专题四 几何最值问题课件---2024年中考数学一轮复习

这是一份专题四 几何最值问题课件---2024年中考数学一轮复习，共58页。PPT课件主要包含了类型清单，题型讲解，方法点拨，解题技巧，模型一一动一定，模型解读，例题1，思路指导，当堂检测，模型二两动一定等内容，欢迎下载使用。

几何最值问题是中考的热点问题（每年必考）,题型丰富,变化灵活,综合性强,考查的知识点众多,涉及数形结合、转化等多种数学思想,考查了学生的添加辅助线,依题画图,建构知识体系等能力,一般都是各题型的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养.
此类问题的解答,关键是要掌握每种模型的特征、辅助线的作法及解题原理,能在实际问题中发现模型、建构模型,并依据模型解答问题,解决实际问题.
主要是利用重要的基本事实或者定理,如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等,以及可以转化为一次函数和二次函数利用其性质来求最值.
　如图,已知直线l外一定点A和直线l上一动点B,求A,B之间距离的最小值,通常过点A作直线l的垂线AB,利用垂线段最短解决问题,即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
核心素养·模型观念 （教材改编题）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AB=5,点D是AB上的动点（点D可与点A,B重合）,若CD=x,则x的取值范围是（ ）A.2.4≤x≤3B.2.4≤x<4C.2.4≤x≤4D.2.4≤x≤5
利用垂线段最短,确定点C到AB的最短距离为2.4,最长为AC长度4,所以选C.
1.如图,AD是△ABC的高,BD=3,AD=DC=4,点P是边AB上一动点,点P 从点B出发,沿BA匀速运动,点P运动到点A时,停止运动.求运动过程 中,点P与点C之间的最短距离.
点P是∠AOB的内部一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PN+MN最小.要PN+MN最小,设法将PN,MN转化在同一条直线上,想到作点P关于OB的对称点P',即求P'N+MN的最小值,因此只要P'M⊥OA,利用垂线段最短即可求解.

2.如图,菱形ABCD的边长为3,∠ABC=60°,I是DA的三等分点,点E,F分别是AB,BD上的动点.在求EF+FI的最小值时,小明作辅助线的方法是:过点I作BC的垂线.
(1)他这样做的依据是 .(2)求EF+FI的最小值.
直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短
模型三 两定一动（“胡不归”问题）
“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA+k•PB(0分析:本模型的关键在于如何确定“k•PB”的大小,如图②,过点P作PQ⊥BN于点Q,则k•PB=PB•sin∠MBN=PQ,∴求“PA+k•PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值问题,即当A,P,Q三点共线时“PA+k•PB”的值最小(如图③),此时AQ⊥BN,利用垂线段最短求解即可.
利用两点之间线段最短求最值问题的解法主要是通过轴对称,将与定点相关的线段进行变化,将问题转化为定点到定点的距离问题或定点到定直线的距离问题,然后通过两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、点到直线之间垂线段最短,解决此类最值问题.
模型一 两定一动，点到点最值问题
两定点一动点,转化成点与点距离最值问题如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小.
(1)作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB.(2)当A',P,B三点共线的时候,PA'+PB=A'B,此时为最小值(两点之间线段最短).
(教材改编题)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于PB+PE最小值的是(　　)A.BD　　 　 B.CE　　　 C.BC　　 　D.AD
连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC≥CE,推出P,C,E共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长度.
4.(2022•贵州遵义)在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E为AC的中点,P为AD上一动点,若AD=12,则PC+PE的最小值为(　　)A.12　 　　B.10　　 　C.8　　 　D.6
模型二 一定两动，点到点最值问题
一定点两动点,转化成点与点距离最值问题在OA,OB上分别取点M,N,使得△PMN周长最小.
此处M,N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线),OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+P″N,当P',M,N,P″共线时,△PMN周长最小.
(教材改编题)如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为　　　　.
设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点M,N在CD上时,△PMN的周长最小,据此求解即可.
8.如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=35°,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为(　　)A.145° B.110° C.100° D.70°
9.如图,OB是一条河流,OC是一片菜田,张大伯每天从家(A点处)去河处流边挑水,然后把水挑到菜田处,最后回到家中.请你帮他设计一条路线,使张大伯每天行走的路线最短.下列四个方案中你认为符合要求的是(　　)
模型三 两定两动，点到点最值问题
两定点两动点,转化成点与点距离最值问题在OA,OB上分别取点M,N使得四边形PMNQ的周长最小.
考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似地,分别作点P,Q关于OA,OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',当P',M,N,Q'共线时,四边形PMNQ的周长最小.
在某一地方,有条小河和草地,一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马,再到小河饮马,你能为他设计一条最短的路线吗?(在N上任意一点即可牧马,M上任意一点即可饮马)
A,B是两个定点,把点A关于ON对称得到对称点E,点B关于OM对称得到对称点F,连接EF交ON于C,交OM于点D,则AC-CD-DB即为最短路线.
10.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴;
(2)点D,E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.
1.圆外一点P到圆上的最短距离为PA,最长距离为PB(P,A,O,B四点在同一条直线上,即P,A,B三点连线过圆心O).
2.圆内一点P到圆上的最短距离为PA,最长距离为PB(P,A,O,B四点在同一条直线上,即P,A,B三点连线过圆心O).
模型一 定点定长求最值
在点O左侧作点D使得DO=OA.连接CD,所以OM为△ACD的中位线,CD=2OM.由BC=1可知,点C在半径为1的☉B上,通过画图可知,C在BD与圆B的交点时,OM最小,在DB的延长线上时,OM最大,根据三角形的中位线定理可得结论.
11.如图,已知☉C的半径为3,圆外一点O满足OC=5,点P为☉C上一动点,经过点O的直线l上有两点A,B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值是(　　)A.2　　 　B.4　　 　C.5　　 　D.6
模型一 定角定长求最值
由AB=6,P是平面内一动点,且∠APB=90°,可知点P在以AB为直径的圆上.可知当点P和圆心O,点E三点共线时PE的长度最大.
如图,AB为☉O的一条定弦,点C为AB一侧弧上一动点.当点C在优弧上,CH⊥AB且CH过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离;当点C在劣弧上,CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离.
如图,☉O与直线l相离,点P是☉O上的一个动点,设圆心O到直线l的距离为d,☉O的半径为r,则点P到直线l的最小距离是d-r,最大距离是d+r.
(教材改编题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是　　　　.
点P在以点F为圆心,以2长为半径的圆弧上.过点F作FG⊥AB,垂足为G,过点P作PD⊥AB,垂足为D,根据垂线段最短,得当PD与FG重合时PD最小,利用相似求解即可.