浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.4 幂的乘方与积的乘方（知识讲解）

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1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
要点一、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点二、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
要点三、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、幂的乘法与积的乘方➽➼幂的乘方运算
1．计算：
； (2)
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）先运用积的乘方将括号内的幂的乘方进行化简，再进行同底数幂的乘除法运算即可；
（2）先将括号内的算式看做一个整体，运用同底数幂的乘除法运算法则进行化简即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
【点拨】本题考查幂的运算，能够运用整体思想简化运算过程是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】化简：
【答案】
【分析】先根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行化简，再合并同类项即可；
解：原式=
=
=
【点拨】本题主要考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式2】计算：
； (2) ．
【答案】(1) 0； (2) ．
【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；
(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．
解：（1）原式=
；
（2）原式=
．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相应的计算法则是解题的关键．
类型二、幂的乘法与积的乘方➽➼幂的乘方运算逆运算
2．已知，，求：
； (2) ．（结果用含a，b的代数式表示）
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【点拨】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
举一反三：
【变式】（1）； （2）
【答案】（1）0；（2）
【分析】（1）首先把化成，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可；（2）可化成，1.5可以化作，再根据，负数的偶次幂为正计算即可．
解：（1）原式
（2）原式
【点拨】本题考查了同底数幂，乘方的运算，仔细观察题目，化简底数是解题的关键．
类型三、幂的乘法与积的乘方➽➼积的乘方运算
3．（1）若，求的值．
（2）若，求、的值．
【答案】（1）8 （2）n＝3，m＝4
【分析】（1）根据同底数幂乘法的计算法则可以得到，则4n＋3＝35，由此求解即可；
（2）根据积的乘方和同底数幂乘法的计算法则可得，则3 n＝9且3m＋3＝15，由此求解即可．
解：（1）∵，
∴，
∴4n＋3＝35，
∴n＝8；
（2）∵，
∴ ，
∴3 n＝9，3m＋3＝15，
∴n＝3，m＝4．
【点拨】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，解一元一次方程，熟知同底数幂乘法和积的乘方计算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】计算
； (2) ；
； (4) ；
(5)；
【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5).
【分析】（1）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可；
（3）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可；
（4）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可；
（5）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可.
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
【点拨】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握幂的四则运算法则是解题的关键.
类型四、幂的乘法与积的乘方➽➼积的乘方逆运算
4．计算：（-1）-1+（-5）2022×（-）2021
【答案】-6
【分析】先凑出积的乘方逆用的条件，再逆用积的乘方运算法则，然后再按有理数混合运算法则计算即可．
解：（-1）-1+（-5）2022×（-）2021
=-1+（-5）×[（-5）2021×（-）2021]
=-1+（-5）×[（-5）×（-）] 2021
=-1+（-5）×12021
=-1+（-5）×1
=-1-5
=-6．
【点拨】本题主要考查了逆用积的乘方运算法则、含乘方的有理数四则混合运算等知识点，凑出积的乘方逆用的条件是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】用简便方法计算下列各题：
（1）； （2）
【答案】（1）； （2）
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案．
解：（1）

；
．
【点拨】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
【变式2】已知：2m+2·3m+2=63m-2，求（1-3m)2-4m2+6．
【答案】15
【分析】先根据同底数幂的乘法法则得到6m+2=63m-2，从而求出m，代入代数式求值．
解：2m+2·3m+2=（2×3）m+2=6m+2=63m-2，
∴m+2=3m-2，
解得：m=2，
∴（1-3m)2-4m2+6
=（1-3×2）2-4×22+6
=15
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和代数式求值以及一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则．
类型五、幂的乘方与积的乘方➽➼同底数幂的乘法✭✭幂的乘法✭✭积的乘方
4．计算：
； (2) ； (3) ．
【答案】 (1)； (2) ； (3)
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可
（2）计算各项的幂的乘方即可
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可
解：（1）
（2）
（3）
【点拨】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解决问题的关键．
【变式1】计算：
(1)已知，求 n 的值；
(2)已知 n 是正整数，且，求的值．
【答案】(1)3； (2)4．
【分析】（1）由，得到一元一次方程 ，即可求解；
（2）把变形为，再把代入计算即可．
解：（1），
，
解得.
（2），
当时，
原式
．
【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．
【变式2】阅读下列材料：若，，且，比较m，n的大小．
解：因为，，27>16，所以，所以．
依照上述方法解答下列问题：
(1)若，，则x______y（填写“>”，“<”或“=”）
(2)若，，且满足，，试比较a与b的大小．
【答案】(1)<； (2)a>b
【分析】（1）根据材料的方法以及幂的乘方即可判断；
（2）根据材料的方法以及幂的乘方即可判断．
解：（1），
，
，
，
，
，
．
故答案为： ；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，，
．
【点拨】本题主要考查幂的乘方，掌握幂的乘方是解题的关键．
中考真题专练
1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）下列运算一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．
解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
2．（2021·内蒙古通辽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
解：A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.，故该选项计算正确，符合题意，
D.，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
3．（2020·浙江衢州·中考真题）计算（a2）3，正确结果是（ ）
A．a5B．a6
C．a8D．a9
【答案】B
解：由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．
故选B．