中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析

这是一份中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析，共5页。试卷主要包含了通用的解题策略，关注特殊数列，特殊数列的迁移，关注中考新题型等内容，欢迎下载使用。
探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．
1.通用的解题策略
解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．
例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．
图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )
(A)22 (B)23 (C)24 (D)25
解析 从特例入手：如图1．
纵比 正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．
横比 3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：
3＝4×1－1，7＝4×2－1．
11＝4×3－1，15＝4×4－1．
猜想 组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．
点评 考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．
2.关注特殊数列
(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；
(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．
例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．
解析 规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．
点评 此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等
(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）
例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )
（A）（B）（C）（D）
解析 从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：
．选B．
(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．
(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．
例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．
解析 第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．
例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．
解析 这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．
(6)与循环有关的问题
例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再
计算n32＋1得a3；
……
依此类推，则a2008＝_______．
解析 根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．
点评 一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得an＝ar)实施转换．
(7)分奇数项偶数项的问题
例7 一组按规律排列的式子：，…(ab≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．
解析 6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为
第七个式子为
3.特殊数列的迁移
例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为…，则第10个数为_______．
解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为
1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．
所以第10个数为
1＋4＋8＋12＋…＋36
＝．
解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．
点评 此列数可看成是平方数数列的迁移．
例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a， b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．

解析 除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．
点评 此列数可看成是杨辉三角形的迁移．
4.关注中考新题型
例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数
共有_______次．
解析 从特例入手，通过扩充表格可得：
数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．
点评 本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．