浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.39 整式的乘除（全章复习与巩固）（知识讲解）

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1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
【知识要点】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘除
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
【典型例题】
类型一、整式的乘除➽➼幂的运算✭✭幂的逆运算
1．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）计算：
【答案】(1)-8 (2)
【分析】（1）结合幂的混合运算进行计算即可．
（2）结合幂的乘方，乘法公式运算即可．
（1）解：原式
（2）解：原式
【点拨】本题考查幂的混合运算，包含绝对值，0次幂，负整数指数幂，幂的乘方等运算公式，熟练地运用公式进行计算是解题关键．
举一反三：
【变式1】（2022秋·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期末）计算：
； （2）．
【答案】(1)4； (2)-x2y．
【分析】（1）先去绝对值，计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）先算乘方，再从左到右依次计算．
解：（1）原式=2-1+3
=4；
（2）原式=9x4•（-4y3）÷36x2y2
=-36x4y3÷36x2y2
=-x2y．
【点拨】本题考查实数运算和整式的运算，解题的关键是掌握实数运算，整式运算的相关法则．
【变式2】（2022春·八年级课时练习）计算：
；
；
先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)-1 (2) (3) (4)，－25．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂计算，再合并即可求解；
（2）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解；
（3）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解；
（4）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解．
（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
（4）原式=
=
=，
当=－5时，原式=－25．
【点拨】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键．
2．（2022春·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题
比较大小：______（填写、或）
比较与的大小（写出具体过程）
已知，求的值
【答案】(1) (2)，见分析 (3)972
【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，即可进行解答；
（2）将根据幂的乘方的逆运算，将与转化为同指数的幂，再比较大小即可；
（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将转化为，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有和的性质，进行计算即可．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：．
（2）∵，，，
∴．
（3）原式
=972．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．
举一反三：
【变式1】（2022春·四川乐山·八年级统考期中）已知，若实数a、b、c满足等式，，．
求的值；
求的值；
求出、、之间的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）直接逆用同底数幂的乘法和幂的乘方计算；
（2）直接逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算；
（3）先用同底数幂的乘法求出的值，再判断其与的关系．
解：（1）．
（2）．
（3）∵，
∴．
【点拨】本题考察了同底数幂的运算和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）按要求解答下列各小题．
已知，，求的值；
如果，求的值；
已知，求m的值．
【答案】(1)4(2)(3)
【分析】（1）根据同底数幂相除的运算法则即可得到答案；
（2）将变成底数为3的幂，根据同底数幂相乘的法则即可得到答案；
（3）将8，变为底数为2的幂，再根据同底数幂相乘及相除的法则即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由题意可得，
，
∵，
∴；
（3）解：由题意可得，
，
∴，
解得．
【点拨】本题考查同底数幂乘除的法则：同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减．
类型二、整式的乘除➽➼整式的乘法
3．（2022春·广东湛江·八年级校考阶段练习）计算：
；
；
．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可；
（2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可；
（3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；
（1）解：
．
（2）
；
（3）

．
【点拨】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】（2022春·湖南长沙·八年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）计算：
；（2）．
【答案】(1)17 (2)
【分析】（1）先根据乘方的意义，负整数次幂的意义和零次幂的意义进行化简，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）根据整式的混合运算法则，进行计算即可．
（1）解：原式．
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，零次幂，负整数次幂以及整式的乘法运算，解题的关键是掌握相关运算法则和运算顺序．
【变式2】（2022春·河南周口·七年级校联考期中）如图，把8张长为a，宽为b的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白部分分别用A，B表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m，（用a，b，m分别表示周长和面积）
填空：①空白部分A的周长__________，面积_____________，
②空白部分B的周长______________，面积________________；
若，求，的代数式．
【答案】(1)①，；②，(2)，
【分析】（1）①根据题意可得空白部分A的边长分别为a，，再根据长方形的周长公式和面积公式，即可求解；②根据题意可得空白部分B的边长分别为，再根据长方形的周长公式和面积公式，即可求解；
（2）先分别化简，再把代入化简后的结果，即可求解．
（1）解：根据题意得：空白部分A的边长分别为a，，
∴①空白部分A的周长，面积；
故答案为：，；
②根据题意得：空白部分B的边长分别为，
∴空白部分B的周长，面积，
故答案为：，；
（2）解：
；
当时，
；
【点拨】本题主要考查了整式的加减，单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
类型三、整式的乘除➽➼平方差公式✭✭完全平方公式
4．（2022春·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）化简下列多项式：
； （2）.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；
（2）利用平方差公式计算，即可求解．
（1）解：
（2）解：
【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用乘法公式计算是解题的关键 ．
举一反三：
【变式1】（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算：
; (2)
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【点拨】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
【变式2】（2022春·四川乐山·八年级统考期中）运用公式进行简便计算：
； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；
（2）运用平方差公式进行变形进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
5．（2022春·四川内江·八年级校考阶段练习）（1）已知实数x，y满足，，求的值．
（2）已知实数a、b满足，，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；
（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得和的值，即可求解．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点拨】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
举一反三：
【变式1】（2022春·上海松江·七年级校考期中）已知，．求下列各式的值：
；
；
．
【答案】(1)19 (2)13 (3)
【分析】（1）利用完全平方公式可得，将，代入即可得到答案；
（2）利用完全平方公式，结合（1），代入即可得到答案；
（3）根据平方差公式可得，展开得，将，代入即可得到答案．
（1）解：
，
（2）解：，
由（1）得
（3）解：
，
【点拨】此题考查完全平方公式和平方差公式的运用，认真审题，仔细观察和分析题干的已知条件，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
【变式2】（2022春·上海闵行·七年级校联考期中）已知：，将先化简，再求它的值．
【答案】，
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据，整体代入化简后的式子计算即可．
解：

，
当时，原式．
【点拨】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
类型四、整式的乘除➽➼整体的除法
6．（2022春·八年级课时练习）计算下列各题：
；
．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）原式利用器的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；
（2）原式中括号里利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
（1）解：


（2）解：
【点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】（2022春·四川广元·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】先根据乘法公式化简中括号里面的运算，然后根据多项式除以单项式的计算法则进行化简，最后代值计算即可．
解：原式

当，时，原式．
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式和多项式除以单项式的计算法则是解题的关键．
【变式2】（2022春·北京怀柔·八年级统考期末）已知，求代数式的值．
【答案】2
【分析】首先求出，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式，代入即可得出答案．
解：∵，
∴，
．
【点拨】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出，正确化简代数式是解题的关键．
类型五、整式的乘除➽➼图形问题
7．（2021春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．
若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示）
由（1）你可以得到乘法公式____________．
根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：
计算：①；
②．
【答案】(1) (2)(3) ①；②
【分析】（1）由图2可知该长方形的长为，宽为，从而由长方形面积公式即可得出答案；
（2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出；
（3）由平方差公式和完全平方公式计算即可．
解：（1）图2中的阴影部分面积为．
故答案为：；
（2）由（1）可以得到乘法公式：．
故答案为：；
（3）解：①
；
②
．
．
【点拨】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】（2020春·八年级课时练习）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2) 请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：
根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若，则= ．（请直接写出计算结果）
【答案】(1)m-n(2)方法1：，方法2：(3)
(4)29
【分析】（1）观察得到长为，宽为的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图中的阴影部分的正方形面积得到；
（4）根据（3）的结论得到，然后把，代入计算．
（1）解：图中的阴影部分的正方形的边长等于长为，宽为的长方形的长宽之差，即；
（2）解：方法一：图中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
方法二：图中的阴影部分的正方形的边长等于，所有其面积为；
故答案为；
（3）解：；
（4）解：，
当，，
．
故答案为29
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．
【变式2】（2022春·八年级课时练习）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________
A． B．
C． D．
(2) 应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
【答案】(1)B(2) ①7 ；②
【分析】(1)分别表示两个图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
(2)①利用平方差公式，整体代入即可得出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，再根据规律可得出答案．
（1）解：图中两个阴影部分的面积分别为：a2−b2和(a+b)(a−b)，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：B；
（2）解：①∵，，，
∴，
∴；
②
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变形，从而达到简便运算的目的是解决本题的关键．
中考真题专练
【1】（2022·江苏常州·统考中考真题）计算：
； (2)．
【答案】(1)(2)2x+2
【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；
（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．
解：（1）
＝2﹣1+
＝；
（2）
＝
＝2x+2．
【点拨】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．
【2】（2022·广西·统考中考真题）先化简，再求值，其中．
【答案】x2-2y，0
【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
解：
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y
当x=1，y=时，原式=12-2×=0．
【点拨】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
【3】（2022·河北·统考中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见分析
【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
解：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点拨】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
【4】（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1) (2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
【点拨】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．