【专项训练】相似三角形五大模型+训练（共45题）-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

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【专项训练】相似三角形五大模型+训练（共45题）一、解答题1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.证明：△BCD∽△BDE.【答案】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE=∠CBD ，∵BD2=BC⋅BE ，∴BCBD=BDBE ，∴△BCD∽△BDE.【解析】【分析】根据角平分线的定义可得 ∠DBE=∠CBD ，由 BD2=BC⋅BE 可得 BCBD=BDBE ，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得△BCD∽△BDE.2．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AD=6，CD=2．求证：△BCD∽△ACB．【答案】证明：∵BC=4，AD=6，CD=2，∴AC=8∴BCAC=24=12CDBC=24=12∴BCAC=CDBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB【解析】【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．3．已知线段a，b的比例中项线段c=2，线段a=1，求线段b．【答案】解：∵c是线段a、b的比例中项， ∴c2=ab， ∴22=1⋅b， ∴b=4.【解析】【分析】根据比例中项的概念结合题意可得c2=ab，将c=2、a=1代入求解可得b的值.4．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？【答案】解：∵7cm14cm=12 ， 8cm16cm=12 ， 12cm24cm=12 ，∴这两个三角形相似【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两个三角形相似，可知这两个三角形相似。5．已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB=MD；（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．【答案】证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，∵∠ABC=∠CDE=90°，∴AB∥DN，∴BMMN=AMME，而点M为AE中点，∴AM=ME，∴BM=MN，∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，∴MB=MD；（2）∵AB∥NE，∴ABNE=AMME=1，即AB=NE，∵AB=BC，DC=DE，∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，∵AB=BC，DC=DE，∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，∴∠CED=∠ACB=∠45°，∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，∴CE∥BN，AC∥DM，∴四边形MGCH为平行四边形，而∠GMH=90°，∴四边形MGCH为矩形．【解析】【分析】（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DN得到 BMMN=AMME，加上AM=ME，则BM=MN，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MD；（2）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥NE得到ABNE=AMME=1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，则△BDN为等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，则可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判断四边形MGCH为平行四边形，加上∠GMH=90°，则可判断四边形MGCH为矩形．6．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2 3 ．求证：△ACD∽△ABC．【答案】证明：∵ADAC = 223 = 33 ， ACAB = 236 = 33∴ADAC = ACAB ，又∵∠A=∠A∴△ACD∽△ABC【解析】【分析】通过所给条件，得出对应边成比例，以及他们的夹角相等，即可证三角形相似。7．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°，求证：△ABD∽△DCE；【答案】解：∵∠BAC=90° ， AB=AC ， ∴∠B=∠C=45° ，∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE ， ∠B=∠ADE=45° ，∴∠BAD=∠CDE ，∴△ABD∼△DCE ．【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，再结合∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE可得∠BAD=∠CDE，即可证明△ABD∼△DCE。8．如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，对角线 AC 、 BD 交于点O，点E在 AB 上，且 EO∥BC ，已知 AD=2 ， BC=4 .求 EO 的长. 【答案】解：∵AD∥BC ， ∴ADBC=AOOC∵AD=2 ， BC=4 .∴AOOC=12∴AOAC=13∵EO∥BC ，∴EOBC=AOAC∴EO=43【解析】【分析】首先由AD∥BC可以推出 ADBC=AOOC ，再利用已知条件可以求出 AOAC=13 ，然后由EO∥BC可以得到 EOBC=AOAC ，由此即可求出EO．9．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？ 【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90°，∴当 ABDP=BPCD 或 ABCD=BPDP 时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴614−BP=BP4 或 64=BP14−BP ，解得：BP=2或12或 425 ，即PB=2或12或 425 时，△PAB与△PCD是相似三角形【解析】【分析】由题意得出∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定得出当 ABDP=BPCD 或 ABCD=BPDP 时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠D+∠DHE＝∠B+∠BHF＝90°而∠BHF＝∠DHE，∴∠D＝∠B，又∵∠DEH＝∠C＝90°，∴△DEH∽△BCA．【解析】【分析】△DEH与△ABC均为直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一组锐角对应相等即可．11．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°，求证：△ACP∽△PDB．【答案】证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°．∴∠ACP=∠PDB=120°．∵∠APB=120°，∴∠A+∠B=60°．∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠B=60°．∴∠A=∠DPB．∴△ACP∽△PDB．【解析】【分析】先证明∠ACP=∠PDB=120°，然后由∠A+∠B=60°，∠DPB+∠B=60°可证明∠A=∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．12．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．【答案】解：∵AB∥CD，∴CEAE=CDAB=126=2 ，∴CEAC=CEAE+CE=21+2=23 ，∵AB∥EF，∴EFAB=CEAC ，即 EF6=23 ，解得EF=4cm【解析】【分析】由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P.求证：(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC.【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即∠CEB＝∠CDA＝90°，∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC.【解析】【分析】考查相似三角形的判定。14．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= 23 S△DEC= 83 x，S△ACE= 83 x+4x= 203 x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= 12 S△ABC=20，∴203 x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= 83 x=8，∴S▱AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。15．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， ADDB=AEEC 。（1）求AD的长；（2）试问 DBAB=ECAC 能成立吗？请说明理由。【答案】（1）解：设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，x：12-x=6：4，解得x=7.2，∴AD=7.2（2）解：能，由AB＝12，AD＝ 365 ，故DB＝ 245 .于是 DBAB=25 ，又 ECAC=410=25 ，故 DBAB=ECAC .【解析】【分析】（1）由题意设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，将AD、DB、AE、EC代入已知的比例式计算即可求解；（2）由（1）中计算的AD可求得BD的长，分别计算DB：AB和EC：AC的值即可判断。16．如图，（1）若AE：AB=　 　，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E=　 　，则△ABC∽△AEF．【答案】（1）AF：AC（2）∠B【解析】【解答】解：⑴若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；⑵若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．故答案为：AF：AC；∠B【分析】（1）找到对应边成比例关系，即可证相似。（2）找到对应角相等，可证相似。17．如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．（1）求证：AE＝ED； （2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴AE＝ED（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED， ∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEFS△BCF=(DEBC)2=14【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根据“两个角对应相等且一角所对的边对应相等的两个三角形全等”这一定理可推出△ABE≌△DCE，则AE=DE；（2）由于AD//BC，BD与CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。18．阅读材料，回答问题在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；（2）求CF的长．【答案】（1）解：△ADE∽△FCD，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB∥CD，∴∠CDF=∠DEA．又CF⊥DE，∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，因而，△ADE∽△FCD（2）解：由题意知，AD=CD=1，AE= 12 ．在直角△DEA中，有DE= AD2+AE2 = 12+(12)2 = 52 ．由（1）可得： CFAD = CDDE ，则CF= AD⋅CDDE = 255【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和平行线的性质，由两角法证明△ADE∽△FCD；（2）根据勾股定理及相似三角形对应边成比例求解。19．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为　 　．；（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．【答案】（1）解：由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x∴4x20 = 30−3x30∴x= 103 ；（2）409 cm或20cm（3）解：当S△BCQ：S△ABC=1：3时， CQAC = 13 ，∴AQCQ=21 ，由（1）知，PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴APPB=AQCQ=2 ，∴S△APQ：S△ABQ=2．【解析】【解答】解： （2）假设两三角形可以相似，情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有 3x4x = 2030−3x 解得x= 109 ，经检验，x= 109 是原分式方程的解．此时AP= 409 cm，情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有 3x30−3x = 204x 解得x=5，经检验，x=5是原分式方程的解．此时AP=20cm．综上所述，AP= 409 cm或AP=20cm；故答案为： 409 cm或20cm；【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3时， CQAC = 13 ，于是得到 AQCQ=21 ，通过相似三角形的性质得到 APPB=AQCQ=2 ，即可得到结论．20．如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝ 3 ． （1）求证：△BOC∽△BCD； （2）求△BCD的周长． 【答案】（1）证明：∵DC是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°，∵∠D=30°，∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，∴∠DCB=120°=∠BOC，又∵∠B=∠D=30°，∴△BOC∽△BCD；（2）解：∵∠D=30°，DC= 3 ，∠OCD=90°， ∴DC= 3 OC= 3 ，DO=2OC，∴OC=1=OB，DO=2，∵∠B=∠D=30°，∴DC=BC= 3 ，∴△BCD的周长=CD+BC+DB= 3 + 3 +2+1=3+2 3 ．【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，再根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OCB=30°，所以得到∠DCB=120°=∠BOC，再结合∠B=∠D=30°，即可证明相似；（2）由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解。21．如图，直线 l1∥l2∥l3 ，AC分别交 l1,l2,l3 于点A，B，C；DF分别交 l1,l2,l3 于点D，E，F；AC与DF交于点O.已知DE=3，EF=6，AB=4. （1）求AC的长； （2）若BE：CF=1：3，求OB：AB. 【答案】（1）解：∵l1∥l2∥l3，∴DEDF=ABAC ，即 33+6=4AC ，解得：AC=12 （2）解：∵l1∥l2∥l3，∴BECF=OBOC=13 . ∵AB=4，AC=12，∴BC=8，∴OB=2，∴OBAB=24=12 .【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得 DEDF=ABAC，代入数据即可求出AC的长；（2）根据平行线分线段成比例定理可得 BECF=OBOC=13，从而求出OB的长，从而求出OB：AB的值.22．请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．【答案】（1）证明；如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴ABAC=BDCD．（2）解；如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=BC2+AB2=42+32=5，∵AD平分∠BAC，∴ACAB=CDBD，即53=CDBD，∴BD=38BC=38×4=32，∴AD=BD2+AB2=(32)2+32=325，∴△ABD的周长=32+3+325=9+352【解析】【分析】（1）过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，可得BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，再结合AE=AC，可得ABAC=BDCD；（2）先利用勾股定理求出AC的长，再结合ACAB=CDBD，即53=CDBD，求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，最后利用三角形的周长公式计算即可。23．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 y=6x 的图象交于A，B两点，与x轴交于点P，过点A作AE⊥x轴于点E，AE＝3． 模型1：平行线模型1.如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB＝2：3，若DE＝4，则AB等于（　　）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由DE∥AB，则△CDE∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例即可求出AB．【解答】解：∵CE：EB＝2：3，∴CE：CB＝2：5，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴△CDE∽△CAB，∴＝，∵DE＝4，∴AB＝10，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的对应边成比例是解题关键．【变式1-1】如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）A． B． C． D．【分析】利用平行四边形的性质先说明对边平行，再利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥AB，ED∥BC．∵DF∥AB，∴＝，＝，△EDF∽△EAB．∴＝．故选项A、B、D正确；∵ED∥BC，∴△EDF∽△BCF．∴＝≠．故选项C错误．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法及相似三角形的性质是解决本题的关键．【变式1-2】如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由AE2＝AG•AC易得△AEG∽△ACE，所以∠AEG＝∠ACE＝∠DAG，可得△ADG∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB∥CD；（2）∵AE2＝AG•AC，∴＝，∵∠EAG＝∠CAE，∴△AEG∽△ACE，∴∠AEG＝∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAG，∴∠DAG＝∠AEG，∵∠ADG＝∠EDA，∴△ADG∽△EDA，∴，即＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【变式1-3】如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的长；（2）若CD＝6，求AB的长；（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．【分析】（1）根据AB∥EF得到△CEF∽△CAB，接着利用相似三角形的性质得到EF：AB＝2：3＝CE：CA，由此求出CA＝6即可求解；（2）根据AB∥EF∥CD，得到△ABE∽△CDE，接着得到AB：CD＝AE：CE，利用比例的性质最后得到EFAE：CE＝AB：CD＝1：2即可求出AB＝3；（3）由于△CEF∽△CAB得到S△CEF：S△CAB＝＝＝，由此即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB，∴EF：AB＝2：3＝CE：CA，∵CE＝4，∴2：3＝4：CA，∴CA＝6，∴AE＝CA﹣CE＝6﹣4＝2；（2）∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：CD＝AE：CE，∵EF：AB＝2：3＝CE：CA，∴CE：EA＝2：1，∴AE：CE＝AB：CD＝1：2，而CD＝6，∴AB＝3；（3）∵△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB＝＝＝，∴＝，∴＝，∴S△CEF＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用性质是解题的关键．模型2：“A”字或反“8”字模型2.如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2，∠AED＝∠B，则DE＝（　　）A． B． C．3 D．2【分析】通过∠AED＝∠B，∠A为公共角，证明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形对应边成比例求出DE的长．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴DE＝，∵AD＝2，BC＝5，AC＝4，∴DE＝＝．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．【变式2-1】如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝4，AC＝6．求BD的长．【分析】根据已知可得△ACD∽△ABC，由对应边成比例可得AB＝9，进而可得BD的长．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵AD＝4，AC＝6，∴．∴BD＝AB﹣AD＝5．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，能根据已知条件得到△ACD∽△ABC是解题关键．【变式2-2】如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E．AE＞BE，若AB＝8，CE＝4，DE＝3，求AE．【分析】根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，证明△AEC∽△DEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理得：∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△AEC∽△DEB，∴＝，∵AB＝8，CE＝4，DE＝3，∴＝，整理得：AE2﹣8AE+12＝0，解得：AE1＝2，AE2＝6，∵AE＞BE，∴AE＝6，答：AE的长为6．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，证明△AEC∽△DEB是解题的关键．【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD．（1）求证：△ABE∽△DCE；（2）AE•CD＝BC•ED．【分析】（1）根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE；（2）由（1）中的相似可得出AE：DE＝BE：CE，再由∠BEC＝∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵AB2＝BE•BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE•CD＝BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．题型3：双垂直模型（射影定理）3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90°，若BC＝6cm，AC＝8cm，求BD的长．【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10，由射影定理得，BC2＝BD•AB，∴BD＝＝3.6（cm）．【点评】本题考查的是勾股定理，射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝4，AD＝6．（1）求证△ABD∽△CAD；（2）求AC的长．【分析】（1）依据∠BAC＝90°，AD⊥BC，即可得到∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA＝90°，进而判定△ABD∽△CAD；（2）依据相似三角形的性质即可得到CD的长，再根据勾股定理进行计算，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，又∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴＝，∴AD2＝BD×CD，∴CD＝＝＝9，Rt△ACD中，AC＝＝＝3．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；（2）根据已知易证△ACD∽△CBD，然后进行解答即可．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．【变式3-3】已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．【分析】（1）根据判别式等于0可得出三边的关系，继而可判断出三角形的形状；（2）结合（1）的结论，利用射影定理即可直接解答．【解答】解：（1）∵两根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．【点评】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，综合性较强，注意掌握射影定理的运用．题型4：一线三等角模型4.如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．【分析】根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠CEF，从而证明△BAE∽△CEF，得出＝，即可解决问题．【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵AB＝BC，∴，∴，∴CE＝4，∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，∴正方形ABCD的边长为6．【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟悉基本几何模型是解题的关键．【变式4-1】如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）证明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．【分析】（1）∠B＝∠C＝45°，再根据等角的补角相等可证明∠ADB＝∠DEC，从而可证明两个三角形相似；（2）由AE＝ED，得出AD垂直平分BC，求出BD的长度即可．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°+∠EDC，∴∠AED＝∠ADC．∴∠DEC＝∠ADB（等角的补角相等）．而∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE．故△ABD∽△DCE得证．（2）解：当AE＝DE时，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【变式4-2】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答；（2）利用角平分线的性质可得∠PCD＝∠ACP，从而可得∠PCD＝∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的长为；（2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∵∠ACP＝∠DPB，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．题型5：手拉手模型-旋转相似5.已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性质得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论．【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质．【变式5-1】如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：（1）△ABC∽△ADE（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE为多少【分析】（1）根据题目给的两组角相等即可得相似；（2）根据（1）中相似可证△AEC∽△ADB，进而可求其相似比．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵AC：BC＝3：4，设AC＝3x，则BC＝4x，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝5x，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠EAC＝∠DAB，，∴△AEC∽△ADB，∴，即BD：CE＝5：3．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形中的“手拉手”模型是解题关键．【变式5-2】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．【分析】（1）由题意可知，又∠ACD＝∠BCE，从而证明结论；（2）过A作AG⊥CD于G，则△AGC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AG的长，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键