专题02 三角函数值的相关计算与应用（11大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 求特殊角的三角函数值
题型二 特殊角三角函数值的混合运算
题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型四 由计算器求锐角三角函数值
题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数
题型六 已知角度比较三角函数值的大小
题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型八 利用同角三角函数关系求值
题型九 求证同角三角函数关系式
题型十 互余两角三角函数的关系
题型十一 三角函数综合
【知识梳理】
知识点1：特殊锐角三角比的值
1.特殊锐角的三角比的值
3.通过观察上面的表格，可以总结出：
当0    90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小．
【经典例题一 求特殊角的三角函数值】
1．（22·23·杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）

A．B．C．D．
2．（22·23下·娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A．B．C．D．
3．（22·23·榆林·三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则 ．

4．（22·23下·二模）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：
（1）原式中“”可以转化为，的值为 .
（2）原式中“”的结果为 ；
（3）原式中“”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为；
（4）原式的最终结果为1.
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；．
【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】
1．（22·23上·洛阳·期末）下列计算错误的个数是（ ）
①；；③；
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（22·23上·泰州·阶段练习）下列各式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020上·万州·期中）计算：= ．
4（2022上·永州·期末）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，求 ．
5．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算：
【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
1．（22·23上·盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
2．（2017下·芜湖·一模）在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
3．（22·23上·嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ．
4．（2021下·孝感·二模）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则 ．
5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．
【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】
1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
2 yx 3 － 16 ＝，按键的结果为m；
2ndF 6 4 － 2 x2 ＝，按键的结果为n；
9 ab/c 2 － cs 60 ＝，按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A．m＝nB．n＝kC．m＝kD．m＝n＝k
2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ．
B．用科学计算器计算：13××sin14°≈ （结果精确到0.1）
3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】
1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（ ）

A．2B．C．D．4
2．（22·23下·九江·三模）如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．

(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结，求的度数；
(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．
【经典例题六 已知角度比较三角函数值的大小】
1．（2019上·淮北·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．B．若为锐角，则
C．对于锐角，必有D．若为锐角，则
3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.
（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.
【经典例题七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为 ．
3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）
若，则___________；若，则__________；若，则__________；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．
【经典例题八 利用同角三角函数关系求值】
1．（22·23·娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022下·专题练习）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．
例：．
(1)试仿照例题，求出的值；
(2)若已知锐角α满足条件，求的值．
【经典例题九 求证同角三角函数关系式】
1．（2021春·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctA＝ .则下列关系式中不成立的是( )
A．tanA·ctA＝1B．sinA＝tanA·csA
C．csA＝ctA·sinAD．tan2A＋ct2A＝1
2．（2022春·全国·九年级专题练习）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号）
①；②；③当时，；④．
3．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．

【经典例题十 互余两角三角函数的关系】
1．（2022秋·广西百色·九年级校考期末）下列式子中，不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若，且，求的值．
【经典例题十一 三角函数综合】
1．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（ ）

A．3B．C．D．
2．（2023·上海长宁·统考一模）如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为 ．
3．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图（2），在中，于点D，，，
∵，由公式①，得，即：．
(1)请证明等式：；
(2)请利用结论求出的值．
【重难点训练】
1．（23·24上·广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（）
A．B．C．D．
2．（23·24上·聊城·阶段练习）在中，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（22·23下·阶段练习）如图，中，，，，，则（ ）

A．B．C．D．
4．（22·23下·恩施·一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（ ）

A．3B．C．D．
5．（22·23下·西安·模拟预测）如图，D为边上一点，且，，，，于点E，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（23·24上·威海·阶段练习）在中，，，，则边的长为 ．
7．（22·23上·青岛·阶段练习）如图（1）中，是一张正方形纸片，，分别为，的中点，沿过点的折痕将翻折，使得点落在（）中上，折痕交于点，那么 ．

8．（22·23下·六安·二模）如图，过原点，与轴、轴分别交于两点，已知，则弧的长为 ．

9．（22·23下·咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．

10．（22·23下·张家口·一模）如图，矩形纸片中，，，P为边上一点，将沿折叠，得到．
（1）当 时，点E落在上；
（2）点E，F关于对称，若，则= ．
11．（22·23上·哈尔滨·专题练习）如图，在中，于点D，点E为的中点，与交于点G，点F在边上．

(1)如图l，，，求证：；
(2)如图2，，，求的值．
四、计算题
12．（23·24上·泰安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
13．（23·24上·泰安·阶段练习）计算：
(1)
(2)
五、证明题
14．（22·23上·徐州·阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图（2），在中，于点D，，，
∵，由公式①，得，即：．
(1)请证明等式：；
(2)请利用结论求出的值．
六、应用题
15．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．

(1)求直线的解析式；
(2)P为线段上一点，Q为线段上一点，，设点P的横坐标为t，的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，点R在第二象限内，且四边形为平行四边形，连接BR，，求点P的坐标．
30°
45°
1
1
60°