2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−13 的相反数是
( )
A. 13B. 3C. −13D. − 3
2.下列图案不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线l1//l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=45°，则∠2的度数是( )
A. 135°
B. 105°
C. 95°
D. 75°
4.(−3x3y)3计算的结果是( )
A. 9x6y3B. −9x6y3C. −27x9y3D. 27x9y3
5.若0A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为( )
A. 14 1020
B. 14 1010
C. 7 1020
D. 7 1010
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是( )
A. 1米B. 2米C. (3− 5)米D. (3+ 5)米
8.已知二次函数y=ax2−2x+12(a为常数，且a>0)，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x<0时，y随x的增大而减小；④当x>0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ②D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.一元二次方程x2=3x的根是______．
10.正九边形的一个外角等于______．
11.如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为4的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为 ．
12.如图，△AOB的顶点B在x轴负半轴上，点C是AB边的中点，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过A、C两点，若△AOB的面积等于9，则k的值为______．
13.如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，连接CD′.则CD′的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：| 12−4|+6tan30°−(13)−2．
15.(本小题5分)
解不等式组：3(x+1)>x−1x−92<2x．
16.(本小题5分)
化简：(x+1−8x−1)÷x2−6x+91−x．
17.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，BC=DC，请用尺规作图法，在四边形ABCD的AB边上
求作一点E，使S△BCE=S△DCE.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB/​/DF，ED=AB，∠E=∠CPD．
求证：BC=EF．
19.(本小题5分)
《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
20.(本小题5分)
我市某学校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.七(1)班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
21.(本小题6分)
李强用甲、乙两种弹簧同时称量相同质量的物体，甲弹簧比乙弹簧长度变化快.在弹簧的弹性限度内，弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间近似满足一次函数关系，根据纪录的数据，画函数图象如下：
(1)不挂重物时弹簧的长度是______cm；
(2)求乙弹簧总长y关于x的函数关系式；
(3)当甲弹簧总长达到30cm时，乙弹簧总长是______cm．
22.(本小题7分)
某专卖店在盘点某时段销售情况时，对该时段内某种商品的日销售量(单位：件)进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)请补全条形统计图，日销售量这组数据的众数是______件；
(2)若该种商品的进价为每件120元，售价为每件200元，请你据此估计接下来一周的销售利润(不计其他费用)；
(3)店长在检查数据时发现，此商品在该时段内的日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了，若更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的销售量为______件.
23.(本小题7分)
在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10m，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为45°.若测倾器AB的高度为1.5m，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度(结果精确到0.1m).(参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18)
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上(D与A，B不重合)，CD⊥AB且CD=AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切．
(1)求证：EF=EC；
(2)若D是OA的中点，AB=4，求BF的长．
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx经过坐标原点O与点A(3,0)，正比例函数y=kx与抛物线交于点B(72,74).
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点N，交OB于点M，是否存在点P，使得△OMN与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题10分)
[问题提出]
(1)如图①，AB为半圆的直径，O为圆心，C，D为半圆上的两点，若OB=5，BC=6，则sin∠BDC= ______．
[问题探究]
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在直线AB的右侧，且满足tan∠APB=2，求点P到CD的最短距离．
[问题解决]
(3)如图③，有一块矩形ABCD型板材，AB=4米，AD=6米，由于工作需要，工人王师傅想在这块板材上找一点P，裁出△ABP与△ADP，并满足cs∠APB=35，S△ADP：S△ABP=3：2.请问王师傅的设想可以实现吗？如果可以，请帮他计算所裁得的△ABP的面积；如果不能，请说明你的理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：A．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：如图，∵l1/​/l2，
∴∠1=∠3=45°，
又∵∠4=30°，
∴∠2=180°−∠3−∠4=180°−45°−30°=105°，
故选：B．
依据l1//l2，即可得到∠1=∠3=45°，再根据∠4=30°，即可得出从∠2=180°−∠3−∠4=105°．
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
4.【答案】C
【解析】解：(−3x3y)3
=(−3)3x3×3y3
=−27x9y3，
故选：C．
本题考查积的乘方，掌握积的乘方的运算法则，即可解题．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题知，y=−5x+my=−x+n，
有−5x+m=−x+n，整理得−4x=n−m，
解得x=−n−m4，
将x=−n−m4代入y=−x+n中，有y=5n−m4，
∵0∴n−m>0，
∴x=−n−m4<0，y=5n−m4>0，
∴直线y=−5x+m与直线y=−x+n的交点在第二象限．
故选：B．
联立两直线解析式表示出交点坐标，根据0本题考查两直线相交或平行问题问题，解题的关键是根据06.【答案】D
【解析】解：由题可得：
S△ABC=3×3−1×3×12−2×3×12−1×2×12=72，
BC= 12+32= 10，
∴AD× 10×12=72，
解得：AD=7 1010，
故选：D．
根据题意利用割补法求得△ABC的面积，利用勾股定理算出BC的长，再利用等面积法即可求得AD的长．
本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA=OC=3米，OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=2(米)，∠ADO=90°，
∴OD= OA2−AD2= 32−22= 5(米)，
∴CD=OC−OD=(3− 5)米，
即点C到弦AB所在直线的距离是(3− 5)米，
故选：C．
连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD=BD=12AB=2(米)，再由勾股定理得OD= 5(米)，然后求出CD的长即可．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=22a=1a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>1a时，y随x的增大而增大，函数图象一定不经过第三象限．
故选：B．
由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．
9.【答案】x1=0，x2=3
【解析】解：原方程可化为x2−3x=0，
x( x−3)=0，
x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
移项后，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x(x−3)=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
10.【答案】40°
【解析】解：正九边形的一个外角的度数为：360°÷9=40°．
故答案为：40°．
根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以边数就可以求出外角的度数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小等于360°，由外角和求正多边形的外角，是常见的题目，需要熟练掌握．
11.【答案】2 5
【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为4，
长方形的宽是正方形对角线的一半为2，
则长方形的对角线长= 22+42=2 5．
故答案为：2 5．
根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为4，长方形的宽是正方形对角线的一半为2，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
12.【答案】−6
【解析】解：设A(a,ka)，B(b,0)，
∴S△ABC=ka×(−b)×12=9①，
又C为AB中点，
∴C(a+b2,k2a)，
∵C在函数y=kx(x<0)的图象上，
∴a+b2×k2a=k，
∴a+b=4a，
∴b=3a，
把b=3a代入①式得：ka×(−3a)=18，
∴k=−6，
故答案为：−6，
A(a,ka)，B(b,0)，根据三角形AOB的面积和C为AB中点且C在函数y=kx(x<0)的图象上，求出k的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，关键是对反比例函数性质的应用．
13.【答案】 34−3
【解析】解：由折叠知，点D′在以点A为圆心，AD为半径的圆弧上，所以当A、D′、C在同一直线上时，CD′的值最小，
∵矩形ABCD中，AB=5，AD=3，
∴DC=AB=5，
在Rt△ADC中，由勾股定理可得：
AC= DC2+AD2= 52+32= 34，
∴CD′的最小值为：AC−AD= 34−3，
故答案为： 34−3．
利用折叠的性质即可知道AD′=AD长度不变，当A、D′、C在同一直线上时，CD′的值最小，再根据勾股定理求得AC的值，即可求得CD′的最小值．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14.【答案】解：| 12−4|+6tan30°−(13)−2
=4−2 3+6× 33−9
=4−2 3+2 3−9
=−5．
【解析】先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】解：3(x+1)>x−1①x−92<2x②
解不等式①得，x>−2；
解不等式②得，x>−3，
综上所述，不等式组的解集为x>−2．
【解析】先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
16.【答案】解：(x+1−8x−1)÷x2−6x+91−x
=(x2−1x−1−8x−1)÷x2−6x+91−x
=x2−9x−1×1−xx2−6x+9
=(x+3)(x−3)x−1×−(x−1)(x−3)2
=−x+3x−3．
【解析】掌握分式的混合运算法则，即可解题．
本题考查分式的混合运算，掌握分式的约分是关键．
17.【答案】解：如图，点E即为所求．

【解析】作∠BCD的角平分线交AB于点E，连接DE，点E即为所求．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】证明：∵AB/​/DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD．
∴∠E=∠B，
在△ABC和△DEF中，
∠E=∠BED=AB∠A=∠FDE，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
∴BC=EF．
【解析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF，进而证明即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19.【答案】解：设快马x天可以追上慢马，
由题意，得240x−150x=150×12，
解得：x=20．
答：快马20天可以追上慢马．
【解析】设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程=快慢马速度之差×快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】解：根据题意可画树状图如下：

任选两类参加学校期末展示活动总的情况有12种，其中恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的情况有2种，
∴恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率为212=16．
【解析】根据题意可画出树状图，得到事件总的情况数，找出恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
本题考查用列表或画树状图的求概率，熟练掌握列表或画树状图的方法是解题的关键．
21.【答案】12 26.4
【解析】解：(1)由图知，当x=0时，y=12，
∴不挂重物时弹簧的长度是12cm，
故答案为：12．
(2)由图象可知乙弹簧图象过点(0,12)和(9,30)，
设乙弹簧总长y关于x的函数关系式为y=kx+12，
将(9,30)代入y=kx+12中，有9k+12=30，解得k=2，
∴乙弹簧总长y关于x的函数关系式为y=2x+12，
(3)由图知，甲弹簧图象过点(0,12)和(4,22)，
设甲弹簧总长y关于x的函数关系式为y=k1x+12，
将(4,22)代入y=k1x+12中，有4k1+12=22，解得k1=2.5，
∴甲弹簧总长y关于x的函数关系式为y=2.5x+12，
当y=30时，有2.5x+12=30，解得x=7.2，
将x=7.2代入y=2x+12中，有y=26.4，
∴当甲弹簧总长达到30cm时，乙弹簧总长是26.4cm，
故答案为：26.4．
(1)观察图象，即可解题．
(2)由图象可知乙弹簧图象过点(0,12)和(9,30)，设乙弹簧总长y关于x的函数关系式为y=kx+12，利用待定系数法求出一次函数解析式即可解题．
(3)由(2)同理求出甲弹簧总长y关于x的函数关系式，算出甲弹簧总长达到30cm时x的值，将x的值代入(2)中解析式求解，即可解题．
本题考查一次函数的实际应用，以及利用待定系数法求一次函数解析式，从所给图象获取需要的信息是解题的关键．
22.【答案】24 27
【解析】解：(1)总天数为：9÷30%=30(天)，
日销售量为24件的天数为30×120°360∘=10(天)，
日销售量为28件的天数为30−4−9−10=7(天)，
∴日销售量这组数据的众数是24；
补全条形统计图如下：
故答案为：24．
(2)日销售量这组数据的平均数为20×4+24×10+26×9+28×730=25(件)，
由题意得，(200−120)×25×7=14000(元)，
答：接下来一周的销售利润为14000元．
(3)∵众数唯一，
∴该天的销售量不是26件，
∵日销售量这组数据的中位数不变，且原中位数为26，
∴该天的销售量不低于26件，
∵该时段内的日销售量均不大于28件，
∴该天的销售量为27件，
故答案为：27．
(1)本题利用日销售量为26件所占百分比算出总的天数，根据日销售量为24件的扇形统计图圆心角度数，算出其对应天数，利用总的天数减去日销售量为20件、24件、26件的天数得到日销售量为28件的天数，再根据数据画出条形统计图，以及根据众数的定义找出日销售量这组数据的众数，即可解题．
(2)本题根据题意算出每天销量的平均数，再根据利润=(售价−进价)×件数×天数列式求解，即可解题．
(3)本题根据众数、中位数的概念对销量进行分析，即可解题．
本题考查了扇形统计图和条形统计图信息综合、画条形统计图、以及众数、中位数、平均数的相关概念和求法、熟练掌握相关概念并灵活运用，即可解题．
23.【答案】解：延长AC交PQ于点E，交MN于点F，

则FN=EQ=CD=AB=1.5米，MF=PE，AF=BN=2AE，AC=BD=10米，CE=DQ，
设DQ=CE=x米，
∴AE=BQ=AC+CE=(x+10)米，
∴AF=2AE=2(x+10)米，
在Rt△PEC中，∠PCE=45°，
∴PE=CE⋅tan45°=x(米)，
在Rt△AMN中，MF=AF⋅tan10°≈2(x+10)×0.18=0.36(x+10)米，
∵MF=PE，
∴0.36(x+10)=x，
∴x=5.625，
∴PQ=PE+QE=x+1.5≈7.1(米)，
∴路灯的高度约为7.1米．
【解析】延长AC交PQ于点E，交MN于点F，根据题意可得FN=EQ=CD=AB=1.5米，MF=PE，AF=BN=2AE，AC=BD=10米，CE=DQ，然后设DQ=CE=x米，从而求出AE，AF的长，再分别在Rt△PEC和Rt△AMN中，利用锐角三角函数的定义求出PE，MF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OF，则OF=OB，
∵EF与⊙O相切于点F，
∴EF⊥OF，
∴∠OFE=90°，
∴∠EFC+∠OFB=180°−∠OFE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∵∠OFB=∠B，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
(2)解：连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=∠CDB=90°，
∴∠B=∠B，
∴△AFB∽△CDB，
∴BFBD=ABCB，
∵D是OA的中点，AB=4，
∴OA=OB=12AB=2，OD=AD=12OA=1，
∴BD=OB+OD=2+1=3，
∵CD=AB=4，
∴CB= BD2+CD2= 32+42=5，
∴BF=AB⋅BDCB=4×35=125，
∴BF的长是125．
【解析】(1)连接OF，由切线的性质得EF⊥OF，则∠OFE=90°，所以∠EFC+∠OFB=90°，由CD⊥AB，得∠CDB=90°，则∠C+∠B=90°，而∠OFB=∠B，所以∠EFC=∠C，则EF=EC；
(2)连接AF，由AB是⊙O的直径，得∠AFB=∠CDB=90°，而∠B=∠B，所以△AFB∽△CDB，则BFBD=ABCB，由D是OA的中点，AB=4，求得OA=OB=2，OD=AD=1，则BD=3，因为CD=AB=4，所以CB= BD2+CD2=5，则BF=AB⋅BDCB=125．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将点A(3,0)，B(72,74)代入y=ax2+bx，
∴9a+3b=0494a+72b=74，
∴a=1b=−3，
∴y=x2−3x；
(2)存在点P，使得△OMN与以点N、A、P为顶点的三角形相似，理由如下；
将点B(72,74)代入y=kx，
∴74=72k，
∴k=12，
∴y=12x，
设P(t,t2−3t)，则N(t,0)，M(t,12t)，
∴ON=t，NM=12t，
∴tan∠MON=12，
∵A(3,0)，
∴AN=3−t，
①当∠NPA=∠MON时，12=3−t−t2+3t，
解得t=2或t=3(舍)，
∴P(2,−2)；
②当∠NAP=∠MON时，12=−t2+3t3−t，
解得t=3(舍)或t=12，
∴P(12,−54)；
综上所述：P点坐标为(2,−2)或(12,−54).
【解析】(1)将点A(3,0)，B(72,74)代入y=ax2+bx，即可求解；
(2)设P(t,t2−3t)，则N(t,0)，M(t,12t)，可求tan∠MON=12，分两种情况讨论：①当∠NPA=∠MON时，12=3−t−t2+3t，P(2,−2)；②当∠NAP=∠MON时，12=−t2+3t3−t，P(12,−54).
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
26.【答案】35
【解析】解：(1)如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵OB=5，
∴AB=10，
∵∠BDC=∠CAB，
∴sin∠BDC=sin∠CAB=BCAB=610=35．
故答案为：35；
(2)如图②中，在BC上取一点T，使得BT=12AB=4，连接AT，以AT为直径作⊙O，
∵tan∠ATB=ABBT=2，
∴当点P在⊙O上，且在直线AB的右边时，满足条件，
过点O作OH⊥AB于点H，交CD于点G，当点P在OG上时，点P到直线CD的距离最小．
∵AB=8，BT=4，
∴AT= AB2+BT2= 82+42=4 5，
∴OP=12AT=2 5，
∵OH//BT，AO=OT，
∴AH=BH，
∴OH=12BT=2，
∴PH=OH+OP=2+2 5，
∵四边形BHGC是矩形，
∴HG=BC=10，
∴PG=HG=PH=10−2−2 5=8−2 5，
∴点P到CD的最短距离为8−2 5；
(3)存在．
理由：如图③中，如图②中，在BC上取一点T，使得BT=3，连接AT，以AT为直径作⊙O，
∵tan∠ATB=ABBT=43，
∴当点P在⊙O上，且在直线AB的右边时，满足条件cs∠APB=35，
过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，延长AP交BC于点J．
∵S△ADP=12⋅AD⋅PM=3PM，S△ABP=12⋅AB⋅PN=2PN，
又∵S△ADP：S△ABP=3：2，
∴PM=PN，
∴PA平分∠BAD，
∴∠JAB=45°，
∴BA=BJ=4，AJ=4 2，
∴JT=JB−BT=1，
∵JP⋅JA=JT⋅JB，
∴PJ=44 2= 22，
∴AP=AJ−PJ=4 2− 22=7 22，
∴AN=PN=72，
∴S△ABP=12⋅AB⋅PN=12×4×72=7．
(1)求出sin∠CAB，再利用圆周角定理解决问题；
(2)如图②中，在BC上取一点T，使得BT=12AB=4，连接AT，以AT为直径作⊙O，当点P在⊙O上，且在直线AB的右边时，满足条件，过点O作OH⊥AB于点H，交CD于点G，当点P在OG上时，点P到直线CD的距离最小；
(3)存在．如图③中，如图②中，在BC上取一点T，使得BT=3，连接AT，以AT为直径作⊙O，当点P在⊙O上，且在直线AB的右边时，满足条件cs∠APB=35，过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，延长AP交BC于点J.证明PM=PN，推出∠BAJ=45°，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．