2022-2023学年内蒙古呼和浩特市第二中学学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份2022-2023学年内蒙古呼和浩特市第二中学学年高一上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

内蒙古呼和浩特二中2022-2023学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（　　）
A．[0，2] B．（1，2] C．[1，2] D．（1，+∞）
2．（5分）函数f（x）＝ax﹣1﹣3（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
3．（5分）函数的单调递增区间（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（﹣∞，﹣1）
4．（5分）函数y＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）已知，则f（x+1）的解析式为（　　）
A．f（x+1）＝x+4（x≥0） B．f（x+1）＝x2+3（x≥1）
C．f（x+1）＝x2﹣2x+4（x≥1） D．f（x+1）＝x2+3（x≥0）
6．（5分）已知函数，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）若≤（）x﹣2，则函数y＝2x的值域是（　　）
A．[，2） B．[，2] C．（﹣∞，] D．[2，+∞）
8．（5分）若函数，且满足对任意的实数x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]•（x1﹣x2）＞0成立，则实数a的取值范围（　　）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
9．（5分）下列既是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的函数为（　　）
A．
B．
C．
D．f（x）＝lg|x|
10．（5分）函数在区间内恒有f（x）＞0，则a的取值范围是（　　）
A． B．或
C．或 D．
二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
（多选）11．（6分）已知函数，则下面几个结论正确的有（　　）
A．f（x）的图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D．∀x1，x2∈R，且恒成立
（多选）12．（6分）下面几个结论正确的是（　　）
A．已知，，c＝ln3，则a＜b＜c
B．已知，，c＝log47，则a＜c＜b
C．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则b＜c＜a
D．已知，则ab＜aa＜ba
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣x+1，则x＜0时，f（x）＝　 　．
14．（5分）已知f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则a＝　 　．
15．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围为　 　．
16．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式的解集为 　 　．
17．（5分）若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为　 　．
18．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），已知x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则x∈（1，2]时，f（x）解析式为 　 　.若y＝f（x）﹣m在（0，+∞）有且仅有两个零点，则m的范围 　 　．
四、解答题（本大题共5小题，19题10分，20-23题每题12分，共58分）
19．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg5+lg20+log225×log34×log59．
20．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）探究函数f（x）在（2，+∞）上的单调性；
（3）求函数f（x）在[4，+∞）上的值域．
21．（12分）函数f（x）＝4x﹣a×2x+1+3．
（1）当a＝1时，若x∈[﹣2，2]，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）＞0在x∈[0，2]上有解，求实数a的范围．
22．（12分）目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

23．（12分）已知函数f（x）＝ax2+x+c（a＞0）满足：
①函数f（x）关于；
②关于x的不等式f（x）＜0的解集是（m，1）（m＜1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）+（4k+3）x（k∈R）在[1，3]上的最小值h（k）．
















内蒙古呼和浩特二中2021-2022学年高一上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（　　）
A．[0，2] B．（1，2] C．[1，2] D．（1，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合＝{x|0≤x≤2}．
B＝{y|y＝2x，x＞0}＝{y|y＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）函数f（x）＝ax﹣1﹣3（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝1﹣3＝﹣2，即可求出函数f（x）的图象所过定点的坐标．
【解答】解：函数f（x）＝ax﹣1﹣3，
令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝1﹣3＝﹣2，
所以函数f（x）的图象所过定点的坐标为：（1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数型函数过定点坐标问题，是基础题．
3．（5分）函数的单调递增区间（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（﹣∞，﹣1）
【考点】复合函数的单调性．
【分析】由对数函数的真数大于0求出函数的定义域，再求出内层函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案．
【解答】解：由x2+2x﹣8＞0，解得x＜﹣4或x＞2．
∴函数的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
令t＝x2+2x﹣8，该函数在（﹣∞，﹣4）上是减函数，
由y＝是定义域内的减函数，
则函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
4．（5分）函数y＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，
函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，
当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
5．（5分）已知，则f（x+1）的解析式为（　　）
A．f（x+1）＝x+4（x≥0） B．f（x+1）＝x2+3（x≥1）
C．f（x+1）＝x2﹣2x+4（x≥1） D．f（x+1）＝x2+3（x≥0）
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用换元法求函数的解析式即可．设t＝+1，求出f（x）的表达式，然后求f（x+1）即可．
【解答】解：设t＝+1，t≥1，则＝t﹣1，x＝（t﹣1）2，所以f（t）＝（t﹣1）2+3，
即f（x）＝（x﹣1）2+3，所以f（x+1）＝（x+1﹣1）2+3＝x2+3，
由x+1≥1，得x≥0，
所以f（x+1）＝（x+1﹣1）2+3＝x2+3，（x≥0）．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，利用换元法求函数的解析式是常用的方法．
6．（5分）已知函数，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数零点的判定定理；二分法的定义与应用．
【分析】问题转化为函数y＝与函数y＝﹣x+2交点的横坐标，作出图象，由图可知当x＞0时，两函数图象只有一个交点，结合f（2）＞0，f（）＜0，即可得答案．
【解答】解：函数的零点，即方程+x﹣2＝0的根，
也就是函数y＝与函数y＝﹣x+2交点的横坐标，
如图：

由图可知，当x＞0时，两函数图象只有一个交点，
又f（2）＝＞0，f（）＝＜0，
∴一定包含f（x）零点的区间是．
故选：C．

【点评】本题考查函数零点的判定，考查数形结合思想，是中档题．
7．（5分）若≤（）x﹣2，则函数y＝2x的值域是（　　）
A．[，2） B．[，2] C．（﹣∞，] D．[2，+∞）
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【分析】先由不等式≤（）x﹣2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y＝2x的值域即可得出答案．
【解答】解：∵≤（）x﹣2，
∴≤2﹣2x+4，
∴x2+1≤﹣2x+4，解得﹣3≤x≤1，
∴函数y＝2x的值域为：[2﹣3，2]即[，2]，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是先由指数不等式正确求出函数x的取值范围．
8．（5分）若函数，且满足对任意的实数x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]•（x1﹣x2）＞0成立，则实数a的取值范围（　　）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
【考点】分段函数的应用．
【分析】由题意可知函数f（x）是R上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，列出不等式组求出a的取值范围即可．
【解答】解：根据题意，任意实数x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]•（x1﹣x2）＞0成立，
所以函数f（x）是R上的增函数，
所以分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，
则，解得4≤a＜8．
所以实数a的取值范围是：[4，8）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9．（5分）下列既是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的函数为（　　）
A．
B．
C．
D．f（x）＝lg|x|
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质与判断．
【分析】利用函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．
【解答】解：对于A，f（x）＝x+为奇函数，在区间（0，1）上递减，在区间（1，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于B，f（x）＝为奇函数，且在区间（0，1）上递增，在区间（1，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于C，f（x）＝＝＝1﹣为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，f（x）＝lg|x|为偶函数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
10．（5分）函数在区间内恒有f（x）＞0，则a的取值范围是（　　）
A． B．或
C．或 D．
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】求得2x+1的范围，由对数函数的单调性可得a的不等式，解不等式可得所求范围．
【解答】解：函数在区间内恒有f（x）＞0，
可得2x+1∈（0，1），a2﹣1∈（0，1），
解得a∈（1，）∪（﹣，﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查对数函数的单调性和运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
（多选）11．（6分）已知函数，则下面几个结论正确的有（　　）
A．f（x）的图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D．∀x1，x2∈R，且恒成立
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值域；函数单调性的性质与判断．
【分析】根据函数f（x）的图象，性质判断即可．
【解答】解：＝，
由f（﹣x）＝﹣f（x）得函数为奇函数，A正确，B错误，
由1+2x∈（1，+∞），∈（0，2），故f（x）∈（﹣1，1），C正确，
根据复合函数的单调性f（x）在R上递减，D正确，
故选：ACD．
【点评】考查函数的图象和性质的应用，中档题．
（多选）12．（6分）下面几个结论正确的是（　　）
A．已知，，c＝ln3，则a＜b＜c
B．已知，，c＝log47，则a＜c＜b
C．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则b＜c＜a
D．已知，则ab＜aa＜ba
【考点】对数值大小的比较．
【分析】对每一个选项逐一计算判断即可．
【解答】解：对于A：由＝，，考查函数y＝在（0，+∞）为增函数，又＜1，所以＜＜1，又c＝ln3＞1，故A正确；
对于B：＝＝，＝＝，函数y＝在（0，+∞）为增函数，又27＜36，所以＜，又log47＜log48＝＜，故B错误；
对于C：a＝0.32＝0.09，b＝log20.3＜0，c＝20.3＞1，故C错误；
对于D：由，所以0＜a＜b＜1，又函数y＝ax在R上为减函数，又a＜b，所以ab＜aa，
函数y＝xa在（0，+∞）上为增函数，又a＜b，所以aa＜ba，故D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查对数大小的比较，以及利用单调性比较大小，属中档题．
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣x+1，则x＜0时，f（x）＝　﹣x2﹣x﹣1　．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．
【分析】根据函数奇偶性的定义进行转化求解即可．
【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝x2+x+1，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝x2+x+1＝﹣f（x），
即f（x）＝﹣x2﹣x﹣1，x＜0，
故答案为：﹣x2﹣x﹣1
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的定义进行转化是解决本题的关键．比较基础．
14．（5分）已知f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则a＝　7　．
【考点】函数的值．
【分析】当a≤1时，f（a）＝2a﹣1﹣2＝﹣3；当a＞1时，f（a）＝﹣log2（x+1）＝﹣3．由此能求出a．
【解答】解：∵f（x）＝，且f（a）＝﹣3，
∴当a≤1时，f（a）＝2a﹣1﹣2＝﹣3，无解；
当a＞1时，f（a）＝﹣log2（x+1）＝﹣3，解得a＝7．
综上，a＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围为　（0，2）　．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】画出函数的图象，利用函数的图象判断求解即可．
【解答】解：作函数g（x）＝|2x﹣2|的图象如下，

∵函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，
结合图象可知，0＜b＜2．
故答案为：（0，2）．

【点评】本题考查函数的零点公式的判断，函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．
16．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式的解集为 　（0，）∪（4，+∞）　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由题意得，f（﹣）＝f（）＝0，f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（）＞0 即 ＞或＜﹣．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣）＝f（）＝0，
又f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
所以，f（）＞0 即 ＞或＜﹣．
解得 0＜x＜或x＞4，
故答案为：（0，）∪（4，+∞）．
【点评】熟练掌握函数的奇偶性、单调性及对数运算性质是解题的关键．
17．（5分）若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为　[，1）　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】把已知的不等式变形，转化为一个二次函数和一个对数函数的图象高低问题，然后列出不等式求解m的取值范围．
【解答】解：由x2﹣logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示

要使x2＜logmx在（0，）内恒成立，只要y＝logmx在（0，）内的图象在y＝x2的上方，
于是0＜m＜1
∵时，
∴只要时，，
∴，即．
又0＜m＜1，
∴．
即实数m的取值范围是．
【点评】本题考查了恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，正确画出图象是解答该题的关键，是中档题．
18．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），已知x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则x∈（1，2]时，f（x）解析式为 　f（x）＝（2x﹣1﹣1）　.若y＝f（x）﹣m在（0，+∞）有且仅有两个零点，则m的范围 　（，]　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】设x∈（1，2]，则x﹣1∈（0，1]，由f（x）＝f（x﹣1），即可求得x∈（1，2]时，f（x）解析式；y＝f（x）﹣m在（0，+∞）有且仅有两个零点，等价于直线y＝m与函数y＝f（x）的图象在（0，+∞）有且仅有两个交点，作出图形，数形结合得答案．
【解答】解：设x∈（1，2]，则x﹣1∈（0，1]，
∴f（x）＝f（x﹣1）＝（2x﹣1﹣1）；
即x∈（1，2]时，f（x）解析式为f（x）＝（2x﹣1﹣1）；
若y＝f（x）﹣m在（0，+∞）有且仅有两个零点，
则m＝f（x）在（0，+∞）有且仅有两个实数根，
也就是直线y＝m与函数y＝f（x）的图象在（0，+∞）有且仅有两个交点．
如图：

当x＝1时，f（1）＝1，当x＝2时，f（x）＝，当x＝3时，f（x）＝．
∴要使直线y＝m与函数y＝f（x）的图象在（0，+∞）有且仅有两个交点，
则m的取值范围是（，]．
故答案为：f（x）＝（2x﹣1﹣1）；（，]．

【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数零点的判定，考查数形结合思想，是中档题．
四、解答题（本大题共5小题，19题10分，20-23题每题12分，共58分）
19．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg5+lg20+log225×log34×log59．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．
【分析】（1）利用指数和对数的运算公式即可解出；
（2）利用对数运算公式即可解出．
【解答】解：（1）原式＝9﹣3×（﹣3）+＝；
（2）原式＝lg5（lg2+lg5）+lg2+1+＝1+1+8＝10．
【点评】本题考查了指数和对数的运算公式，学生的数学运算能力属于基础题．
20．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）探究函数f（x）在（2，+∞）上的单调性；
（3）求函数f（x）在[4，+∞）上的值域．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的值域；函数奇偶性的性质与判断．
【分析】（1）由f（﹣x）＝﹣f（x）得出＝﹣＝，化简得＝，解出即可；
（2）利用复合函数的单调性讨论得出结论．
（3）由第（2）问结论利用单调性求出最值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即＝﹣，
∴＝，
∴＝，
∴k＝﹣1（k＝1舍去）；
（2）f（x）＝＝，
令g（x）＝1+，
设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，
则g（x1）﹣g（x2）＝1+﹣1﹣＝＜0，
∴g（x）＝1+在（2，+∞）上是减函数，
由复合函数单调性定义可得f（x）＝在（2，+∞）上是增函数；
（3）由（2）知f（x）＝在[4，+∞）上是增函数，
∴fmin（x）＝f（4）＝＝﹣1，
∴f（x）在[4，+∞）上的值域为[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查了奇函数的定义，复合函数的单调性及函数单调性的应用．
21．（12分）函数f（x）＝4x﹣a×2x+1+3．
（1）当a＝1时，若x∈[﹣2，2]，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）＞0在x∈[0，2]上有解，求实数a的范围．
【考点】函数的值域．
【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝4x﹣2•2x+3，令t＝2x，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的值域；
（2）问题转化为2a＜t+在t∈[1，4]上有解，根据对勾函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝4x﹣2•2x+3，
令t＝2x，
∵x∈[﹣2，2]
∴t∈[，4]
∴y＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2
∴t＝1时ymin＝2，
∴t＝4时ymax＝11，
∴y∈[2，11]，
函数f（x）的值域为[2，11]；
（2）若函数f（x）＞0在x∈[0，2]上有解，
则4x﹣2a•2x+3＞0在x∈[0，2]上有解，
即t2﹣2at+3＞0在t∈[1，4]上有解
即2a＜t+在t∈[1，4]上有解，
当t∈[1，4]时，t+∈[2，]，
于是2a＜，
即a＜，
故实数a的范围是（﹣∞，）．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，难度中档．
22．（12分）目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

【考点】根据实际问题选择函数类型．
【分析】（Ⅰ）根据教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比，设出函数，求出比例系数，结合最高的坐标可求出a的值，从而得到函数关系式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中函数解析式建立不等式，进一步求解即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，当0≤t≤0.2时，可设y＝kt，
因为y＝kt，过点（0.2，1），所以1＝0.2k，解得k＝5，
又由，解得a＝0.2，
所以；
（Ⅱ）令，即，
则5t﹣1≥3，解得t≥0.8，
即至少需要经过0.8小时后，学生才能回到教室．
【点评】本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，解题的关键是确定两变量的函数关系，同时考查了学生的数学建模的能力，属于中档题．
23．（12分）已知函数f（x）＝ax2+x+c（a＞0）满足：
①函数f（x）关于；
②关于x的不等式f（x）＜0的解集是（m，1）（m＜1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）+（4k+3）x（k∈R）在[1，3]上的最小值h（k）．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由①可得：函数关于x＝﹣对称，进而可以求出a的值，由②可得x＝1是方程ax2+x+c＝0的解，即可求出c的值，进而可以求解；（2）先求出函数g（x）的解析式以及对称轴方程，然后根据对称轴与已知区间的三种位置关系分类讨论，分别求出函数的最小值，进而可以求解．
【解答】解：（1）由①可得：函数关于x＝﹣对称，
则有﹣，解得a＝2，
由②可得x＝1是方程ax2+x+c＝0的解，则a+1+c＝0，解得c＝﹣3，
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2x2+x﹣3；
（2）由题意可得g（x）＝2x2+4（k+1）x﹣3，对称轴为x＝﹣（k+1），
当﹣（k+1）≥3，即k≤﹣4时，g（x）在[1，3]上单调递减，
则g（x）min＝g（3）＝12k+27，
当﹣（k+1）≤1，即k≥﹣2时，函数g（x）在[1，3]上单调递增，
则g（x）min＝g（1）＝4k+3，
当1＜﹣（k+1）＜3，即﹣4＜k＜﹣2时，g（x）min＝g[﹣（k+1）]＝﹣2k2﹣4k﹣5，
综上可得：h（k）＝．
【点评】本题考查了求解函数解析式的问题以及最值问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．