数学七年级下册6.3 实数学案

这是一份数学七年级下册6.3 实数学案，共8页。

1.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算数平方根. a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。如：22=4，2就叫做4的算术平方根，即4的算术平方根是2.
2.性质
（1）一个正数的算术平方根是① 数，负数② 算数平方根，0的算术平方根是③ .
（2）算术平方根a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算数平方根为非负数，即a≥0.
知识点2 估算
对算术平方根进行估算，经常取与被开方数最近的两个完全平方数的算数平方根进行比较。
例如：估算2的大小，可以取和2最近的两个完全平方数1和4，因为1＜2＜4，所以1＜2＜4，即1＜2＜2.
知识点3 用计算器求算术平方根
1.近似数
3.14,3.142…都是π的近似值，称它们为近似数。在解决实际问题时，出现某个数的算术平方根开不尽时，往往用一个有限小数来近似地表示这个算术平方根。
2.用计算器计算一个正数的算术平方根的近似值计算器品牌不同，按键顺序就有所不同，使用计算器计算一个正数的算术平方根的近似值之前，要仔细阅读计算器的使用说明书。
知识点4 平方根的概念及性质
1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的④ 或二次方根。这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
2.性质：正数a有两个平方根，它们互为⑤ ，正的平方根表示为a，负的平方根表示为－a，合起来表示为±a.0的平方根是0，负数⑥ 平方根。
3.开平方的定义
（1）求一个非负数的平方根的运算，叫做⑦ .
（2）平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。
答案：①正 ②没有 ③0 ④平方根 ⑤相反数 ⑥没有 ⑦开平方
6.2 立方根
知识点1 立方根
1.概念及表示
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的① 或三次方根，记为3a，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数，不可省略。如：2是8的立方根，即38=2；﹣23是﹣827的立方根，即3﹣827=﹣23；0是0的立方根。
2.性质
（1）每个数a② 个立方根，其中a可正、可负、可为0.
（2）正数的立方根是③ ，负数的立方根是④ ，0的立方根是0.
知识点2 平方根和立方根的区别与联系
知识点3 开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.其中a叫做⑤ .正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成。
开平方和开立方的区别
知识点4 用计算器求立方根
一些计算器设有3键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）。借助计算器求数的立方根的具体做法是开机后，先按3键，再输入被开方数，最后按=键，即可求出该数的立方根。要注意，不同厂家生产的计算器按顺序可能不同，以说明书为准。
答案：①立方根 ②有且只有一 ③正数 ④负数 ⑤被开方数
6.3 实数
知识点1 无理数
1.定义
① 或② 称为有理数，③ 称为无理数。
例如：2.2是有限小数，是无限循环小数，它们都是有理数；2.236 078 954…是无限不循环小数，是无理数。
2.小数的分类
小数
有限小数
无限循环小数
无限不循环小数——无理数
有理数
3.常见的无理数的形式
（1）开不尽方的数，如2，3
（2）化简后含有π的数，如π，π2
（3）有规律但不循环的无限小数，如0.101 001 000 1…
知识点2 实数的概念及分类
1.有理数和④ 统称为实数。
2.按定义分类
实数
有理数
无理数
⑤
分数
正分数
负分数
正整数
0
负整数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
有限小数或无限循环小数
3.按性质符号分类
实数
正实数
⑦
⑥
正无理数
正整数
正分数
负有理数数数
负无理数
0
负分数
负整数
知识点3 实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即⑧ 与数轴上的点是一一对应的。
知识点4 实数的相关概念
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义⑨
知识点5 实数的运算
实数可以进行加法、减法、乘法、除法（除数不为0）、乘方运算，非负数可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则对于实数同样适用。
实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照⑩ 的顺序进行，有括号先算括号内的。
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
知识点6 实数大小的比较
与规定有理数的大小一样，数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
1.利用数轴比较实数的大小
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
（2）两个正数， 大的数较大
（3）两个负数，绝对值大的数反而小
2.无理数大小的比较
答案：①有限小数 ②无限循环小数 ③无限不循环小数 ④无理数 ⑤整数 ⑥正有理数 ⑦负实数 ⑧实数 ⑨完全相同 ⑩从左到右 绝对值
平方根
立方根
区别
定义不同
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，
个数不同
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根。任何数的立方根都只有一个
表示方法不同
非负数a的平方根表示为±a，根指数为2，可以省略不写
数a的立方根用符号3a表示，这里的根指数3不能省略
被开方数的取值范围不同
在±a中，被开方数a是非负数
在3a中，被开方数a是任意数
联系
运算关系
都与相应的乘方运算互为逆运算
0的方根
0的立方根和平方根都是0
开平方
开立方
运算符号
±
3
被开方数
非负数
任意数
个数
0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根
任意数的立方根都只有一个
名称
性质
举例
相反数
若a与b互为相反数，则a+b=0
3的相反数是−3
倒数
若a与b互为倒数，则ab=1
2的倒数是12
绝对值
任何实数的绝对值都是非负数，即∣a∣≥0
∣a∣=
a( a＞0)
0( a=0)
－a( a＜0)
互为相反数的两个数的绝对值相等，即∣a∣=∣-a∣
∣2∣=∣-2∣=2
估算法
估算出所给无理数的近似值，再比较大小
作差法
若a−b＞0，则a＞b；若a−b＜0，则a＜b
乘方法
把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小
移动因式法
运用逆向思维把根号外的正因式移到根号内比较大小（第七节会讲到）
放缩法
将其中一个数（或两个数）放大或缩小，再比较，如扩大10倍等
作商法
将两数作商，作商后的结果与1（或－1）比较，同时考虑符号确定大小
倒数法
将两数分别取倒数，通过比较倒数大小确定原数大小关系