2022-2023学年内蒙古呼和浩特市新城区土默特中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年内蒙古呼和浩特市新城区土默特中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|−3≤x<4}，N={x|x2−2x−8≤0}，则
( )
A. M∪N=RB. M∪N={x|−3≤x<4}
C. M∩N={x|−2≤x≤4}D. M∩N={x|−2≤x<4}
2.命题∃x∈R，x2>2的否定是( )
A. ∃x∈R，x2≤2B. ∃x∈R，x2<2
C. ∀x∈R，x2<2D. ∀x∈R，x2≤2
3.设a=30.9，b=90.5，c=(13)−12，则( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a
4.函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.一个射手进行射击，记事件A1=“脱靶”，A2=“中靶”，A3=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )
A. A1与A2B. A1与A3C. A2与A3D. 以上都不对
6.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0,+∞)时，f(x)是减函数，则f(−2)，f(π)，f(−3)的大小关系是( )
A. f(π)>f(−3)>f(−2)B. f(π)>f(−2)>f(−3)
C. f(π)7.已知幂函数y=f(x)的图象过(4,32)点，则f(2)=( )
A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8
8.函数f(x)=x3+ex−2的零点所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.水滴进玻璃容器，如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的？下列匹配的图象与容器符合实际的有( )
A. Ⅰ−(2)B. Ⅱ−(1)C. Ⅲ−(3)D. Ⅴ−(4)
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若ac>bc，则a>bB. 若a>b，c<0，则acC. 若a>b，c>d，则ac>bdD. 若a>b且1a>1b，则ab<0
11.下列说法正确的有( )
A. 任意非零实数a，b，都有ba+ab≥2
B. 不等式2x−13x+1<0的解集是(−13,12)
C. 函数y=x2−3x−4的零点是(4,0)，(−1,0)
D. 函数f(x)=x4−1x2+1与g(x)=x2−1为同一个函数
12.设函数f(x)=ax−1,xA. 2B. −1C. 12D. 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.“x>2”是“x2−2x>0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
14.张勇同学在上学期的8次物理测试中的成绩(单位：分)分别是：78，82，76，85，88，94，95，86，则这8次成绩的75%分位数为______．
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−1，则当x<0时，f(x)=______．
16.若函数f(x)=lg12(ax−x2)在(2,3)单调递增，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)12lg25+lg2−lg1100−lg29×lg32；
(2)(214)12−(49)0−(338)−23+(1.5)−2．
18.(本小题12分)
同时抛掷3枚硬币一次，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的基本事件；
(2)求“至少有两枚正面向上”这一事件的概率．
19.(本小题12分)
(1)若x>−1，求y=x+1x+1的最小值，并求此时x的值；
(2)设020.(本小题12分)
某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值；(各组数据以该组中间值作代表)
(3)估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的中位数．(结果保留一位小数)
21.(本小题12分)
函数f(x)=4x-2x+1+3的定义域为x∈[−12,12]．
(Ⅰ)设t=2x，求t的取值范围；
(Ⅱ)求函数f(x)的值域．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga2+x2−x(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)当0答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交集与并集的求法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
先解不等式化简集合N，由此能求出M∪N和M∩N．
【解答】
解：∵集合M={x|−3≤x<4}，N={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，
∴M∪N={x|−3≤x≤4}，
M∩N={x|−2≤x<4}．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定，∀x∈R，x2≤2，
故选：D．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a=30.9，b=90.5=(32)0.5=31，c=(13)−12=(3−1)−12=312=30.5，
又函数y=3x在R上单调递增，1>0.9>0.5，
所以31>30.9>30.5
所以b>a>c．
故选：C．
将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解．
本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数y=4xx2+1是奇函数，排除CD，
x>0时，y>0，排除B；
故选：A．
利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的值的情况，判断即可．
本题考查函数图象的判断，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：A1，A2互斥且对立，A不符合题意；
A1，A3互斥且不对立，B符合题意；
A2，A3不互斥，C不符合题意．
故选：B．
由已知结合互斥事件及对立事件的概念分别进行检验即可判断．
本题主要考查了互斥事件及对立事件的判断，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)为偶函数，则f(−2)=f(2)，f(−3)=f(3)，
当x∈[0,+∞)时，f(x)是减函数，
又2<3<π，
则f(2)>f(3)>f(π)，即f(−2)>f(−3)>f(π)，
故选：C．
依据偶函数性质及函数单调性即可对f(−2)，f(π)，f(−3)进行大小比较．
本题考查了利用偶函数的单调性进行大小比较，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为函数y=f(x)为幂函数，所以可设f(x)=xa，
因为y=f(x)图象过(4,32)，
所以32=4a，
所以a=52，即f(x)=x52，
所以f(2)=252=4 2
故选：C．
根据幂函数的定义设函数y=f(x)的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求f(2)值即可．
本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：f(x)=x3+ex−2在其定义域上单调递增，且f(0)=−1<0，f(1)=e−1>0，
f(0)f(1)<0，
即函数f(x)=x3+ex−2零点所在的区间为(0,1)．
故选：A．
利用函数的零点判断定理，判断零点所在求解即可．
本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查函数的图象分析，关键是分析函数的增长变化趋势，属于基础题．
根据题意，依次分析4个容器中水面上升速度的趋势，可得其对应的图象，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，
在Ⅰ中，容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，与(2)对应，A正确；
在Ⅱ中，容器下粗上细，水高度的上升速度越来越快，与(3)对应，B错误；
在Ⅲ中，容器为球形，水高度上升速度为快−慢−快，与(1)对应，C错误；
在Ⅳ中，容器上粗下细，水高度的上升速度越来越慢，与(4)对应，D正确；
故选：AD．
10.【答案】BD
【解析】解：A项，当c为负数或c=0时，a>b不成立；
B项，不等式两边同时乘以一个负数，不等号变号，正确；
C项，a>b>0，c>d>0，才有ac>bd，错误；
D项：1a−1b=b−aab，若a>b且1a>1b，则b−aab>0，∴ab<0，正确；
故选：BD．
利用不等式的性质判断各选项即可，要注意不等式两边同时乘以一个负数，不等号变号．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：A：当ab<0时，ba+ab=−[(−ba)+(−ab)]≤−2 (−ba)⋅(−ab)=−2，当且仅当a=b时取等号，故A错误，
B：解不等式2x−13x+1<0可得：−13C：解方程x2−3x−4=0可得：x=4或−1，所以函数的零点为4或−1，故C错误，
D：函数f(x)=x4−1x2+1=x2−1，x∈R，函数g(x)=x2−1，x∈R，所以函数f(x)与g(x)为同一函数，故D正确，
故选：BD．
A：当ab<0时，然后利用基本不等式化简即可判断；B：利用分式不等式的解法化简即可判断；C：利用函数的零点的概念化简即可判断；D：利用同一函数的定义化简即可判断求解．
本题考查了基本不等式的应用，涉及到分式不等式的解法以及函数零点，同一函数概念的考查，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：当x0，①
当x≥a时，f(x)=x2−2ax+1为增函数，
因为函数f(x)为增函数，
所以a×a−1≤a2−2a×a+1，②
由①②解得0故选：CD．
根据题意可得a>0①，a×a−1≤a2−2a×a+1②，由①②解得答案．
本题考查函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
13.【答案】充分不必要
【解析】解：由x2−2x>0解得x<0或x>2，∴“x>2”是“x2−2x>0”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
根据x的取值范围可解决此题．
本题考查充分、必要条件的判断及一元二次不等式解法，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
14.【答案】91
【解析】解：先将这8次成绩从小到大排列为76，78，82，85，86，88，94，95，
∵8×75%=6，
∴75%分位数为88+942=91．
故答案为：91．
根据百分位数的计算方法，即可求解．
本题主要考查百分位数的应用，属于基础题．
15.【答案】−x2+1
【解析】解：设x<0，则−x>0，
∵当x>0时，f(x)=x2−1，
∴f(−x)=(−x)2−1=x2−1，
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)=−f(−x)=−x2+1，
∴当x<0时，f(x)=−x2+1．
故答案为：−x2+1．
利用函数为奇函数，将x<0转化为−x>0，再利用当x>0时，f(x)=x2−1，即可求得答案．
本题考查了函数解析式的求解及常用方法．对于求函数解析式的方法，一般有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．本题解题的关键是运用函数的偶函数的性质，将要求的范围转化到已知的范围求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于基础题．
16.【答案】[3,4]
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质．
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得a的范围．
【解答】
解：∵函数f(x)=lg 12(ax−x2)在(2,3)单调递增，
∴函数t(x)=−x2+ax在(2,3)上单调递减，且t(x)>0，
∴a2≤2t(3)=3a−9≥0，求得3≤a≤4，
故答案为：[3,4]．
17.【答案】解：(1)12lg25+lg2−lg1100−lg29×lg32=12lg52+lg2−lg10−2−2lg23×lg32
=lg5+lg2+2−2=lg(5×2)=1；
(2)(214)12−(49)0−(338)−23+(1.5)−2=[(32)2]12−1−[(32)3]−23+(32)−2=32−1−49+49=12．
【解析】(1)利用对数运算法则及换底公式计算即可(2)将式中的代分数和小数形式化成真分数之后再进行分数指数幂的运算．
本题考查对数运算，指数运算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)根据题意，续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
这个试验的基本事件有8个，
分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，{反反正}，{反正反}，{正反反}，{反反反}．
(2)根据题意，“至少有两枚正面向上”这一事件包含的基本事件有4个，
分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，
故“至少有两枚正面向上”这一事件的概率p=48=12．
【解析】(1)根据题意，利用列举法求解；
(2)根据题意，利用列举法分析事件的情况数目，进而由古典概型的概率求解．
本题考查古典概型的计算，注意列举法的使用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)令t=x+1>0，则y=x+1x+1=t+1t−1≥2 t×1t−1=1，
当且仅当t=1t，即t=1，x=0时等号成立，
∴y=x+1x+1的最小值为1，此时x=0；
(2)∵2y=2x(3−2x)≤[2x+(3−2x)]24=94，当且仅当2x=3−2x，即x=34时等号成立，
∴y=x(3−2x)的最大值为98，此时x=34．
【解析】(1)利用换元结合基本不等式a+b≥2 ab运算求解；(2)根据不等式ab≤(a+b)24运算求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)2×(m+0.125+0.175+m+0.05)=1，
解得m=0.075；
(2)平均值计算：2×(0.75×1+0.125×3+0.175×5+0.075×7+0.05×9)=4.6；
(3)设中位数为x．
以中位数为界，左边直方图总面积为：2×(0.075+0.125)+(x−4)×0.175=0.5，
解得x≈4.6．
【解析】(1)根据频率=组距×频率组距，直方图中频率总和为1即可列式算出m值．
(2)频率分布直方图平均数算法：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加．
(3)频率分布直方图中位数性质：以中位数为界，左边总频率等于右边总频率等于0.5.也可理解为以中位数为界，左边直方图总面积等于右边直方图总面积等于0.5．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与平均数，中位数的求解，是基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵t=2x在x∈[−12,12]上单调递增，
∴t∈[ 22, 2]；
(Ⅱ) 函数可化为：f(x)=g(t)=t2−2t+3，
g(t)在[ 22,1]上单调递减，在(1, 2]上单调递增，
g( 22)=72− 2，g( 2)=5−2 2，
比较得g( 22)∴f(x)min=g(1)=2，f(x)max=g( 2)=5−2 2，
∴函数的值域为[2,5−2 2].
【解析】本题考查了指数函数的值域的求法，指数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，属于中档题．
(Ⅰ)由题意，可先判断函数t=2x，x∈[−12,12]单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；
(Ⅱ)由于函数f(x)=4x−2x+1+3是一个复合函数，可由t=2x，将此复合函数转化为二次函数g(t)=t2−2t+3，此时定义域为t∈[ 22, 2]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f(x)的值域．
22.【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：
f(x)的定义域为(−2,2)关于原点对称，
∵f(−x)=lga2−x2+x=−lga2+x2−x=−f(x)，
∴f(x)为(−2,2)奇函数；
(2)设x1，x2∈(−2,2)，且x1则2+x12−x1−2+x22−x2=4(x1−x2)(2−x1)(2−x2)，
∵−20，
∴2+x12−x1<2+x22−x2．
当0f(x2)，
∴f(x)在(−2,2)上为减函数．
不等式f(x−1)+f(3−2x)≤0等价于f(x−1)≤f(2x−3).即−2故不等式的解集为(12,2]．
【解析】(1)先求出函数的定义域验证是否关于原点对称，然后证明f(−x)=−f(x)；
(2)根据函数的奇偶性，原不等式变为f(x−1)≤f(2x−3)，判断函数的单调性解决．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．