专题01 锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 正弦、余弦与正切的概念辨析
题型二 求角的正弦值
题型三 已知正弦值求边长
题型四 求角的余弦值
题型五 已知余弦值求边长
题型六 求角的正切值
题型七 已知正切值求边长
【知识梳理】
知识点1：正切与余切
1.正切
直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．
．
2.余切
直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（ctangent）．锐角A的余切记作ct A．
．
a
c
A
B
C
b
知识点2：正弦与余弦
1.正弦
直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．
．
2.余弦
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（csine）．锐角A的余弦记作cs A．
．
a
c
A
B
C
b
【经典例题一 正弦、余弦与正切的概念辨析】
1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值．
【详解】解：如图，中，，，
，
设，，
由勾股定理得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
2．（2020上·西安·阶段练习）在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
则sin，即，故A正确，不符合题意；
，即，故B不正确，符合题意；
，即，故C正确，不符合题意；
，即，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
3．（2021上·吉林·阶段练习）如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
过点B作BC⊥OA于点C．
由勾股定理，得AO=，BO=，
∵=AB×OE=AO×BC，
∴BC= =，
∴sin∠AOB= =．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键．
4．（22·23·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴，
，
∵，
∴，
过点作于点，

∵，是的角平分线，
∴
∵
∴
设，则，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
5．（2021秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，为的中点，，．

(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别在和中用勾股定理求解即可；
（2）过点作，根据求出，再利用面积相等求出，进而求出答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵是的中点，
∴.
∴；
（2）解：过点作，垂足为，如图，

∵为的中点，，，
∴，
∵，
∴.，
∴；
【点睛】本题考查勾股定理及锐角三角函数，掌握相关计算是解题关键．
【经典例题二 求角的正弦值】
1．（22·23下·沈阳·开学考试）如图，是的直径，点C和点D在上，若的半径是4，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用直径所对的圆周角为得到是直角三角形，然后利用勾股定理求得边的长，然后求得的正弦即可求得答案．
【详解】是直径，
，
的半径是4，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．
2．（22·23上·青岛·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值．
【详解】解：如图，过B作于点D
根据勾股定理得：
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．
3．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）在中，，点D是直线上一点，若，，的值为
【答案】或
【分析】分两种情况：点D在线段上，点D在线段的反向延长线上，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】解：如图1，点D在线段上，过点A作于点E，过点B作于点F，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2，点D在线段的反向延长线上，过点A作于点E，过点B作于点F，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上可知，的值为或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了求锐角三角函数、勾股定理、含角的直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键．
4．（22·23·杭州·二模）点E为正方形的边上一点，连接，且与相交于点M．若，则 ．

【答案】
【分析】由，推出，得到,则，令，，由勾股定理得到，即可求出．由，得到．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
令，，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正方形的性质，关键是由得到．
5．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在菱形中，，点E为上一点（），连接，作交于F．连接，．

(1)求证：四边形为菱形．
(2)记菱形的面积为，菱形DEBF面积为．若，，．求的长．
【答案】(1)见解析．
(2)．
【分析】（1）如图，连接，由菱形知，,，求证，进一步证得，所以四边形为菱形；
（2）如图，由菱形面积公式及性质可得，，结合，推出；中，推出，于是；由勾股定理，中，中．
【详解】（1）如图，连接，交于点O，

∵四边形是菱形
∴,
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴四边形为菱形
（2）如图，

∵
∴
∴
中，
∴
∴
中，
∴，解得
∴，
∴中，．
【点睛】本题考查菱形的性质和判定、全等三角形，勾股定理；灵活利用题干条件，根据面积公式、三角函数定义确定线段间的数量关系是解题的关键．
【经典例题三 已知正弦值求边长】
1．（22·23下·咸阳·二模）如图，点A，B，C均在上，连接、、，过点O作于点D，若的半径为4，，则弦的长是（ ）

A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】连接、，由等腰三角形的性质得到，，再由圆周角定理得到，进而得到，然后利用特殊角的三角函数，求出，即可求出弦的长．
【详解】解：连接、，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数，解题关键是利用圆周角定理和等腰三角形的性质求出的度数．
2．（22·23下·深圳·阶段练习）如图，，，若，，则点到的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
，
点到的距离是，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（22·23下·绵阳·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上， ，点F为上一点，，若，则的长为 ．
【答案】4
【分析】过点作交于点，设，，，根据等边对等角可推出，从而证出，然后等角的正弦值相等即可求出，从而求出，再根据等角对等边可得，最后根据勾股定理列出方程即可求出结论．
【详解】解：过点作交于点，
设，，，
则，，，，
，
，
，
整理可得：，
在中，，即，
，，
，
解得：，
，
，，
，
，
在中，，即，
整理，得，
，
整理，得，
解得：（不符合实际，舍去），
即，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的性质和勾股定理，掌握等边对等角，等角对等边，等角的锐角三角函数相等和勾股定理是解决本题的关键．
4．（22·23下·合肥·三模）在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处．请完成下列问题：
（1） ；
（2）当时，的长为 ．
【答案】
【分析】（1）在中，，，利用，即可求出的值，即可求出的长度；
（2）交于，过点作交的延长线于，因为是边的中点，，利用勾股定理求出，将沿直线翻折得到，可得到，可得到，结合，求出的长，即可得到最后结果．
【详解】解：（1）在中，，
，
设，，
，
解得：，
；
故答案为：10．
（2）如图，交于，过点作交的延长线于，
，
，
是边的中点，
，
，
，
，
将沿直线翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，也考查了折叠的性质和解直角三角形，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线构造成比例线段是解答本题的关键．
5．（2023·北京·九年级专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，点是的延长线上的一点，，的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】（1）根据中位线的定理得到，再根据直角三角形的性质得到即可解答；
（2）连接，设根据锐角三角形函数得到，再根据中位线定理及平行线分线段成比例得到即可解答．
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，，点是中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；

（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，，点是中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，是的切线，
∴在中，，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查了中位线定理，直角三角形的性质，切线的判定与性质，锐角三角函数，掌握切线的判定与性质是解题的关键．
【经典例题四 求角的余弦值】
1．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得出、，由、、可得出，根据全等三角形的性质可得出、，设，则、、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的值，再利用余弦的定义即可求出的值．
【详解】解：根据折叠，可知：，
，．
在和中，
，
∴，
，．
设，则，，
，，
．
在中，，即，
解得：，
，
．
故选C
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合，求出的长度是解题的关键．
2．（2022春·福建福州·九年级校考期中）如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质结合可得出为等边三角形，进而可得出点为圆弧的圆心，将圆补充完整，利用圆周角定理找出点的位置，再根据菱形的性质即可得出为等边三角形，进而即可得出的值．
【详解】解：在图中标上点、，连接，

四边形为菱形，
，平分．
，
为等边三角形，
，
点为圆弧的圆心．
，
以点为圆心长度为半径补充完整圆，点即是所求，如图所示．
所对的圆周角为、，
图中所标点符合题意．
四边形为菱形，且，
为等边三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点的位置是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，点F为其重心，连接、并延长分别交、于点D、E，且，，则 ．
【答案】/
【分析】先根据三角形重心的性质得到为的中线，，再根据等腰三角形的性质得到，，则利用勾股定理得到，所以，接着计算出，然后根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵点F为的重心，
∴为的中线，，
∵，，
∴，，
在中， ，
∴，
在中，BF＝，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）在矩形中，过点A作的垂线，垂足为点，矩形的两边长分别是2和3，则的值是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当，时，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当，时，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上分析可知，的值是或．
【点睛】本题主要考查了求三角函数值，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，数形结合，注意分类讨论．
5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．

(1)求点A、B、C、D的坐标；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)；；；；
(2)．
【分析】（1）令，则，则点B的坐标为．令，则，则点A的坐标为．从而，，在中，利用勾股定理得，由折叠可得，从而得到点D的坐标为．根据由折叠得到，利用面积公式可得，代入即可求出，所以点C的坐标为．
（2）在中，利用勾股定理求得，从而，又由折叠可得，从而．
【详解】（1）当时，，
∴点B的坐标为；
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为；
∴，
∴在中，，
∵由折叠可得，点B的坐标为，点B在点D的上方，
∴点D的坐标为．
∵由折叠可知：，
即，
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
（2）∵在中，，，，
∴，
∴，
∵由折叠可得
∴．
【点睛】本题考查折叠问题，直线与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用相关知识，利用数形结合是解题的关键．
【经典例题五 已知余弦值求边长】
1．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，为的边上一点，，，，，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】根据，，可求出，，再证明，即可作答．
【详解】∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
3．（2023·山东聊城·统考三模）在中，，，，以AC所在直线为轴，把旋转一周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意先求出斜边的长，再根据圆锥侧面积公式进行求解即可．
【详解】解：在中，，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
以AC所在直线为轴，把旋转一周，得到圆锥，则该圆锥的母线为5，底面半径为4，
，
故答案为：20π．

【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，圆周的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题关键．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在四边形中，，，，，，则 ．

【答案】/
【分析】先根据余弦的定义可得，设，则，，再根据可求出的值，从而可得的值，然后利用勾股定理可得的值，最后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：，，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
解得，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正弦与余弦、勾股定理等知识点，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．
5．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．

(1)求证；
(2)求证：
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件可得，，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，根据，即可得证；
（3）根据矩形的性质以及已知条件，得出∠CAD=∠ABE，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
；
（2），
：：，
又，
；
（3）解四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，余弦的定义，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
【经典例题六 求角的正切值】
1．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，．
∴，，
∴，
∴
∵，，则，
设，则，
∴
解得：或
∵，
∴，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据题意，先证明，得到，，进而得到，由，利用勾股定理得到，根据，得到，在中，根据即可求解．
【详解】解：和均为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及求正切值，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则 ．

【答案】/0.5
【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解．
【详解】解：中，，
，
由折叠的性质可得，，，
．
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正切函数，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．
4．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考自主招生）如图，中，，于D，E为上一点，于F，与交于点G，若，则的值是 ．
【答案】
【分析】由题意可知，，，过点作与，则，，可得，，进而可知，设，，则，，可得，，根据，得，即，令，则，解之即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
过点作与，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，则，
则，，
∵，
∴，即，整理得：
即：，令，
则，解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求正切值，等腰三角形的性质，添加辅助线利用互余证得是解决问题的关键．
5．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）如图，在边长为9的正方形中，等腰的直角顶点与正方形的顶点C重合，斜边EF与正方形的对角线交于点E，射线与交于点P，与交于点Q且．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用等角的余角相等求得，再利用即可证明；
（2）证明，得到，再由已知求得，据此求解即可；
（3）先证明是等腰直角三角形，得到，在中，利用勾股定理列式求得，进一步计算即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，是等腰直角三角形
，
，
在与中，
∵，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点F作于R，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
在中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【经典例题七 已知正切值求边长】
1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，沿着折叠使点落在边上点处，过点作交于点．若，，则的长为（ ）

A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】连接，根据折叠的性质和平行线的性质，证得，然后可证得，求得的长度，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】如图所示，连接．

根据折叠的性质可知，，，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
又，
∴．
∴．
∴．
设，则，．
在中，根据勾股定理可得
．
即
．
解得
．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、勾股定理等，能根据题意构造辅助线是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形中，，，，点O为对角线交点，点E为延长线上一动点，连接交于点F，当时，求的长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作于H，延长交于M，，由，令，，勾股定理得，则，得到，由四边形是平行四边形得到，，，则，得到是等腰直角三角形，则，可得，由得到，求得，证明，则，得到，由得到，即可得到的长度．
【详解】解：作于H，延长交于M，，

∵，
∴令，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于 ．

【答案】
【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长交于点D，利用中线的定义求出，利用正切的定义求出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长交于点D，

∵点G为的重心，
∴是中线，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知，点P在边上，，点M，N在边上，，如果，那么 ．
【答案】2或4/4或2
【分析】①当在线段上时，过作交于，可求，设，则，可求，由即可求解；②当在线段上时，过作交于，由即可求解．
【详解】解：①如图，当在线段上时，
过作交于，

，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
，
；
②如图，当在线段上时，
过作交于，

同理可求，，
；
综上所述：或．
故答案：或．
【点睛】本题考查了一般角的正切函数，等腰三角形的性质，掌握三角函数的定义及等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连结．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)于点，连结，若是的中点，，
①求的长．
②求平行四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据三角形中位线定理证明，，进而可以解决问题；
（2）①设与交于点，设，则，证明，得，所以，，由，得，然后证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的值，②根据①的结论，勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：①设与交于点，

是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
即
②在中，根据勾股定理得：
，
平行四边形的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
【重难点训练】
1．（21·22下·哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，，则的半径为（ ）

A．4B．8C．D．
【答案】C
【分析】连接并延长交于点D，连接，根据是的直径得到，进而求出，根据勾股定理求出，即可得到的半径．
【详解】解：连接并延长交于点D，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为，
故选：C．

【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，根据角的正切值求线段，正确连出辅助线解决问题是解题的关键．
2．（23·24上·长春·阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，．
∴，，
∴，
∴
∵，，则，
设，则，
∴
解得：或
∵，
∴，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（22·23下·江门·期中）在中，，，，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为，连接，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图形翻折变换性质得到，设，则，再根据勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义得到答案．
【详解】解：由翻折而成，
．
设，则，
在中，，即，解得，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查翻折变换，锐角三角函数的定义，熟知图形翻折不变性是解题的关键．
4．（22·23下·株洲·自主招生）如图，在中，，，平分，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由角平分线的定义可得，再根据锐角三角函数可得，，从而得到，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，锐角三角函数，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
5．（21·22下·深圳·模拟预测）如图，已知平行四边形，点E为的中点，与交于点F，连接，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，取的中点O，连接，作于H，设，证明 是等边三角形，求出即可解决问题
【详解】解：如图，取的中点O，连接，作于H，设，

，
，
四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
则，
在中，
， ，
，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、等边三角形的判断和性质、四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．（23·24上·黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．

【答案】
【分析】由正方形，设，由，可得，则，即，，解得，，，根据，代值计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得，，，
∵，
∴，解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间的数量关系．
7．（21·22·武汉·模拟预测）如图，中，，，D为边上一点，且，点E为边上一动点，为等边三角形，则线段的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以为边作等边，连接交于点N，过A点作于点P，根据等边三角形的性质可得，，，从而可证，可得，，再利用锐角三角函数求得，，再根据直角三角形的性质可得，，，可得点F在过点H且垂直于的直线上移动，当点F与点P重合时，有最小值为，当点E与点A重合时，有最大值，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接交于点N，过A点作于点P，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴点F在过点H且垂直于的直线上移动，
∴当点F与点P重合时，有最小值为，
∵，
∴当点E与点A或点B重合时，有最大值，
此时，，
∴，
∴，
∴线段的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数及勾股定理，确定点F的轨迹是解题的关键．
8．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在中，D是的中点，平分，且，，，则 ．

【答案】
【分析】过点作于点G，根据角平分线的性质得：，利用平行线的性质及三角函数正切值得，进而得，在中，根据，得，利用勾股定理得，，利用相似三角形的判定及性质得，再利用相似三角形的判定及性质可得，，进而得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点G，如图：

平分，
，
，
，
，
，D是中点，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
根据勾股定理，得，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及锐角三角形函数正切值，熟练掌握相似三角形的判定及性质及勾股定理是解题的关键．
9．（21·22·武汉·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为 ．

【答案】
【分析】根据题意可得，即，设，则，根据直角三角形的性质可证，由此可求出的值，根据题意可得，，在中，根据余弦的计算方法即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵点在同一条直线上，
∴，即，
设，则，且，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，余弦的计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
10．（23·24上·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点、分别在、边上，若：：：．则 ．

【答案】
【分析】连接，，证明≌，求得，从而求得的长，然后根据勾股定理求得的长，过点作于，证明是等边三角形，求得，设，表示出，然后利用勾股定理求出，得到的长，再求的值即可．
【详解】解：，：：：，
，，连接，连接，

，，，
在与中，，
≌，
，
，
又∵，，
∴，
∴，
∵，即，
，
在中，，
，，
是等边三角形，
，
过点作于，设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形和直角三角形是解本题的关键．
11．（21·22·哈尔滨·模拟预测）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点均在小正方形的顶点上．

(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为8；
(2)在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形顶点上，，且三角形的面积为6．请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）以点B为端点，沿网格线取线段，以为邻边画平行四边形即可；
（2）如图，选定格点E，即为所求．如图，，，于是，．
【详解】（1）解：如图，以点B为端点，沿网格线取线段，以为邻边画平行四边形即为所求，
；

（2）解：如图，选定格点E，即为所求．
如图，，，
故，，．

【点睛】本题考查网格图中画图，平行四边形面积计算、三角函数计算、勾股定理；熟练三角函数定义是解题的关键．
四、问答题
12．（23·24上·杨浦·期中）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．

【答案】
【分析】过点A作于点E，D作于点F，根据勾股定理求出长，然后根据中点和相似三角形得到和长，再利用勾股定理得到长求出的正弦值．
【详解】过点A作于点E，D作于点F，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点是边的中点，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．（21·22下·宜昌·模拟预测）如图，已知平行四边形中，，，，点是射线上一动点，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，联结、．设．

(1)如图当点在边上时．
求证．
当时，求的值．
(2)当点在边的延长线上时，是否存在这样的点E使与相似？如果存在求出此时的长度m．
【答案】(1)①见解析，②3
(2)或
【分析】（1）利用平行四边形的性质及相似三角形的判定即可求证结论；
利用相似三角形的性质及三角形面积公式即可求解．
（2）根据相似三角形的性质及勾股定理，利用分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，
，，
．
由知，，
，
，
，
，
，
当时，
，
舍去或，
，
，
即：的值为．
（2）存在，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
当时，设，如图，

，
，
，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
，
，
，
，
；
当时，设，如图，

，
，
，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
，
，
在中，同理：，
，
，
，
，
．
综上所述：如果与相似，的长度为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质、勾股定理、正切，根据题意，作出相应图形，利用数形结合与分类讨论思想解决问题是解题的关键．
五、作图题
14．（23·24上·哈尔滨·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为，，． 请解答下列问题：

(1)画出关于y轴的对称图形．
(2)将绕点O顺时针旋转得到，画出．
(3)连接、，写出的正切值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（3）取格点D，使于D，根据正切的定义和网格特点求解即可．
【详解】（1）解：如图所示；

（2）如图所示；
（3）如图，取格点D，使于D，
则．
【点睛】本题考查了作图—轴对称和旋转变换，正切的定义，熟练掌握轴对称和旋转的性质以及网格特点是解题的关键．
六、证明题
15．（23·24上·齐齐哈尔·期中）已知，四边形是正方形，绕点D旋转，，连接，；直线与相交于点G、交于点P．
(1)如图1，猜想与的关系，并证明：
(2)如图2，于点M，于点N，则四边形是________形；
(3)如图3，连接，若，直接写出在旋转的过程中，
①当点E在正方形的内部，且时_________；
②线段长度的最小值__________；
【答案】(1)，证明见解析
(2)正方
(3)①②
【分析】（1）根据正方形的性质可得，再利用证明，得出，即可得出结论；
（2）先证明四边形是矩形，再根据正方形的性质可得，，，从而可证，可得，即可得出结论；
（3）①过点E作于点O，由（2）可得，四边形是正方形，
根据等腰直角三角形的性质可正方形的性质可得，，，从而可得，，利用勾股定理可得，利用等量代换可得，即，求得，即可求解；
②过点D作于点H，过点B作于点M，证明，可得，由勾股定理可得最大时，最小，的最大值为，从而可得，再等腰直角三角形的性质和勾股定理可得的最小值为．
【详解】（1）解：与垂直且相等，证明如下：
∵∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方；
（3）解：①过点E作于点O，由（2）可得，四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点D作于点H，由（2）可得，四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴最大时，最小，的最大值为，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．