<0，
f(2)=2+ln2−3=ln2−1<0，
f(3)=3+ln3−3=ln3>0，
∵f(2)f(3)<0，
所以f(x)的零点所在区间为(2,3)，
故选：C．
对f(x)进行求导，得到其单调性，再利用零点定理进行判断；
此题主要考查函数零点的判定定理，此题主要函数的定义域x>0，此题是一道基础题；
5.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=2x,x≤1lg12x,x>1，则y=f(1+x)=2x+1,x≤0lg12(x+1),x>0，
可知x≤0时，函数是增函数，函数的最大值为2，
所以函数的图象为B．
故选：B．
结合函数的解析式，判断函数的图象即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则a=f(lg314)=f(lg34)，
又由2−32<2−23<1而f(x)在(0,+∞)单调递减，则a故选：A．
根据题意，由函数的奇偶性可得a=f(lg314)=f(lg34)，分析可得2−32<2−23<1本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，涉及不等式比较，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得，函数是(−∞,+∞)上的减函数，
∴3a−1<03a−1+4a≥00解得17≤a≤13
故a的取值范围是[17,13)．
故选：C．
由f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，确定a，以及3a−1的范围，再根据单调递减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．
本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
8.【答案】D
【解析】解：a=lg56+lg2625>lg56+lg3625=lg56+lg65>2 lg56⋅lg65=2，∴不选AB；
令f(x)=3x+4x−5x，x>2
设t=x−2>0，则x=t+2，∴g(t)=9×3t+16×4t−25×5t<25×4t−25×5t<0，∴f(x)<0，∴3x+4x<5x，
∴3a+4a=5b<5a，∴b故选：D．
lg2625>lg3625=lg65，再构造函数f(x)=3x+4x−5x和0比大小，可解决此题．
本题考查导数运算、不等式性质、考查数学运算能力，属于难题．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质、函数的应用，属于基础题．
利用对数函数单调性判断出a>b>0 ，再根据不等式的性质得出答案即可．
【解答】
解：由题意得a>b>0，故0<1a<1b，故A正确，
对于B，lg3a−b>0⇔a−b>1，故B错误；
对于C，由a>b>0，得a−b>0，则3a−b>1，故C错误；
对于D，由a>b>0，得13a<13b<12b，故D正确，
故选AD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于中档题．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：A.由ab≠0得a≠0且b≠0，故必要性成立，
a≠0不能推得ab≠0，因为b有可能为0，故充分性不成立，
则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故A错误；
B.若二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根，
则需满足a≠0△=b2−4ac>0ca<0⇔ac<0,
则“ac<0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根”的充要条件，故B正确；
C.当m=0时，M={x|mx2+(m+2)x+2=0}={x|x=−1}是单元素集，
当m≠0时，若M={x|mx2+(m+2)x+2=0}为单元素集，
由△=(m+2)2−8m=0，得(m−2)2=0，得m=2，
则“m=2”是“M={x|mx2+(m+2)x+2=0}为单元素集”的充分而不必要条件，故C正确；
D.当a>1时，显然1a<1成立，
由1a<1得a<0或a>1，
则“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题重点考查函数绝对值，函数的性质，涉及最值、单调性和不等式的解法，属于一般题．
去掉绝对值符号，写成分段函数，作出图象，再逐个判断即可．
【解答】
解：因为f(x)=|x|−x2=x−x2,x⩾0−x−x2,x<0,
作出图象：
由图象可知，f(x)的最大值为f(−12)=f(12)=14，故A正确；
f(x)在(−∞,−12)和(0,12)递增，在(−12,0)和(12,+∞)递减，故B错误；
当x∈(−1,0)∪(0,1)时，f(x)>0，故C错误；
当x⩾0时，f(x)+2x=3x−x2⩾0⇒0⩽x⩽3;
当x<0时，f(x)+2x=x−x2⩾0，此时无解，
故f(x)+2x≥0的解集为[0,3]，故D正确，
故选AD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查根的存在性及根的个数判断，涉及复合函数单调性的判断，属于一般题．
利用换元法，结合函数的图象依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设t=g(x)，则由f[g(x)]=0，即f(t)=0，得t=−b或t=0或t=b，
则g(x)=−b，或g(x)=0，或g(x)=b，
由于y=g(x)是减函数，所以每一个方程都有一个解，
所以方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，A正确；
对于B，设t=f(x)，若g[f(x)]=0，即g(t)=0，则t=b，所以f(x)=b，因为c>b>0，所以对应f(x)=b的解有3个，B正确；
对于C，设t=f(x)，若f[f(x)]=0，即f(t)=0，t=−b或t=0或t=b，则f(x)=−b，或f(x)=0，或f(x)=b，
因为a>c>b>0，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，C错误；
对于D，设t=g(x)，若g[g(x)]=0，即g(t)=0，所以t=b，则g(x)=b，因为y=g(x)是减函数，所以方程g(x)=b只有1解，D正确；
故选：ABD．
13.【答案】−10
【解析】解：根据题意，因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，又当x≥0时，f(x)=3x+x+a，
所以f(0)=1+a=0，则a=−1，
则f(−2)=−f(2)=−(32+2−1)=−10．
故答案为：−10．
根据题意，根据函数奇偶性求出a，再由f(−2)=−f(2)，即可求出结果．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
14.【答案】(52,+∞)
【解析】解：设f(x)=x2−2ax+4，
∵方程x2−2ax+4=0的一根大于1，一根小于1，
∴f(1)<0，即1−2a+4<0，
解得a>52，
即实数a的取值范围是(52,+∞)．
故答案为：(52,+∞)．
设f(x)=x2−2ax+4，由题意可知f(1)<0，从而求出a的取值范围．
本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：将k=12ln2，θ1=55°C，θ0=15°C，代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，
35=15+(55−15)e−ln22t，即e−ln22t=12，
所以−ln22t=ln12=−ln2，解得t=2．
故答案为：2．
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
16.【答案】(−∞,−3]∪[3,+∞)
【解析】解：因为f(x)=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，x∈[0,2]，
所以f(x)的最大值为f(1)=2，①
又函数g(x)=ax−1，x∈[−1,1]，
当a>0时，g(x)在[−1,1]上单调递增，
所以g(x)max=g(1)=a−1；②
当a<0时，g(x)在[−1,1]上单调递减，
所以g(x)max=g(−1)=−a−1；③
因为对于∀x1∈[0,2]，∃x2∈[−1,1]，使得g(x2)≥f(x1)成立，
则g(x2)max≥f(x1)max，
所以，当a>0时，a−1≥2，解得a≥3；
当a<0时，−a−1≥2，解得a≤−3；
综上所述，实数a的取值范围为(−∞,−3]∪[3,+∞)．
故答案为：(−∞,−3]∪[3,+∞)．
依题意得g(x2)max≥f(x1)max，x∈[0,2]，可求出f(x)=−x2+2x+1的最大值，分a>0和a<0两种情况，由函数的单调性可求解g(x)的最大值，列式求解即可．
本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)( 2−1)0+(169)−12+( 8)−43
=1+432−12+232−43
=1+34+14
=2．
(Ⅱ)lg1100−ln e+2lg23−lg427⋅lg98
=−2−12+3−3lg32lg2·3lg22lg3
=−2−12+3−94
=−74．
【解析】(Ⅰ)利用指数的性质、运算法则直接求解．
(Ⅱ)利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵集合A={x|−2≤x≤8}，B={x|−3≤x≤5}，
∴A∩B={x|−2≤x≤5}，
若C=⌀，则m+1>2m−1，∴m<2，
若C≠⌀，故m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得2≤m≤3，
综上：m≤3，即实数m的取值范围是(−∞,3]．
(2)A∪B={x|−3≤x≤8}，
由题意得3m+2≥8，∴m≥2，
∴实数m的取值范围是[2,+∞)．
【解析】(1)根据集合的交集的运算和C⊆(A∩B)，分类讨论，求出m的范围，
(2)根据集合的并集和(A∪B)∩D=⌀，求出m的范围．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
19.【答案】(1)因为不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以1和b是方程ax2−3x+2=0的两个实数根且a>0
所以1+b=3ab=2a，解得a=1b=2．
(2)由(1)知a=1b=2，于是有1x+2y=1，
故2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+yx+4xy≥4+2 yx⋅4xy=8，(当x=2，y=4时等号成立)
依题意有k2+k+2≤8，即k2+k−6≤0，
解得−3≤k≤2．
所以k的取值范围为[−3,2]．
【解析】(1)根据题意可得1和b是方程ax2−3x+2=0的两个实数根且a>0，得到关于a，b的方程组，解得a，b，即可．
(2)由(1)知a=1b=2，于是有1x+2y=1，结合基本不等式，求出2x+y的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数和二次不等式的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】(Ⅰ)证明：任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−(1−22x2+1)
=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x2+1)(2x1+1)．
∵x1又∵(2x2+1)(2x1+1)>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在R上单调递增．
(Ⅱ)解：令t=f(x)，函数g(x)=lg3f(x)化为h(t)=lg3t.
由(Ⅰ)知当x∈[1,3]时，函数f(x)单调递增．
∴当x=1时，函数f(x)有最小值f(1)=13；
当x=3时，函数f(x)有最大值f(3)=79．
∴t∈[13,79]．
又函数h(t)=lg3t在[13,79]上单调递增，
∴当t=13，即x=1时，函数h(t)有最小值−1，即g(x)有最小值−1；
当t=79，即x=3时，函数h(t)有最大值−2+lg37，即g(x)有最大值−2+lg37.
【解析】本题考查函数最值的求法，函数的单调性的证明，属于拔高题．
(Ⅰ)任取x1，x2∈R，且x1(Ⅱ)令t=f(x)，函数g(x)=lg3f(x)化为h(t)=lg3t.利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．
21.【答案】解：(1)当0当x>10时，F(x)=xI(x)−24x=x(17.6+328x−1440x2)−24x=−6.4x−1440x+328，
故F(x)=−2x2+32x,010；
(2)当0故当x=8时，F(x)取得最大值，且最大值为128，
当x>10时，
F(x)=−6.4x−1440x+328=−(6.4x+1440x)+328≤−2 6.4x⋅1440x+328=136，
当且仅当6.4x=1440x，即x=15(负值舍去)时，等号成立，此时F(x)取得最大值，且最大值为136，由于136>128，
所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元．
【解析】(1)根据已知条件，结合利润=销售收入−成本，分010两种情况讨论，即可求解；
(2)根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
本题考查了分段函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)∵g(x)<0，即x2−ax+6<0的解集为{x|2∴a=2+3=5，
∴g(x)=x2−5x+6，
∴x>1时，g(x)x−1=x2−5x+6x−1=(x−1)2−3(x−1)+2x−1=(x−1)+2x−1−3≥2 (x−1)⋅2x−1−3=2 2−3，当且仅当x−1=2x−1，即x= 2+1时取等号，
∴g(x)x−1的最小值为2 2−3．
(Ⅱ)∵任意x∈[1,+∞)，f(x)=lg12(x2+1)为减函数，
∴f(x)max=f(1)=−1；
∵任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
∴x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立，
即x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，
设h(x)=x2−ax+7，其对称轴方程为x=a2，
①当a2≤−2，即a≤−4时，h(x)在[−2,4]上为增函数，
h(x)min=h(−2)=11+2a≥0，即a≥−112，
∴−112≤a≤−4，
②当a2≥4，即a≥8时，h(x)在[−2,4]上为减函数，
h(x)min=h(4)=23−4a≥0，即a≤234，
∴此时为空集，
③当−4∴h(x)min=h(a2)=−a24+7≥0，即−2 7≤a≤2 7，
∴−4综上所述a的取值范围为[−112,2 7].
【解析】(Ⅰ)依题意，利用韦达定理可求得a=5，再化简g(x)x−1=(x−1)+2x−1−3，利用基本不等式，即可求出其最小值；
(Ⅱ)根据复合函数的单调性，求得f(x)max=−1，问题转化为x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立⇔x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，设h(x)=x2−ax+7，再分类讨论，求出h(x)min，即可求出a的范围．
本题考查恒成立问题的求解方法，考查等价转化思想及分类讨论思想的综合运用，考查思维能力与运算求解能力，属于难题．

2022-2023学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

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