2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.

【解析】 一元二次不等式的解法，集合的运算

【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.

2．已知函数，则

A．16 B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】根据分段函数的解析式,代入自变量即可求解.

【详解】函数

所以

即

故选:B

【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题.

3．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取特殊值排除得到答案.

【详解】取，计算知不成立，排除A选项；

取，计算知不成立，排除B选项；

取，计算知不成立，排除C选项；

当时，，故.

故选：D.

【点睛】本题考查了不等式性质，取特殊值排除是解题的关键.

4．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】函数的定义域为且单调递减，故选C.

点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.

5．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（    ）

A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查

B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135

C．若甲､乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定

D．若数据的平均数为，则数据的平均数为

【答案】C

【分析】对于A，根据普查的适用情形即可求解；

对于B，根据分层抽样的抽样比即可求解；

对于C，根据标准差的含义即可求解；

对于D，根据平均数的公式即可求解.

【详解】对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；

对于B，根据分层抽样抽样比可知，样本容量为，故B正确；

对于C，因为，所以甲的数据更稳定，故C不正确；

对于D，因为数据的平均数为，

所以，

所以数据的平均数为

，故D正确.

故选：C.

6．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用指数函数及对数函数的性质，借助中间量0或1即可求解.

【详解】解：因为，，

，所以，

.

故选：D.

【点睛】方法点睛：比较大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.

7．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据奇偶性可得等价于，由单调性可得，由此能求得的范围.

【详解】因为偶函数在区间上单调递减，

所以在区间上单调增，

则等价于，

可得，

，

求得，

故的取值范围为,故选A .

【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

8．设D是含有数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转90°与原图象重合，则的值一定不可能为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】直接利用函数定义和旋转的对称性及旋转后图象重合，求出结果.

【详解】对于上一点绕原点逆时针旋转90°后对应点为，也在图象上，

所以，绕原点逆时针旋转90°后对应点为，且绕原点逆时针旋转90°后对应点为，均在图象上，

所以，在含有数1的有限实数集D中，

若，则有，若，则有，

若，则有，若，则有，

显然当时有2个y与之对应，不符合函数的定义，的值一定不可能为1.

故选：D.

二、多选题

9．第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行．中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．第一场得分的中位数为

B．第二场得分的平均数为

C．第一场得分的极差大于第二场得分的极差

D．第一场与第二场得分的众数相等

【答案】ABD

【分析】结合选项逐个分析，中位数从小到大排序取中间位置可得，平均数利用公式可得，极差利用最大值与最小值的差可得，众数通过观察数字出现的次数最多可得.

【详解】对于A，将第一场得分按从小到大排序可知中位数为，A正确；

对于B，第二场得分的总分为，则平均数为，B正确；

对于C，第一场得分的极差为，第二场得分的极差为，C错误；

对于D，第一场和第二场得分的众数均为0，D正确．

故选：ABD．

10．给出下列结论，其中正确的结论是（    ）

A．函数的最小值为2；

B．已知函数（a＞0且）在上是减函数，则实数a的取值范围是；

C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线y＝x对称；

D．若x，y，z为正数，且，则．

【答案】BCD

【分析】根据指数型复合函数判断单调性得最值，即可判断A；由对数复合函数的单调性分类讨论即可得实数a的取值范围，来判断B；根据互为反函数的图象性质即可判断C；由指对互化即对数函数的运算性质、换底公式的计算，即可判断D.

【详解】解：对于A，函数的定义域为，由复合函数单调性可得该函数在上单调递增，

在上单调递减，所以函数有最大值，故A不正确；

对于B，已知函数且在上是减函数，

所以，解得，当时，成立，实数的取值范围是，故B正确；

对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故C正确；

对于D，若x，y，z为正数，设，则，

所以，故D正确.

故选：BCD.

11．下列说法正确的是（   ）

A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1；

B．已知一组数据1，  2，，6，  7的平均数为4，则这组数据的方差是5；

C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；

D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16.

【答案】ACD

【分析】对于A，利用概率对于判断即可．对于B，根据平均数求得的值，然后利用方差公式求解即可.对于C，8个数据70百分为，从而求得第70百分位数为第6个数.对于D，利用方差公式求解即可.

【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确．

对于B，数据1， 2，，6，  7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误.

对于C，8个数据70百分为，第70百分位数为第6个数为23，故C正确.

对于D，依题意，，则，故数据的标准差为16，D正确；

故选：ACD.

12．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意结合指数幂运算和对数运算，可得，再对，，三种情况进行分类讨论，即可得到结果.

【详解】由题意，原式，可变换为，即；

当时，，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；

当时，，所以，所以，即；

当时，，所以，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；

综上：.

故选：BC.

三、填空题

13．函数的定义域是______．

【答案】且

【分析】列出使函数解析式有意义的不等式组，求解不等式组即可得答案.

【详解】解：要使函数有意义，则有，解得且，

故答案为：且．

14．现有1件正品和2件次品，从中不放回的依次抽取2件产品，则事件“第二次抽到的是次品”的概率为____________.

【答案】

【分析】根据给定条件，将3件产品编号，利用列举法结合古典概率计算作答.

【详解】记1件正品为A，2件次品为b，c，

从3件产品中依次抽取2件产品的结果有，共6个，它们等可能，

“第二次抽到的是次品”的事件含有的结果有，共4个，

所以事件“第二次抽到的是次品”的概率为.

故答案为：

15．若函数单调递增，则实数a的取值范围是_____

【答案】

【解析】分段函数的两段都递增且端点处函数值左边不比右边大，可得范围．

【详解】函数单调递增，

解得

所以实数的取值范围是.

故答案为：．

【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查对数函数与指数函数的单调性，分段函数在定义域内单调，则它的每段函数同单调，端点处的函数值还必须满足对应的不等关系．

16．已知函数，有以下结论：

①函数在单调递减；

②函数在单调递减；

③函数的值域为；

④函数有对称轴x＝1；

⑤函数有对称中心

以上结论正确的是（只填序号即可）______．

【答案】②④

【分析】根据函数解析式，分析函数奇偶性单调性和值域，验证结论是否正确.

【详解】函数，定义域为，

，

令，由二次函数的性质可知，函数在单调递增，在单调递减，

函数在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递增，在单调递减，故①错误，②正确；

由，则的值域为，故③错误；

，所以函数图像上的点关于直线的对称点也在函数图像上，即函数有对称轴x＝1，故④正确，⑤错误.

故答案为：②④

四、解答题

17．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．

（1）直方图中a的值为多少？

（2） 要再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出的人数为多少人．

【答案】(1) (2)16人

【分析】（1）根据频率之和为1，将每段频率表示出来，从而得到的值.

（2）先算出各段之间的比值，得到段所占比例，根据分层抽样规则，得到所抽人数.

【详解】（1）根据频率分布直方图可知，组距为500，根据频率之和为1，可得

解得

（2）每段的比例为

=

段所占比例为

因此抽出的人数为

18．求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最值可以利用配方法求值域，例如：，所以函数的最小值为－1，当且仅当时取得最小值．

(1)利用配方法求函数的最小值；

(2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买x吨，运费为4万元每次，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值应为多少？

【答案】(1)4；

(2)20.

【分析】（1）利用配方法求函数的最小值；

（2）利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合配方法求最小值，即可求得相应的x值.

【详解】（1）由，则，

所以函数的最小值为4，当且仅当即时取得最小值.

（2）一年购买400吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为4万元每次，

一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 元，

由，有，

当且仅当 即吨时，等号成立，

即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

19．已知关于x的不等式．

(1)当时，解上述不等式；

(2)，解上述关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由得到不等式，再利用一元二次不等式的解法求解；

（2）利用一元二次不等式的解法，分，，，，，讨论求解.

【详解】（1）解：当时，不等式为 ，

解得，

所以原不等式解集为： ；

（2）不等式，

当时，不等式为，

解得或，

当时，不等式为，解得，

当时，不等式为，

解得，

当时，不等式为，无解；

当时，不等式为，

解得，

综上：当时，不等式的解集为：或；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式无解；

当时，不等式的解集为：.

20．（1）已知函数，．求的值域；

（2）设函数，且．求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．

【答案】（1）；（2） ，此时；，此时.

【分析】（1）由的取值范围，得的取值范围，代入函数解析式可求值域；

（2）利用对数的运算性质对函数解析式变形整理，并通过换元得 ，利用二次函数的性质即可求出结果.

【详解】（1）函数，

，则，有，得，

所以的值域为.

（2）令，

函数，

又 ，有，∴，

令 ，

 当时， ，有，得，

∴ ，此时；

当时，，有，得，

∴，此时﹒

21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝（其覆盖面积为k），这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼蓝的覆盖面积为，三月底测得凤眼的覆盖面积为，凤眼蓝的覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．

（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；

（2）求凤眼蓝的覆盖面积是元旦放入凤眼蓝面积10倍以上的最小月份．（参考数据：）．

【答案】（1）理由见解析，函数模型为；（2）六月份.

【分析】（1）由凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求，根据数据时，时代入即可得解；

（2）首先求时，可得元旦放入凤眼蓝的覆盖面积是，解不等式即可得解.

【详解】（1）两个函数与在上都是增函数，

随着的增加，指数型函数的值增加速度越来越快，

而函数的值增加越来越慢，

由凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求；

由时，由时，

可得，解得，

故该函数模型的解析式为；

（2）当时，，元放入凤眼蓝的覆盖面积是，

由，得所以，

由，所以.

所以凤眼蓝的覆盖面积是元旦放入凤眼蓝面积10倍以上的最小月份是六月份.

22．已知函数是奇函数．

(1)求a的值，判断的单调性并说明理由；

(2)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，是R上的递增函数，证明见解析；

(2)

【分析】（1）由函数为奇函数，，求a的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；

（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在上恒成立，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数m的取值范围．

【详解】（1）函数，定义域是R，

依题意有，得，即 ，

此时 满足题意.

  ，

由此可判断出是R上的递增函数.

以下用定义证明：，且，则，

，

即，故是R上的递增函数.

（2）是奇函数且在R上的单调递增，不等式，可得，得，即，

对任意的，恒成立，即在上恒成立，

时，，，，当且仅当，即时等号成立，

∴，实数m的取值范围为 .

【点睛】思路点睛：此类函数不等式对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性和区间上的单调性，脱去函数的符号“f”，转化为解一般不等式的问题.

23．已知函数，若方程恰有4个不同的实根，求实数a的取值范围．

【答案】

【分析】由得，作出函数和的图像，利用数形结合即可得到结论．

【详解】由得，作出函数，的图像，如图所示，

当，，，两个函数的图像不可能有4个交点，不满足条件；

则，此时 ，当时，，

由图知：直线和抛物线相切时有三个零点，此时，即，

则，即，解得或，当时，，此时不成立，故，

要使两个函数有四个零点，则此时，

若，此时与有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，

即，整理得，

则，即，解得 (舍去)或，

综上a的取值范围是.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解