2023年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学六模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学六模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列条件中不能判断是直角三角形的是(    )

A.  B.
C.  D. ：：：：

5.  如图，在中，，，，垂足为，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，且与轴交于负半轴，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在半径为的中，弦于点，若，则弧的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知点，，都在二次函数的图象上，若，则、，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  比较大小： ______填“”、“”、“”．

10.  正多边形的一个外角是，边长是，则这个正多边形的面积为______．

11.  一个等腰三角形，其底与腰的长度比为，这样的三角形称为黄金三角形如图，是黄金三角形，，，则的长为______ 保留根号
 

12.  如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为______．

13.  如图，在菱形中，，，为上一动点，于点，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
如图，已知矩形，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法
 

18.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，线段分别交、、于点、、，求证：．

19.  本小题分
某校购买了型课桌椅套和型课桌椅套供学生使用，共付款元已知每套型课桌椅比每套型课桌椅多花元，求该校购买每套型课桌椅和每套型课桌椅的钱数．

20.  本小题分
圆周率是无限不循环小数历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位有学者发现，随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是的概率为______ ；
某校进行校园文化建设，拟从以上位科学家的画像中随机选用幅，求其中有一幅是祖冲之的概率用画树状图或列表方法求解

 

21.  本小题分
在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度研究表明：望向屏幕中心的视线与水平线的夹角时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时如图，观看屏幕最舒适，此时测得，，液晶显示屏的宽为求显示屏顶端与底座的距离结果保留一位小数参考数据：，
 

22.  本小题分
快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息小时后仍按原速行驶，慢车没有休息快车和慢车的行驶路程与行驶时间之间的关系如图所示．
求图中线段所表示的与之间的函数表达式；
求点的坐标，并解释点的实际意义．

23.  本小题分
中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动发现该校全体学生的竞赛成绩百分制均不低于分，现从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理和分析成绩得分用表示，共分成四组，并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：，，，，，，，，，．
竞赛成绩分组统计表

请根据以上信息，解答下列问题：
“”这组数据的中位数是______ 分；
若学生竞赛成绩达到分以上含分获奖，则估计全校名学生中获奖的人数为______ 人；
请计算随机抽取的这名学生竞赛成绩的平均分．

24.  本小题分
已知抛物线：的图象与轴相交于、两点点在点的左侧，与轴相交于点．
当时，判断的形状；
抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点在轴右侧有一点，使得是等腰直角三角形，并且点在抛物线上，求此时抛物线的解析式．

25.  本小题分
如图为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若．
求证：是的切线；
若，，求的长．

26.  本小题分
已知正方形，在边上有一动点，连接，一条与垂直的直线沿方向，从点开始向上平移，垂足为点，交边所在直线于点．
如图所示，当直线经过正方形顶点时，则 ______ ．
如图所示，直线沿继续向上平移，连接，当，，求的最小值；
如图所示，当直线经过的中点时，与对角线交于点，连接，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，根据对顶角得出，根据三角形的外角性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故是直角三角形，选项A不符合题意；
，
，故是直角三角形，选项B不符合题意；
，
是直角三角形，选项C不符合题意；
：：：：，
最大角，故不是直角三角形，选项D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状．
 

5.【答案】 

【解析】解：作于，
，，
，
，
，
．
故选：．
作于，由角平分线的性质得到，由锐角的正弦定义即可求出的长．
本题考查角平分线的性质，解直角三角形，关键是由角平分线的性质得到．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，
，
，
图象与轴交于负半轴，
，
，
，
的值可以是．
故选：．
根据一次函数的图象过点，可得，即，再根据图象与轴交于负半轴，得，所以，即，即可得出的值可以是．
本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，
，，
，
由圆周角定理得：，
的长为：，
故选：．
连接、，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算吗，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴为，
点、的情况：，故点比点离对称轴远，故；
点、的情况：，故点比点离对称轴远，故；
点、的情况：，故点比点离对称轴远，故；
故，
故选：．
逐次比较、、三个点离函数对称轴距离即可求解．
本题的关键是找到二次函数的对称轴；掌握二次函数的图象性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：
先把平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
此题主要考查了算术平方根的性质，首先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：设正多边形是边形．
由题意：，
，
这个正多边形的面积，
故答案为．
设正多边形是边形．由题意：，求出即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，等边三角形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：是黄金三角形，，，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，等腰三角形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点，作轴，轴，垂足分别于，．

设点的坐标是，则，．
，
．
，
．
，
∽．

，
，．
因为点在反比例函数的图象上，
．
点在反比例函数的图象上，
点的坐标是．
．
故答案为：．
要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点，作轴，轴，垂足分别于，根据条件得到∽，得到：，进而得到点的坐标是，，问题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点的坐标用含、的式子表示是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：于点，
，
点在以为直径的圆上运动，
取的中点，连接交于，则的值最小，
连接，
在菱形中，，，
为等边三角形，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：
根据垂直的定义得到，推出点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接交于，则的值最小，连接，推出为等边三角形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先计算乘方、立方根和特殊角的三角函数值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能正确地进行计算．
 

15.【答案】解：，
解得：，
解得：，
所以不等式组的解集为：． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：原式


． 

【解析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】在矩形的内部作等边三角形，延长交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质，可以得到，，然后即可得到，，再根据可以证明和全等，从而可以得到，然后即可得到结论成立．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求结论需要的条件．
 

19.【答案】解：设该校购买每套型课桌椅需元，每套型课桌椅需元，
由题意得：，
解得：，
答：该校购买每套型课桌椅需元，购买每套型课桌椅需元． 

【解析】设该校购买每套型课桌椅需元，每套型课桌椅需元，由题意：校购买了型课桌椅套和型课桌椅套供学生使用，共付款元．每套型课桌椅比每套型课桌椅多花元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】解：
将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：

共有种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有种结果，
其中有一幅是祖冲之的概率为． 

【解析】解：随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定，
从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能结果，其中出现数字的只有种结果，
从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字的概率为，
故答案为：；

由题意得出从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能结果，其中出现数字的只有种结果，利用概率公式求解即可；
将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

21.【答案】解：如图，过点作于点，

，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
答：显示屏顶端与底座的距离约为． 

【解析】过点作于点，根据锐角三角函数求出和的长，进而求出显示屏顶端与底座的距离．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：点的横坐标为：，
则点的坐标为，
快车的速度为：，
由题意知，快车从点到点用的时间为：小时，
则点的坐标为，
设线段所表示的与之间的函数表达式，
则，
解得，，
线段所表示的与之间的函数表达式为．
慢车的速度为：，
设点的横坐标为，
则，
解得，，
则，
点的坐标为，点代表的实际意义是在小时时，快车与慢车行驶的路程相等． 

【解析】根据题意可以求得点与点的坐标，从而利用待定系数法可求得与之间的函数表达式．
根据图象可知，点表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而求得点的坐标，并写出点的实际意义．
本题考查了一次函数的实际应用，明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想去解答是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：“”这组的数据从小到大排列为：，，，，，，，，，．
“”这组数据的中位数是分，
故答案为：；
人，
答：估计全校名学生中获奖的人数有人．
第组的频数，
随机抽取的这名学生竞赛成绩的平均分是：分．
根据中位数的意义即可求解；
先求出第组的频数，根据平均数的意义即可求解；
求出学生竞赛成绩达到分以上学生所占的百分比，即可估计总体中学生竞赛成绩达到分以上学生所占的百分比，进而求出人数．
本题考查扇形统计图、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
 

24.【答案】解：当时，抛物线：，
令，则，令，则或，
，，，
，
是等腰直角三角形；
抛物线：的图象与轴相交于、两点点在点的左侧，与轴相交于点．
，
抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点．
，
是等腰直角三角形，
当时，则，
，
点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，则，
，
点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，则，
点在轴上，

点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为；
综上所述，抛物线的解析式为或或． 

【解析】解方程得到，，，求得，于是得到是等腰直角三角形；
根据中心对称的性质得到，当时，则，求得，解方程得到，于是得到抛物线的解析式为；当时，则，求得，解方程得到，于是得到抛物线的解析式为；当时，则，得到解方程得到，于是得到抛物线的解析式为．
本题是二次函数的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，中心对称的性质，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，如图，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；

解：，
设，则，
，
．
为的直径，
，
，
，
．
∽，
，
．
，
，
，
为的中位线，
，
． 

【解析】连接，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质与已知条件得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
利用已知，设，则；推导出后，得到∽，然后分别求得、，再利用解答即可．
本题主要考查了切线的判定与性质、垂径定理以及圆周角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
故答案为：；
如图，过点作，交于，作于，

，，
，
点在过点平行于的直线上运动，
作点关于的对称点，连接，，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
，，
，
的最小值为；
如图，过点作，交于，交于，连接，

，，
四边形是平行四边形，

四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
点是的中点，，
，
≌，
，
，
，
，
．
由“”可证≌，可得，即可求解；
由三角形的面积公式可得，则点在过点平行于的直线上运动，由勾股定理可求解；
由“”可证≌，可得，可求，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．