浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.25 整式的除法（知识讲解）

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1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
特别说明：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点四、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即
特别说明：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【典型例题】
类型一、整式的除法➽➼科学记数法
1．（2019秋·辽宁锦州·七年级统考期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×吨B．1.5×吨C．15×吨D．1.5×吨
【答案】A
【分析】解答时，分两步走，把150写成1.5×吨；把1万亿写成，
根据题意，列式计算即可．
解：∵150＝1.5×吨；1万亿＝，
∴它体重的万亿分之一为＝＝1.5×（吨），
故选A．
【点拨】本题考查了科学记数法的综合计算，同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法和同底数幂的除法法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
【答案】7.1×10-7
【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．
故答案是：7.1×10-7．
【点拨】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
用含m，n的代数式表示Q；
若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由总付款=甲书进价×甲书数量+乙书进价×乙书数量，即可求得Q．
（2）将代入（1）式，计算化简后用科学记数法表示即可．
（1）解：由题意得，；
（2）解：将代入，得：
；
（3）解：．
【点拨】本题考查了用字母表示数，同底数幂的乘法，除法，科学记数法，在解题中要注意正确计算以及代数式的正确书写．
类型二、整式的除法➽➼单项式除以单项式➽➼化简求值
2．（2021春·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）将看做一个整体，利用单项式除以单项式的运算法则计算，再计算乘方即可．
解：（1）；
（2）．
【点拨】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（2021春·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据单项式除以单项式法则计算即可；
（2）（3）根据单项式除以单项式法则计算即可；
（4）把数字和幂分别相除，再将结果相乘．
解：（1）原式=
=；
（2）原式=
；
（3）原式=
=；
（4）原式=
=．
【点拨】本题考查单项式除以单项式法则，单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
【变式2】（2022春·福建福州·八年级校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】先算积的乘方，再算单项式÷单项式即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查单项式的除法．熟练掌握单项式除法的运算法则：把被除式与除式的系数和相同字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的字母的幂也作为商的因式，是解题的关键．
类型三、整式的除法➽➼多项式除以单项式➽➼化简求值
3．（2021春·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
解：（1）
（2）
．
【点拨】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（2022春·八年级课时练习）先化简，在求值，其中，．
【答案】，．
【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式、多项式除以单项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入，求解即可．
解：
，
当，时原式．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是能正确根据整式的运算法则进行化简，注意运算顺序．
【变式2】（2021春·八年级课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）先计算括号内的，逆用乘法分配律进行计算，根据整式的除法法则进行计算即可；
（2）先根据乘法公式计算括号内的，再根据多项式除以单项式的法则进行计算即可；
（3）先计算括号内的，再计算除法，最后计算减法；
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，去括号，掌握整式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
类型四、整式的除法➽➼整式的混合运算✭✭化简求值
4．（2022春·八年级课时练习）计算
（1）； （2）；
（3）； （4） ．
【答案】(1) (2) (3) (4)－17－21m
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，以及整式的除法法则计算，即可得到结果；
（3）原式先利用完全平方公式及平方差公式计算，再去括号及合并同类项即可得到结果；
（4）原式先利用平方差公式及多项式乘多项式法则进行计算，再去括号及合并同类项即可得到结果．
（1）解：
＝
＝
（2）
（3）
＝
（4）（1－2m）（2m＋1）－（3＋4m）（6－m）．
＝
＝
＝－17－21m
【点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】（2022春·八年级课时练习）计算：
；
（用乘法公式简算）
【答案】(1)(2)1(3)
【分析】（1）先用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把结果合并同类项即可；
（2）先把第二项变成平方差公式的形式，再根据平方差公式展开后去括号、合并同类项即可得解；
（3）先把整个式子变成平方差公式的形式求解，再把第二项利用完全平方公式展开后再去括号即可得解．
解：（1）


（2）



（3）



【点拨】本题考查整式的运算，熟练掌握多项式的乘法法则及多项式乘法公式的应用是解题关键．
【变式2】（2022春·八年级课时练习）（1）先化简，再求值．，其中，．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1），2.5；（2）；1．
【分析】（1）先根据整式的各运算法则及运算顺序进行化简计算，再代入求出答案即可；
（2）先根据整式的各运算法则及运算顺序进行化简计算，再代入求出答案即可．
解：（1）原式＝
，
当，时，原式；
（2）原式
，
当时，原式＝1．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
中考真题专练
【1】（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，-9
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：原式
．
，
，
原式
【点拨】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【2】（2022·江苏常州·统考中考真题）计算：
；
．
【答案】(1)(2)2x+2
【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；
（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．
解：（1）
＝2﹣1+
＝；
（2）
＝
＝2x+2．
【点拨】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．
【3】（2022·江苏苏州·统考中考真题）已知，求的值．
【答案】，3
【分析】先将代数式化简，根据可得，整体代入即可求解．
解：原式
．
∵，
∴．
∴原式
．
【点拨】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
【4】（2010·广西南宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a=2，.
【答案】，0.
解：（1），
=，
=，
当，时，原式===0.