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2024年重庆市育才中学校九年级下学期中考一诊数学试题
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这是一份2024年重庆市育才中学校九年级下学期中考一诊数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共 40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1. 2024的倒数是( )
A. 2024 B. -2024 C.12024 D.-12024
2. 如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是( )
3. 反比例函数 y=kx图象过点(-2,-3), 则k是( )
A. 6 B. -6 C. 5 D. --5
4. 如图, 在△ABC中,∠C=90°,点 C在直线l₁上.若∠1=26°, l₁∥l₂,则∠2的度数为( )
A. 54° B. 56° C. 64° D. 74°
5.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，第④个图中有9张黑色正方形纸片……，按此规律排列下去，则第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为( )
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
初 2024 届数学试卷 第 1页 共 8页6.如图,已知BC=CD, 那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△ADC 的是( )
A. AB=AD B. ∠BCA=∠DCA C. ∠B=∠D=90° D. ∠BAC=∠DAC
7. 某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展一年一度的“阅享未来，共沐书香”的读书活动，经相关部门统计，发现学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字. 设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为( )
A.1001+x²=121 B.100(1+x
C. 100(1+2x)=121 D.100+1001+x+1001+x²=121
8.下列条件能判定四边形是菱形的是( )
A. 对角线相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 对角线互相垂直平分的四边形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形
9.如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为弧BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E,连接AC交 BD于点F, 若AF=3CF, AB=6,则CE的长度为( )
A. 3 B.35 C. 4 D. 4 5
10.在多项式-a-(b+c)-d(其中a>b>c>d)中，对每个字母及其左边的符号(不包括括号外的符号)称为一个数, 即: -a为“数1”, b为“数2”, +c为“数3”, -d为“数4”, 若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式-a-(b+c)-d的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到|-a-(b-d)+c|,将其化简后结果为a+b-c-d, …. 下列说法:
①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果；
②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“绝对换位变换”共有 5 种不同运算结果.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分) 请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上，
11. 计算: -12-1+|1-2|=¯.
12. 正n边形的每个内角的度数为120°, 则n的值是 ▲ .
13. 一个不透明袋子中装有白球1个、红球3个，这些球除了颜色外无其它差别. 从袋中随机摸出一个球，不放回，继续再随机摸出一个球，则前后两次摸出的球都是红球的概率是 ▲ .
初2024届数学试卷 第 2页 共 8页14. 正比例函数. y₁=3x的图象与一次函数. y₂=-x+m的图象相交于A点，其中点A的横坐标为2,当 y₁>y₂时, x的取值范围是 ▲ .
15. 如图,在扇形BCD中, ∠BCD=150°,以点B为圆心, BC长为半径画弧交于弧BD点A,得到扇形ABC，若BC=4，则图中阴影部分的面积为 ▲ .
16. 若数 a既使得关于x的不等式组 x-a2+1≤x+a3x-2a>6无解，又使得关于y的分式方程 5y-2-a-y2-y=1的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为 ▲ .
17. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠ABC=90°, AB=4, BC=3, 点 D、 点E分别为边AC上两点, 将边 BC沿BD翻折，使得点C落在边AC上的点F处，再将边AB 沿 BE翻折，使得点 A落在 BF的延长线上的点G处, 则△BEG的面积为 ▲ .
18. 若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“同七数”. 已知M为一个“同七数”，且M可以被9整除. 将M的各个数位数字之和记为P(M)，则可求出P(M)的值是 ▲ (请填入具体数字). 将M的个位数字与千位数字的差记为Q(M)，并令 GM=PMQM,当G(M)是整数时，则满足条件 M 的最大值与最小值的差是 ▲ .
三、解答题：(本大题8个小题，第 19题8分，其余每题各 10分，共 78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 计算: 1a-b²-2a+bb-2a; 23a+1-a+1÷a2+4a+4a+1,
初 2024届数学试卷 第 3 页 共 8 页20. 如图,在平行四边形ABCD 中, 点E在AD边上, 且 BE=BC.
(1) 用直尺和圆规在 BC上方作 ∠BCF,使得 ∠BCF=∠ABE,, CF交BE于点F.
(2) 在(1) 的条件下, 为了证明( CF=CD,小才的思路是：先证明 △ABE≅△FCB,再结合平行四边形的性质，证明结论. 请根据小才的思路完成下面的填空.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,
∴∠AEB= ①
∵在△ABE与△FCB中,
∴△ABE≌△FCB (ASA).
∴AB= ③ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB= ④ .
.. CF=CD.
小才再进一步研究发现，若点E为AD边上任意一点，在BC上方作∠BCF，使得∠BCF=∠ABE，CF交BE于点F. 线段CF的长度与平行四边形的某些边的长度均有此特征，请你依照题意完成下面命题：按上述要求得到的线段 CF的长度等于 ⑤ (请填入：“E点所在的边与对边”或“E点不在的边与对边”)
21. 学习中国共产党百年党史，汲取奋进力量. 某校利用网络平台进行党史知识测试，测试题共10道题目，每小题10分. 李华同学对甲，乙两个班各 40名同学的测试成绩进行了收集，整理和分析，数据如下：
①甲班成绩如下：
60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70, 70;
70, 70, 70, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80,
90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90,
90, 90, 90, `100, 100, 100, 100, 100, 100, 100.
②乙班成绩平均分的计算过程为： 60×3+70×17+80×3+90×9+100×83+17+3+9+8=80.5(分)
③数据分析如下：
初2024届数学试卷 第 4 页 共 8页班级
平均数
中位数
众数
甲班
82.5
a
90
乙班
80.5
75
b
根据以上信息，解决下列问题：
(1) a= , b= ;
(2)在本次测试中，甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前? 请说明理由；
(3)学校将给测试成绩满分的同学颁发奖状，该校八年级学生共 800人，试估计需要准备多少张奖状.
22.某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料.
(1) 求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框? (不计材料损耗)
23.如图,在 Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=6, BC=8, 点 D为AB的中点, 过点D作 DE∥BC交AC于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线A→D→E(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. 设点P的运动时间为x秒，PQ的长度为y₁，请解答下列问题：
(1) 直接写出y₁关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
3y2=5x的函数图象如图所示，当. y₁≥y₂时，请直接写出x的取值范围.(结果保留一位小数，误差不超过0.2)
初 2024 届数学试卷 第 5 页 共 8 页24. 为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球. 经勘测，大公馆公交站点C在育才成功学校点A的正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，奥体公交站点E在点D的正北方，点E在点C的北偏东( 60°方向.(参考数据： 2≈1.414,3≈1.732)
(1)求BD的长度；(结果精确到1米)
(2) 周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E汇合. 小育的路线为A—C一E，他从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小育匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时 2分钟(小育上车和下车时间忽略不计). 哥哥的路线为B—D—E，全程步行，他从点B经过点 D 买水(买水时间忽略不计)再前往点E，假设哥哥匀速步行且速度为 100米每分钟. 请问小育和哥哥谁先到达点E呢?说明理由.
初 2024 届数学试卷 第 6 页 共 8页25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-13x2+bx+c交x轴于A(6,0), B(-2,0), 交y轴于点C.
(1) 求抛物线的表达式；
(2)如图2, 连接AC,点P是直线AC上方抛物线上的一动点, 过点 P作 PE∥y轴交AC于点E，过点P作 PF‖AC交x轴于点 F, 求 PE+1313PF的最大值及此时点P坐标；
(3) 将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作DM∥x轴交新抛物线于点M，射线MO 交新抛物线于点 N，如果MO=4ON，请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
初2024 届数学试卷 第 7 页 共 8 页26.在△ABC中, AC=BC,P为直线AB上一动点, 连接CP, 取CP的中点M,将线段CM绕点 C顺时针旋转到CN，旋转角为α，连接AM.
(1) 当点P在AB延长线上,且∠MCB=∠BAM时,解决以下问题.
①如图1, CN与AM相交于H, 若. ∠ABC=α=45°,CP=4,,连接MN,求 MN²的长；
②如图2, 当N落在AM上时,取AC 的中点E, 连接EN. 点D为NM上一点, 满足∠DCM =∠CPB, 求证: CD=2EN.
(2)如图3, 已知α=120°, ∠ABC=60°,AB=8. 连接NA、NB, 当( CN+NB取得最小值时，直接写出四边形 CNAM的面积.
命题人：曾豪、沈顺、黄维
审题人：黄维、沈顺、曾豪
初2024届数学试卷 第 8 页 共 8 页
(全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共 40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1. 2024的倒数是( )
A. 2024 B. -2024 C.12024 D.-12024
2. 如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是( )
3. 反比例函数 y=kx图象过点(-2,-3), 则k是( )
A. 6 B. -6 C. 5 D. --5
4. 如图, 在△ABC中,∠C=90°,点 C在直线l₁上.若∠1=26°, l₁∥l₂,则∠2的度数为( )
A. 54° B. 56° C. 64° D. 74°
5.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，第④个图中有9张黑色正方形纸片……，按此规律排列下去，则第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为( )
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
初 2024 届数学试卷 第 1页 共 8页6.如图,已知BC=CD, 那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△ADC 的是( )
A. AB=AD B. ∠BCA=∠DCA C. ∠B=∠D=90° D. ∠BAC=∠DAC
7. 某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展一年一度的“阅享未来，共沐书香”的读书活动，经相关部门统计，发现学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字. 设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为( )
A.1001+x²=121 B.100(1+x
C. 100(1+2x)=121 D.100+1001+x+1001+x²=121
8.下列条件能判定四边形是菱形的是( )
A. 对角线相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 对角线互相垂直平分的四边形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形
9.如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为弧BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E,连接AC交 BD于点F, 若AF=3CF, AB=6,则CE的长度为( )
A. 3 B.35 C. 4 D. 4 5
10.在多项式-a-(b+c)-d(其中a>b>c>d)中，对每个字母及其左边的符号(不包括括号外的符号)称为一个数, 即: -a为“数1”, b为“数2”, +c为“数3”, -d为“数4”, 若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式-a-(b+c)-d的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到|-a-(b-d)+c|,将其化简后结果为a+b-c-d, …. 下列说法:
①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果；
②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“绝对换位变换”共有 5 种不同运算结果.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分) 请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上，
11. 计算: -12-1+|1-2|=¯.
12. 正n边形的每个内角的度数为120°, 则n的值是 ▲ .
13. 一个不透明袋子中装有白球1个、红球3个，这些球除了颜色外无其它差别. 从袋中随机摸出一个球，不放回，继续再随机摸出一个球，则前后两次摸出的球都是红球的概率是 ▲ .
初2024届数学试卷 第 2页 共 8页14. 正比例函数. y₁=3x的图象与一次函数. y₂=-x+m的图象相交于A点，其中点A的横坐标为2,当 y₁>y₂时, x的取值范围是 ▲ .
15. 如图,在扇形BCD中, ∠BCD=150°,以点B为圆心, BC长为半径画弧交于弧BD点A,得到扇形ABC，若BC=4，则图中阴影部分的面积为 ▲ .
16. 若数 a既使得关于x的不等式组 x-a2+1≤x+a3x-2a>6无解，又使得关于y的分式方程 5y-2-a-y2-y=1的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为 ▲ .
17. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠ABC=90°, AB=4, BC=3, 点 D、 点E分别为边AC上两点, 将边 BC沿BD翻折，使得点C落在边AC上的点F处，再将边AB 沿 BE翻折，使得点 A落在 BF的延长线上的点G处, 则△BEG的面积为 ▲ .
18. 若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“同七数”. 已知M为一个“同七数”，且M可以被9整除. 将M的各个数位数字之和记为P(M)，则可求出P(M)的值是 ▲ (请填入具体数字). 将M的个位数字与千位数字的差记为Q(M)，并令 GM=PMQM,当G(M)是整数时，则满足条件 M 的最大值与最小值的差是 ▲ .
三、解答题：(本大题8个小题，第 19题8分，其余每题各 10分，共 78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 计算: 1a-b²-2a+bb-2a; 23a+1-a+1÷a2+4a+4a+1,
初 2024届数学试卷 第 3 页 共 8 页20. 如图,在平行四边形ABCD 中, 点E在AD边上, 且 BE=BC.
(1) 用直尺和圆规在 BC上方作 ∠BCF,使得 ∠BCF=∠ABE,, CF交BE于点F.
(2) 在(1) 的条件下, 为了证明( CF=CD,小才的思路是：先证明 △ABE≅△FCB,再结合平行四边形的性质，证明结论. 请根据小才的思路完成下面的填空.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,
∴∠AEB= ①
∵在△ABE与△FCB中,
∴△ABE≌△FCB (ASA).
∴AB= ③ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB= ④ .
.. CF=CD.
小才再进一步研究发现，若点E为AD边上任意一点，在BC上方作∠BCF，使得∠BCF=∠ABE，CF交BE于点F. 线段CF的长度与平行四边形的某些边的长度均有此特征，请你依照题意完成下面命题：按上述要求得到的线段 CF的长度等于 ⑤ (请填入：“E点所在的边与对边”或“E点不在的边与对边”)
21. 学习中国共产党百年党史，汲取奋进力量. 某校利用网络平台进行党史知识测试，测试题共10道题目，每小题10分. 李华同学对甲，乙两个班各 40名同学的测试成绩进行了收集，整理和分析，数据如下：
①甲班成绩如下：
60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70, 70;
70, 70, 70, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80,
90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90,
90, 90, 90, `100, 100, 100, 100, 100, 100, 100.
②乙班成绩平均分的计算过程为： 60×3+70×17+80×3+90×9+100×83+17+3+9+8=80.5(分)
③数据分析如下：
初2024届数学试卷 第 4 页 共 8页班级
平均数
中位数
众数
甲班
82.5
a
90
乙班
80.5
75
b
根据以上信息，解决下列问题：
(1) a= , b= ;
(2)在本次测试中，甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前? 请说明理由；
(3)学校将给测试成绩满分的同学颁发奖状，该校八年级学生共 800人，试估计需要准备多少张奖状.
22.某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料.
(1) 求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框? (不计材料损耗)
23.如图,在 Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=6, BC=8, 点 D为AB的中点, 过点D作 DE∥BC交AC于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线A→D→E(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. 设点P的运动时间为x秒，PQ的长度为y₁，请解答下列问题：
(1) 直接写出y₁关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
3y2=5x的函数图象如图所示，当. y₁≥y₂时，请直接写出x的取值范围.(结果保留一位小数，误差不超过0.2)
初 2024 届数学试卷 第 5 页 共 8 页24. 为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球. 经勘测，大公馆公交站点C在育才成功学校点A的正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，奥体公交站点E在点D的正北方，点E在点C的北偏东( 60°方向.(参考数据： 2≈1.414,3≈1.732)
(1)求BD的长度；(结果精确到1米)
(2) 周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E汇合. 小育的路线为A—C一E，他从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小育匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时 2分钟(小育上车和下车时间忽略不计). 哥哥的路线为B—D—E，全程步行，他从点B经过点 D 买水(买水时间忽略不计)再前往点E，假设哥哥匀速步行且速度为 100米每分钟. 请问小育和哥哥谁先到达点E呢?说明理由.
初 2024 届数学试卷 第 6 页 共 8页25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-13x2+bx+c交x轴于A(6,0), B(-2,0), 交y轴于点C.
(1) 求抛物线的表达式；
(2)如图2, 连接AC,点P是直线AC上方抛物线上的一动点, 过点 P作 PE∥y轴交AC于点E，过点P作 PF‖AC交x轴于点 F, 求 PE+1313PF的最大值及此时点P坐标；
(3) 将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作DM∥x轴交新抛物线于点M，射线MO 交新抛物线于点 N，如果MO=4ON，请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
初2024 届数学试卷 第 7 页 共 8 页26.在△ABC中, AC=BC,P为直线AB上一动点, 连接CP, 取CP的中点M,将线段CM绕点 C顺时针旋转到CN，旋转角为α，连接AM.
(1) 当点P在AB延长线上,且∠MCB=∠BAM时,解决以下问题.
①如图1, CN与AM相交于H, 若. ∠ABC=α=45°,CP=4,,连接MN,求 MN²的长；
②如图2, 当N落在AM上时,取AC 的中点E, 连接EN. 点D为NM上一点, 满足∠DCM =∠CPB, 求证: CD=2EN.
(2)如图3, 已知α=120°, ∠ABC=60°,AB=8. 连接NA、NB, 当( CN+NB取得最小值时，直接写出四边形 CNAM的面积.
命题人：曾豪、沈顺、黄维
审题人：黄维、沈顺、曾豪
初2024届数学试卷 第 8 页 共 8 页
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