中考数学复习指导：例析一类“改为或换成”型几何问题

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近年来，一类“改为或换成”的几何问题倍受命题人青睐，这类试题以问题串呈现，其特点是探究方法类，似，结论的形式相同或相近．解答此类问题的基本方法是，首先给出基本问题的解答，并从中体会、总结解题思想与方法，然后运用其思想方法去解答它的变式题，下面撷取几例中考题解析，供读者参考．
例1 (1)如图1，正方形AECH的顶点E，H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果；
(2)将图1中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；
(3)把图2中的正方形都换成矩形，如图3，且已知DA：AB＝HA：AE＝m：n，此时HD：GC：EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．
分析 (1)如图1，连结AC．由正方形AEGH的顶点E，H在正方形ABCD的边上，易知A，G，C三点共线，从而得HD＝BE，GC＝BE，将其代入HD：GC： EB即可．
(2)如图2，连结AG，AC，可证△DAH∽△CAG、△DAH≌△BAE．根据相似三角形及全等三角形性质得之间的关系，进而求得HD：GC：EB的值．
(3)图3中，由矩形AEGH的顶点E，H在矩形ABCD的边上，由DA：AB＝HA：AE＝m：n，可证△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAC，△ADH∽△ABE．利用相似三角形的对应边成比例，分别得
点评 本题的综合性较强，主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理知识．(1)问是特殊情形，易于解答；(2)问中构造出全等、相似的思想方法直接决定着第(3)问；这种类比方法是解答此类问题的基本途径之一．
例2 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
(1)当点P与点C重合时（如图4）．求证：△BOG≌△POE；
(2)通过观察、测量、猜想：＝_______，并结合图5证明你的猜想；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图6），若∠ACB＝α，求的值．（用含α的式子表示）
分析 (1)当点P与点C重合时，易知OB＝OP．∠BOC＝∠BOG＝90°，由同角的余角相等，得
根据相似三角形的对应边比例易求的值．
点评 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的相关知识．(1)问虽是特殊情形，但它的思想方法（即全等方法）指引着我们去解答(2)、(3)问，尤其(3)问是由全等拓展为相似，更能体现类比方法在解题中的重要作用．
例3
(1)问题探究：如图7，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2．过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK＝∠ACD1，作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明；
(2)拓展延伸：
①如图8，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1＝∠BHK2＝∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M＝D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图9，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M＝D2N是否仍成立？（要求：在图9中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）
分析 (1)利用平角以及直角三角形的两锐角互余，证∠D1CK＝∠HAC，根据AAS证△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M＝CH．同理得D2N＝CH，代换得证；
(2)①过点C作CG⊥AB，垂足为点G．根据三角形的内角和等于180°及平角得∠H1AC＝∠D1CM，再利用“AAS”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝D1M．同理得CG＝D2N，从而得证．
②结论仍然成立，与①的证明方法相同．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质．三个问题都是利用两次全等来解答的，但证得∠H1CK＝∠HAC(或∠H1AC＝∠D1CM)是关键，也是难点，最后一问很好地考查了学生的动手操作能力，这也是课标所倡导的．