2023年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学七模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学七模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  函数中，自变量的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示是一个三棱柱，画出它的主视图和左视图均正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某学校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线与轴、轴分别交于、两点，下列各点向右平移个单位后落在内部的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在平面直角坐标系中将抛物线沿轴平移后的顶点恰好落在了轴上，则正确的平移方式为(    )

A. 将抛物线向上平移个单位 B. 将抛物线向下平移个单位
C. 将抛物线向上平移个单位 D. 将抛物线向下平移个单位

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  下列各数：，，，，，其中是无理数的有______ 个

10.  在正六边形中，对角线与相交于点，则的值为______ ．

11.  如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作，使它与位似，且相似比为，则点的坐标为______ ．

12.  已知点、是同一个反比例函数图象上的两点，若，，则 ______ ．

13.  如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则 ______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
已知中，，请利用尺规作图的方法在边上取一点，使得保留作图痕迹，不用写作法

18.  本小题分
如图，在▱中，点在边上，点在边的延长线上，且，求证：．

19.  本小题分
母亲节来临之际，某店铺举行促销活动一件标价为元的外套，店铺在促销活动期间按标价的折再让利元销售，此时该店铺仍可获利，问此外套的进价是多少？

20.  本小题分
为参加学校举办的争创全国文明城市知识竞赛比赛，七班经过投票初选小亮和小明票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛，经班长与他们协商，决定用纸牌游戏来确定谁去参赛胜者参赛小亮、小明两人都握有分别标记为、、、的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：胜，胜，胜，胜；其他情况均无法分出胜负．
若小亮出“”牌，则小明获胜的概率为______ ．
求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率．

21.  本小题分
如图，小明和同伴发现在某地小山坡的点处有一座亭子，他们想利用皮尺、测倾器测量亭子到山脚下的距离即的长度，小明站在点处，同伴移动测倾器至点处时，测得小明头顶和亭子的仰角测倾器的高度忽略不计已知：，米，米，已知小明的身高米，请根据以上数据，求的长度．

22.  本小题分
如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额元与购买千克之间的函数图象如图所示．
求时，与之间的函数关系；
请你帮欣欣妈妈计算：一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省多少元？

23.  本小题分
某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：

写出被抽取的学生人数______ ，并补全条形统计图．
被抽取的学生的年龄的众数是______ 岁，中位数是______ 岁
若共有名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在岁及以上的学生人数．

24.  本小题分
如图，是的外接圆，，过点作，交于点，交于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．

25.  本小题分
平面直角坐标系中，已知抛物线过、两点．
求该抛物线的函数表达式；
将该抛物线向右平移个单位得到抛物线，点是抛物线与原抛物线的对称轴的交点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
问题探究：
如图，在中，，，，则的面积为______ ．
如图，内接于半径为的，若，求的长度；

问题解决：
如图，某幼儿园有一块平行四边形的空地，其中米，米，，为了丰富孩子们的课业生活，将该平行四边形空地改造成多功能区域，已知点、在边上，点在边上，连接，，现要求将其中的阴影三角形区域设置成木工区，阴影四边形区域设置成益智区，其余区域为角色游戏区若，请问：是否存在一种规划方案，使得木工区域和益智区域的面积和尽可能大？若存在，求出两个区域即两部分阴影区域面积和的最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围问题，当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以，可求的范围．
【解答】
解：，
解得，
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：如图所示的一个三棱柱，它的主视图和左视图是．
故选：．
主视图中间靠左有虚竖线的长方形；左视图是一个长方形；依此即可求解．
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】
解：、，正确；
B、，无法计算，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出．
延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出≌，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积．
【解答】
解：延长交于，
垂直的平分线于，
，，
在和中
，
≌，
，，
和等底同高，
，
，
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：当，，则，
当，，则，
中向右平移个单位得，在的边上，故不符合要求；
中向右平移个单位得，将代入得，则在的边上，故不符合要求；
中向右平移个单位得，在的外部，故不符合要求；
中右平移个单位得，将代入得，由可知在的内部，故符合要求；
故选：．
当，，则，当，，则，根据向右平移个单位，确定各选项平移后的点坐标，然后进行判断即可．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点坐标的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，进而求出，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：连接，







，，
，
，
是劣弧的中点，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：抛物线，
原抛物线的顶点坐标为．
将抛物线沿轴平移，平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上，
平移后抛物线的纵坐标为，
将原抛物线的顶点向上平移个单位即可使得平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上，
平移方式为将抛物线向上平移个单位．
故选：．
根据解析式求得原抛物线的顶点坐标为，根据题意可得将原抛物线的顶点向上平移个单位即可使得平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上，即可求解．
本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
在，，，，，其中是无理数的有，，共个；
故答案为：．
根据无理数的定义，进行判断即可．
本题考查无理数．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：六边形是正六边形，
，
，
，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式即可得出，进而可得，即可求解．
本题考查了正多边形和圆、多边形的内角以及等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，在第三象限内作，使它与位似，且相似比为，点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
根据位似变换的性质、第三象限的点的坐标特征解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

12.【答案】 

【解析】解：点、是同一个反比例函数图象上的两点，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
将点、代入得到，，在代入可得到，结合即可得出值．
本题考查了求反比例函数解析式，掌握待定系数法和代入消元法是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接交于点，过点作于点，

，，
，在的垂直平分线上，即垂直平分，
，
，，
，
，
，
四边形的面积，
，
，
，
线段平分四边形的面积，
，，
：：，
，
故答案为：．
连接交于点，证明垂直平分，利用勾股定理可求解，，进而解答即可．
本题主要考查线段垂直平分线，勾股定理，三角形的面积，证明垂直平分是解题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方，特殊角的时函数值，化简绝对值是解题的关键．
 

15.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法．
本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 

17.【答案】解：如图：点即为所求．
 

【解析】作的角平分线即可．
本题考查了复杂作图，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，进而可得，利用定理可证明≌，进而可得结论．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等且平行．
 

19.【答案】解：设外套的进价为元，
由题意，得：，
解得：；
答：此外套的进价是元． 

【解析】设外套的进价为元，根据店铺在促销活动期间按标价的折再让利元销售，此时该店铺仍可获利，列出方程进行求解即可．
本题考查一元一次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意可得，若小亮出“”牌，则小明获胜需要亮出“”，而小明亮出的牌有种等可能性，故若小亮出“”牌，则小明获胜的概率为，
故答案为：；
树状图如下：
则各出一次牌能分出胜负的有种等可能性，分别为、、、，、、、，一共有种等可能性，
故一次游戏就能分出胜负的概率是，
即一次游戏就能分出胜负的概率是．
根据题意，可以得到若小亮出“”牌，小明获胜的概率；
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到一次游戏就能分出胜负的概率．
本题考查了概率公式、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
 

21.【答案】解：过作于，
，
，
设为米，米，米，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
答：的长度为米． 

【解析】过作于，根据相似三角形的性质解答即可．
此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为：，
将，代入关系式中得：，
由得：，
解得：，
将代入中得：，则，
故当时，与之间的函数关系为：；
解：由图象可知：当时，函数关系为：，
当时，，
故平均分次购买所需总费用为：元，
将，代入中得：元，元，
故一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省元． 

【解析】根据图象可知，图象经过，两点，设函数解析式为：，将两点代入函数解析式中求解即可；
计算出当时，函数的关系式，将代入函数关系式，，代入中分别计算出一次性购买千克这种水果和平均分次购买的费用，在计算费用之差即可．
本题考查运用一次函数解决实际问题，能够根据图象得到函数关系式是解决本题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：被抽取的学生人数：，
故答案为：，
岁的学生有：人，
岁的学生有人，
补全的条形统计图如右图所示；
由条形统计图可知，
被抽取的学生的年龄的众数是岁，中位数是岁，
故答案为：，；
人，
即估计活动中年龄在岁及以上的学生有人．
根据岁的人数和所占的百分比，可以计算出本次被抽查的学生人数，然后即可计算出户岁和岁的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以得到被抽取的学生的年龄的众数和中位数；
根据统计图中的数据，可以计算出活动中年龄在岁及以上的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
；
解：≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
证明∽，得出，求出的长，则可得出答案．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线过、两点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．
，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
将抛物线向右平移个单位得到抛物线的解析式为，对称轴为轴，
，
点为抛物线对称轴上的一点，点是平面直角坐标系中一点，
设，，
点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，
有以下两种情况：
当、为菱形的对角线时，、的中点重合，且，
，
解得：或，
或；
当、为菱形的对角线时，、的中点重合，且，
，
解得：或，
或；
综上所述，存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，
符合条件的点的坐标为或或或． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
根据平移的性质可得抛物线的解析式为，对称轴为轴，，设，，又，分两种情况：当、为菱形的对角线时，、的中点重合，且，当、为菱形的对角线时，、的中点重合，且，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、中点坐标公式、勾股定理等，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

在中，，则，
，
故答案为：；
连接、，过点作，垂足为点，

，
，
，
三角形为等腰三角形，
，
，
，
；
存在，理由如下：
如图，过点作，交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，
四边形是平行四边形，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
≌，
，，
，，
要使得阴影区域面积最大，只需要最小．
过点作于点，
在中，，
，

作的外接圆，连接、、，则，
过点作于点，则，，
设的半径为米，
在中，米，米，
米，
，即，
，
，
、、三点共线时，最小，最小值为，
最小值为平方米，
最大值为平方米．
过点作于点，先利用锐角三角函数计算出，再根据面积公式即可求得的面积；
连接、，根据圆周角定理即可求得的度数，再根据等腰三角形的性质及锐角三角函数求得的长，进而求得的长即可；
第一步：过点作，交延长线于点，先证≌，进而可得要使得阴影区域面积最大，只需要最小；第二步：过点作于点，利用锐角三角函数即可计算出，进而可计算出平行四边形的面积；第三步：作的外接圆，设半径为米，连接、、，根据圆周角定理及垂径定理可表示出、，再根据即可得出的范围，进而得到的范围，判断的最小值，从而得到最小值，阴影区域面积最大值．
本题考查圆的综合应用，掌握勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、圆的有关性质，三角形三边关系等是解题的关键．