四川省眉山市东坡区眉山北外附属东坡外国语学校2023-2024学年高三上学期开学数学试题（含答案）

眉山市北外东坡高2024届高三上学期入学考试

数学参考答案（理科）

一、选择题

二、填空题

13．2      14．1120      15．3    16．

三、解答题

17.解：（1）数列的前项和为,,①,

当时,,②,

①②得：,所以,………………………………………………………………4分

又,

故．……………………………………………………………………………………………6分

（2）由于,所以,

故,

由于,,成等比数列,

所以,

解得或（负值舍去）,………………………………………………………………………9分

,

所以．

………………12分

18．解：（1）设至少回答对一个问题为事件,则.…………………3分

（2）这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为.………4分

根据题意,,        ,

,       ,

,        .

随机变量的分布列是:

……………10分

（3）设这位挑战者闯关成功为事件,则.………………………12分

19．解：（1）证明：取中点,连接,,,

四边形为菱形,

.

又,为等边三角形.

又为中点,.

,为中点,.

平面,,

平面.

又平面,

.…………………………………………………………………………………………6分

（2）由及（1）易得均是边长为2的正三角形,则,

又,∴,即.

结合（1）两两互相垂直,以为原点,可建立如下图所示空间直角坐标系,

则,,,,

,,,

设平面的法向量,

,令,则,,,

设直线与平面所成角为,

,

即直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………………12分

20．解：（1）由对称性可知、关于轴对称,可设,则,

把代入曲线得：. ………………………………………5分

（2）由（1）得曲线:,,设,,

则,同理,

,  …………………………………………………8分

若直线斜率为0,直线的方程为,代入曲线仅一解不合题意,舍去, ……………9分

设直线的方程为,代入得,…………9分

得：,代入式,得,………………………………………………11分

故直线的方程为,恒过. …………………………………………………12分

21．解：（1）,,…………………………………………………………1分

当时,,在单调递增,………………………………………………2分

当时,令,得,

时,,单调递减,

时,单调递增；……………………………………………………3分

综上：时,在上递增,无减区间,

当时,的单调递减区间为,单调递增区间为；……………………4分

（2）由题意得,

当时,在单调递增,又,

故当时,,故不符合题意,………………………………………………………5分

当时,在单调递减,在单调递增,

故,………………………………………………………………6分

对,恒成立,则需满足,

记,则,

当时,,当时,,

故在上递减,在上递增,

所以的解只有,…………………………………………………………8分

实数的取值集合为.

（3）由（2）知：

令,则,即,即,

所以,………………………………………………………………10分

由（2）知：

令,则,即,

即,所以,

综上可知：.………………………………………………………………12分

22.解：（1）由题意有,可得,所以．…………………………3分

（2）易知圆,的公共点一个为极点,记另一个点为,

.

所以圆的圆心为半径为2.

.

由,有,,

可得,

可得点N的横坐标为,点N的纵坐标为．

又由点M的坐标为,

故点M与圆,的公共点构成的三角形的面积为．…………………………10分

23.（1）函数,

时,,解得：,

时,,

时,,解得：,

若的解集为.则；

（2）由（1），……6分

解法一：∴……8分

．……10分

解法二：∵……6分

……8分

，∴．……10分

解法三：，……7分

……9分

∴．……10分