2023-2024学年四川省眉山市冠城七中实验学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年四川省眉山市冠城七中实验学校高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|1A. 3B. 4C. 7D. 8
2.已知命题p：∀x∈R，x2−x+1>0，则¬p( )
A. ∃x∈R，x2−x+1≤0B. ∀x∈R，x2−x+1≤0
C. ∃x∈R，x2−x+1>0D. ∀x∈R，x2−x+1≥0
3.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)xm2−2m−2在(0,+∞)上递增，则m=( )
A. 2B. 4C. −1D. 2或−1
4.若关于x不等式ax2+bx+c≥0的解集为[−2,3]，则关于x不等式cx2+bx+a≥0的解集为( )
A. [−12,13]B. [−13,12]
C. (−∞,−12]∪[13,+∞)D. (−∞,−13]∪[12,+∞)
5.已知函数f(x)=a2x−6+3(a>0且a≠1)的图像经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sinθ−csθsinθ+csθ=( )
A. −17B. 0C. 7D. 17
6.已知函数f(x)=2x3x2−1，则其图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为 5−12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. (3− 5)πB. ( 5−1)πC. ( 5+1)πD. ( 5−2)π
8.若两个正实数x，y满足1x+4y=2，且不等式x+y4( )
A. (-1,2)B. (-∞,-2)∪(1,+∞)C. (-2,1)D. (-∞,-1)∪(2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合P={x|(x−3)(x−2)=0}，则下列关系式表示正确的有( )
A. {3}∈PB. −2∈PC. ⌀⊆PD. P⊆{2,3}
10.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA=60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )
A. 经过1 s后，∠BOA的弧度数为π3+3
B. 经过π12s后，扇形AOB的弧长为7π12
C. 经过π6s后，扇形AOB的面积为π3
D. 经过5π9s后，A，B在单位圆上第一次相遇
11.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC=2OB，则下列结论正确的为( )
A. abc>0
B. a+b+c>0
C. ac−2b+4=0
D. OA⋅OB=−ca
12.已知连续函数f(x)满足：①∀x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=−2，则以下说法正确的是( )
A. f(0)=1
B. f(4x)=4f(x)−4
C. f(x)在[−3,3]上的最大值是10
D. 不等式f(3x2)−2f(x)>f(3x)+4的解集为{x|23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.方程sin2x= 22(0≤x≤π)的解集为______．
14.已知函数f(x)的定义域为[−1,1]，则y=f(x+1) x2−2x−3的定义域为______
15.已知关于x的方程x2−(m+1)x+4m2=0的两根分别在区间(0,1)，(1,2)内，则实数m的取值范围为______．
16.已知函数f(x)=x2−2ax+12,x≤1x+4x+a,x>1，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算：4lg27+3lg5−(sin2)0+lg8．
(2)已知正数a满足a12+a−12=232，求a2+a−2的值．
18.(本小题12分)
设A={x|3x−1x−3>2}，B={x|x2+(a−6)x−6a≤0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B．
(1)当a=−8时，试判断命题p是命题q的什么条件？
(2)求a的取值范围，使命题p是命题q的必要不充分条件．
19.(本小题12分)
(1)已知a>0，b>0，且2a+b=1，求ab的最大值；
(2)已知正数x，y满足x+3y=3xy−1，求2x+3y的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−bx2−1在x∈(−1,1)为奇函数，且f(12)=−43．
(1)求a，b值；
(2)判断函数f(x)在(−1,1)的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式f(t2+1)+f(t)<0．
21.(本小题12分)
目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前n(n∈N*)年的支出成本为(10n2−5n)万元，每年的销售收入95万元．
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．
(1)若f(x)>0的解集为{x|−3(2)若不等式f(x)≥2ax+b对x∈R恒成立，求b2a2+c2的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A={x|1则集合A的子集个数为23=8．
故选：D．
解不等式可求得集合A，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可．
本题考查集合的子集个数，属于基础题
2.【答案】A
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x2−x+1≤0”．
故选：A．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−m−1)xm2−2m−2 在(0,+∞)上单调递增，
∴m2−m−1=1①，且m2−2m−2>0②．
由①求得m=−1或m=2；
由②求得m>1+ 3 或m<1− 3，
综合可得m=−1，
故选：C．
由题意，利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为[−2,3]，
则a<0，且−2和3是ax2+bx+c=0的两个根，
所以ax2+bx+c=a(x+2)(x−3)=ax2−ax−6a，即b=−a，c=−6a，
故cx2+bx+a=−6ax2−ax+a=−a(6x2+x−1)≥0⇔6x2+x−1=(3x−1)(2x+1)≥0，
解得x≤−12或x≥13，
从而关于x不等式cx2+bx+a≥0的解集为(−∞,−12]∪[13,+∞)．
故选：C．
结合一元二次不等式的解集，用a分别表示b和c，并判断a的符号，然后求解一元二次不等式即可．
本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了二次不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=a2x−6+3(a>0且a≠1)的图像经过定点A，可得A(3,4)，
又点A在角θ的终边上，可得tanθ=43，
所以sinθ−csθsinθ+csθ=tanθ−1tanθ+1=17．
故选：D．
由题意利用指数函数的性质，任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了指数函数的性质，任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，考查了函数思想，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵函数的定义域为{x|x≠±1}，f(−x)=2(−x)3(−x)2−1=−2x3x2−1=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除A、C，
当x>1时，f(x)>0，排除D．
故选：B．
首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案．
本题考查根据函数性质确定函数图象，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积计算问题，也考查了古典文化与数学应用问题，属于中档题．
由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可．
【解答】
解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，
则αβ= 5−12，
又α+β=2π，
解得α=(3− 5)π．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键，属于中档题．
将不等式x+y4(x+y4)min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：若不等式x+y4(x+y4)min即可，
∵1x+4y=2，∴12x+2y=1，
则x+y4=(x+y4)(12x+2y)=12+24+2xy+y8x≥1+2 2xy⋅y8x=1+2× 14=1+2×12=1+1=2，
当且仅当2xy=y8x，即y2=16x2，即y=4x时取等号，此时x=1，y=4，
即(x+y4)min=2，
则由m2−m>2得m2−m−2>0，即(m+1)(m−2)>0，
得m>2或m<−1，
即实数m的取值范围是(−∞,−1)∪(2,+∞)．
故选D．
9.【答案】CD
【解析】解：P={x|(x−3)(x−2)=0}={2,3}，
对选项A：{3}⊆P，错误；
对选项B：−2∉P，错误；
对选项C：⌀⊆P，正确；
对选项D：P⊆{2,3}，正确．
故选：CD．
确定P={2,3}，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可．
本题主要考查元素与集合的包含关系，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为π3+3，故A正确；
经过π12s后，∠AOB=π12+π3+2×π12=7π12，故扇形AOB的弧长为7π12×1=7π12，故B正确；
经过π6s后，∠AOB=π6+π3+2×π6=5π6，故扇形AOB的面积为S=12×5π6×12=5π12，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1+2)+π3=2π，解得t=5π9(s)，故D正确．
故选：ABD．
结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得．
本题主要考查了扇形的面积公式和弧长公式，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：根据图象知a>0，又对称轴x=−b2a<0，
则b>0，又ca<0，则c<0，则abc<0，故A不正确；
当x=1时，y=a+b+c，不能说明y的值是否大于0，故B错误；
设A(x1,0)(x1<0)，B(x2,0)，(x2>0)，
∵OC=2OB，
∴−2x2=c，
∴x2=−12c，
∴B(−12c,0)，将点B代入函数，得14ac2−12bc+c=0，
故ac−2b+4=0，故C正确；
当y=0时，ax2+bx+c=0，方程的两个根x1，x2，
则
x1x2=ca<0，即OA⋅OB=−ca，则D正确．
故选：CD．
由已知结合二次函数与二次方程的转化关系及二次函数性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次方程与二次函数转化关系的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为：∀x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，
令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)−1，则f(0)=1，故A正确；
令y=x，则f(2x)=2f(x)−1，
用2x代x，y=2x，则f(2x+2x)=f(2x)+f(2x)−1=2f(2x)−1，
即f(4x)=2f(2x)−1=2[2f(x)−1]−1=4f(2x)−3，即f(4x)=4f(x)−3，故B错误；
设x1，x2∈R且x10，
因为f(x+y)=f(x)+f(y)−1，
令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)−1，即f(x)+f(−x)=2，
令x=x2，y=−x1，
则f(x2−x1)=f(x2)+f(−x1)−1=f(x2)+2−f(x1)−1，
即f(x2−x1)−1=f(x2)−f(x1)，
因为当x>0时，f(x)<1，又x2−x1>0，故f(x2−x1)<1，
所以f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)−1<0，
所以f(x2)又f(1)=−2，所以f(2)=2f(1)−1=−5，f(3)=f(2)+f(1)−1=−8，
又f(3)+f(−3)=2，所以f(−3)=2−f(3)=10，
故f(x)在[−3,3]上的最大值是10，故C正确；
由f(3x2)−2f(x)>f(3x)+4，可得f(3x2)>f(x)+f(x)+f(3x)+4，
即f(3x2)>f(2x+3x)+2+4，即f(3x2)>f(5x)+7−1，
又因为f(2)+f(−2)=2，即f(−2)=7，
所以f(3x2)>f(5x)+f(−2)−1，即f(3x2)>f(5x−2)，
故3x2<5x−2，即(3x−2)(x−1)<0，解得23即原不等式的解集为{x|23故选：ACD．
依题意令x=y=0，求出f(0)，从而判断A；
令y=x，得到f(2x)=2f(x)−1，再令x为2x，y=2x即可判断B；
再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；
依题意原不等式等价于f(3x2)>f(5x−2)，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值、用定义法判断抽象函数的单调性及解抽象不等式，也考查了逻辑推理能力和转化思想，属于难题．
13.【答案】{π8,3π8}
【解析】解：因为0≤x≤π，
所以0≤2x≤2π，
若sin2x= 22(0≤x≤π)，
则2x=π4或2x=3π4，
所以x=π8或x=3π8，即方程sin2x= 22(0≤x≤π)的解集为{π8,3π8}．
故答案为：{π8,3π8}．
根据题意得到0≤2x≤2π，然后结合正弦函数相关知识解方程即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】[−2,−1)
【解析】解：由题意，
−1≤x+1≤1x2−2x−3>0，解得−2≤x<−1．
∴y=f(x+1) x2−2x−3的定义域为[−2,−1)．
故答案为：[−2,−1)．
由分母中根式内部的代数式大于0，结合f(x+1)的定义域，取交集得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
15.【答案】(0,14)
【解析】解：令f(x)=x2−(m+1)x+4m2，
根据题意得f(0)>0f(1)<0f(2)>0，即4m2>0①1−(m+1)+4m2<0②4−2(m+1)+4m2>0③，
由①得：m≠0，由②得：0求交集得：0故m的取值范围为(0,14)．
故答案为：(0,14)．
转化为二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围．
本题考查二次函数的根的分布问题，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】[3,+∞)
【解析】解：由题意可知要保证f(x)的最小值为f(1)，需满足a≥1f(2)≥f(1)，
即a≥12+42+a≥1−2a+12，
解得a≥3．
故答案为：[3,+∞)
利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．
本题考查函数的最值的应用，二次函数的性质以及基本不等式的应用，是中档题．
17.【答案】解：(1)4lg27+3lg5−(sin2)0+lg8
=4lg449+lg125−1+lg8
=49+lg(125×8)−1
=49+3−1=51；
(2)因为正数a满足a12+a−12=232=2 2，
所以a+a−1+2=8，即a+a−1=6，
所以a2+a−2+2=36，即a2+a−2=34．
【解析】(1)结合对数的运算性质即可求解；
(2)结合指数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)A={x|3x−1x−3>2}={x|3x−1x−3−2>0}={x|x+5x−3>0}={x|x>3或x<−5}，
当a=−8时，B={x|x2−14x+48≤0}={x|6≤x≤8}，
∵{x|6≤x≤8}⫋{x|x>3或x<−5}，
∴命题p是命题q的必要不充分条件．
(2)∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴B⫋A，
B={x|x2+(a−6)x−6a≤0}={x|(x−6)(x+a)≤0}，
①当−a=6，即a=−6时，B={6}满足题意，
②当−a>6，即a<−6时，B={x|6≤x≤−a}满足题意，
③当−a<6，即a>−6时，B={x|−a≤x≤6}，
则−a>3，∴a<−3，∴−6综上，a的取值范围为(−∞,−3)．
【解析】(1)解一元二次不等式，分式不等式求出集合A，B，再利用充要条件的定义判定即可．
(2)先得到B⫋A，再分类讨论a，列出不等式求解即可．
本题考查了一元二次不等式，分式不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为a>0，b>0，且2a+b=1≥2 2ab，当且仅当a=14，b=12时取等号，
所以ab≤18，
故ab的最大值为18；
(2)因为正数x，y满足x+3y=3xy−1，
所以(x−1)(3y−1)=2，
则2x+3y=2(x−1)+(3y−1)+3≥2 2(x−1)(3y−1)+3=7，
当且仅当2x−2=3y−1，即x=2，y=1时取等号，
所以2x+3y的最小值为7．
【解析】(1)由已知直接利用基本不等式即可求解；
(2)由题意得，(x−1)(3y−1)=2，2x+3y=2(x−1)+(3y−1)+3，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】(1)解：由题意知，f(0)=0=−b−1，所以b=0，
因为f(12)=−43，所以12a(12)2−1=−43，解得a=2．
(2)证明：f(x)在(−1,1)上单调递减，证明过程如下：
由(1)知，f(x)=2xx2−1，
任取−1则f(x1)−f(x2)=2x1x12−1−2x2x22−1=(x2−x1)(x1x2+2)(x12−1)(x22−1)，
因为−10，x1x2+2>0，x12−1<0，x22−1<0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(−1,1)上单调递减．
(3)解：因为f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，
所以不等式f(t2+1)+f(t)<0可化为f(t2+1)<−f(t)=f(−t)，
又f(x)在(−1,1)上单调递减，
所以−1−t，解得−23所以不等式的解集为(−23,0)．
【解析】(1)利用f(0)=0，f(12)=−43，代入运算，即可得解；
(2)任取−1(3)利用函数的单调性与奇偶性，可将原不等式转化为关于t的不等式组，解之即可．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，熟练掌握函数单调性的定义，奇偶性的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设f(n)为前n年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得f(n)=95n−(10n2−5n)−90=−10n2+100n−90=−10(n−1)(n−9)，
由f(n)>0得1(2)方案二更合理，理由如下：
方案一：由(1)知，总盈利额f(n)=−10n2+100n−90=−10(n−5)2+160，
当n=5时，f(n)取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为160+20=180万元；
方案二：由(1)可得，平均盈利额为f(n)n=−10n2+100n−90n=−10(n+9n)+100≤100−20 n⋅9n=40，
当且仅当n=9n，即n=3时，等号成立；即n=3时，平均盈利额最大，此时f(n)=120，
此时处理掉设备，总利润为120+60=180万元；
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【解析】(1)利用题中的条件表示出前n年的总盈利关于n的函数，即可解出；
(2)由(1)可表示出平均盈利，进而可以求出最大值，即可解出．
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)∵ax2+bx+c>0的解集为{x|−3∴a<0，−3+4=−ba，(−3)×4=ca，
∴b=−a，c=−12a(a<0)，
故bx2+2ax−(c+3b)<0⇔−ax2+2ax+15a<0(a<0)，
从而x2−2x−15<0，解得x∈(−3,5)；
(2)∵f(x)≥2ax+b⇔ax2+(b−2a)x+c−b≥0恒成立，
∴Δ=(b−2a)2−4a(c−b)≤0(a>0)⇔b2+4a2−4ac≤0(a>0)，
∴0≤b2≤4a(c−a)，∴b2a2+c2≤4a(c−a)a2+c2=4(ca−1)1+(ca)2，
令t=ca−1，∵4a(c−a)≥b2≥0，∴c≥a⇒ca≥1，从而t≥0，
∴b2a2+c2≤4t1+(t+1)2=4tt2+2t+2，令g(t)=4tt2+2t+2(t≥0)，
①当t=0时，g(0)=0；
②当t>0时，g(t)=4t+2t+2≤42 2+2=2 2−2，
∴b2a2+c2的最大值为2 2−2．
【解析】(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得b=−a，c=−12a(a<0)，代入并解一元二次不等式得结果，(2)根据二次函数图象得Δ≤0，即得0≤b2≤4a(c−a)，因此b2a2+c2≤4a(c−a)a2+c2，再令t=ca−1化为对勾函数，利用基本不等式求最值．
本题考查了一元二次不等式的性质以及一元二次不等式恒成立问题，涉及到基本不等式以及换元法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．

2023-2024学年四川省眉山市冠城七中实验学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

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