2023-2024学年安徽省黄山市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省黄山市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通指示标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. a8÷a2=a4C. (−3a3)2=−9a6D. (2ab)−2=14a2b2
3.在物联网时代的所有芯片中，14nm芯片已成为需求的焦点．已知nm即纳米，是度量单位，1nm=1×10−9m.将14nm用科学记数法表示正确的是( )
A. 1.4×10−8mB. 1.4×10−9mC. 14×10−9mD. 1.4×10−10m
4.如图，在△ABC中，∠C=40∘，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1−∠2的度数是( )
A. 40∘
B. 80∘
C. 90∘
D. 140∘
5.已知：2m+3n=5，则4m⋅8n=( )
A. 16B. 25C. 32D. 64
6.如图，在△ACD中，∠CAD=90∘，AC=6，AD=8，AB//CD，E是CD上一点，BE与AD相交于点F，当AB+CE=CD时，图中阴影部分的面积为( )
A. 24B. 36C. 48D. 60
7.若关于x的方程x−ax+1=−1有增根，则a的值为( )
A. 3B. 1C. 0D. −1
8.已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是( )
A. 11B. 10C. 9D. 7
9.如图点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40∘，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为( )
A. 140∘B. 100∘C. 50∘D. 40∘
10.如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE交于点P，BD交AC于点M，CE交AD于点N，连接AP.下列结论：
①BD=CE；
②∠BPE=180∘−2α；
③PA平分∠BPE；
④若α=60∘，则PE=AP+PD.
其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.点P(−5,2)关于x轴对称的点坐标是______.
12.若式子1x−1有意义，则实数x的取值范围是______.
13.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图①所示)，然后轻轻拉紧，压平后可以得到如图②的正
五边形ABCDE.则图②中∠EAC的度数为______.
14.在A⋅(−12xy)=3x2y−xy2+12xy中，多项式A=______.
15.(π+1)0−(13)−3=______.
16.已知a+b=7，ab=11，则a−b=______.
17.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40∘，则∠1+∠2=______ ∘.
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，∠ABC的角平分线BE交AC于点E.点D为AB上一点，且AD=AC，CD与BE交于点M.
(1)则∠DMB=______ ∘；
(2)若CH⊥BE于点H，AB=16，则MH的长为______.
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
计算：(m+n)(m−n)−(m−2n)2.
20.(本小题4分)
先化简，再求值(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2.
21.(本小题8分)
如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．
(1)市场P应修建在什么位置？(请用文字加以说明)
(2)在图中标出点P的位置(要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论).
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF，且CF=EF.求证：AF平分∠BAC.
23.(本小题10分)
某校推行“新时代好少年⋅红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了10%，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．
(1)原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
(2)该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？
24.(本小题12分)
如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠CAB=∠CBA=45∘，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE.
(1)如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；
(2)如图2，在(1)的条件下，连接BF交AC于D点，若AD=3CD，求证：E点为BC中点；
(3)如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BCBE=43，则ADCD=______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a4=a6，故此选项不合题意；
B.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；
C.(−3a3)2=9a6，故此选项不合题意；
D.(2ab)−2=14a2b2，故此选项符合题意．
故选：D.
直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，n的值是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
【解答】
解：14nm=14×1×10−9m=1.4×10−8m.
故选：A.
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了翻折变换(折叠问题)，以及外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键，由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用三角形外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】
解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40∘，
根据三角形外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80∘，
则∠1−∠2=80∘.
故选B.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方．根据同底数幂的乘法、幂的乘方，即可解答．
【解答】
解：4m⋅8n=22m⋅23n=22m+3n=25=32，
故选C.
6.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠B=∠BED，∠D=∠BAD，
∵AB+CE=CD，CD=DE+CE，
∴AB=DE，
在△ABF和△DEF中，
∠B=∠BEDAB=DE∠BAD=∠D，
∴△ABF≌△DEF(ASA)，
∴S△ABF=S△DEF，
∴阴影部分的面积=S△ACD=12×AC⋅AD=12×6×8=24，
故选：A.
由“ASA”可证△ABF≌△DEF，可得S△ABF=S△DEF，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：去分母，得：x−a=−(x+1)，
由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=−1，
把x=−1代入整式方程，可得：a=−1.
故选：D.
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x+1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8.【答案】C
【解析】解：∵三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，
∴5−5∴0∴整数m的最大值是9.
故选：C.
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100∘是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，由对称性与两点之间线段最短可知此时△PMN的周长的最小值为P1P2，根据对称性求出∠P1OP2=80∘，在△OP1P2中先求出∠OP1P2+∠OP2P1，再求出∠MPN.
【解答】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长为PM+PN+MN=P1M+P2N+MN=P1P2，
由对称性与两点之间线段最短可知此时△PMN的周长的最小值为P1P2，
由对称性可知：OP1=OP，MP=P1M，∠P1OM=∠POM，∠P2ON=∠PON，
所以∠OP1P=∠P1PO，∠PP1M=∠MPP1，∠P1OP2=2(∠POM+∠PON)=2∠AOB=80∘，
因为∠OP1M=∠OP1P−∠PP1M，∠MPO=∠P1PO−∠MPP1，
所以∠OP1M=∠MPO，
同理可得：∠NPO=∠NP2O，
在△OP1P2中，因为∠OP1P2+∠OP2P1=180∘−∠P1OP2=100∘，
所以∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100∘.
故选：B.
10.【答案】D
【解析】解：如图1，∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE=α+∠CAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
故①正确；
∵∠BPC=∠BMC−∠ACE=∠BMC−∠ABD=∠BAC=α，
∴∠BPE=180∘−∠BPC=180∘−α≠180∘−2α，
故②错误；
作AF⊥BD于点F，AL⊥CE于点L，
∵S△BAD=S△CAE，且S△BAD=12BD⋅AF=12CE⋅AF，S△CAE=12CE⋅AL，
∴12CE⋅AF=12CE⋅AL，
∴AF=AL，
∴点A在∠BPE的平分线上，
∴PA平分∠BPE，
故③正确；
如图2，∠BAC=∠DAE=α=60∘，则∠BPE=180∘−α=120∘，
∴∠APE=∠APB=12∠BPE=60∘，
在PE上截取PL=AP，连接AL，则△APL是等边三角形，
∴AP=AL，∠PAL=60∘，
∴∠PAD=∠LAE=60∘−∠DAL，
在△APD和△ALE中，
AP=AL∠PAD=∠LAEAD=AE，
∴△APD≌△ALE(SAS)，
∴PD=LE，
∴PE=PL+LE=AP+PD，
故④正确，
故选：D.
由∠BAC=∠DAE=α，得∠BAD=∠CAE=α+∠CAD，而AB=AC，AD=AE，即可根据“SAS”证明△BAD≌△CAE，得BD=CE，∠ABD=∠ACE，可判断①正确；再推导出∠BPC=∠BAC=α，则∠BPE=180∘−∠BPC=180∘−α，可判断②错误；作AF⊥BD于点F，AL⊥CE于点L，由S△BAD=S△CAE，得12BD⋅AF=12CE⋅AL，则AF=AL，所以PA平分∠BPE，可判断③正确；当∠BAC=∠DAE=α=60∘时，则∠BPE=120∘，所以∠APE=∠APB=60∘，在PE上截取PL=AP，连接AL，则△APL是等边三角形，可证明△APD≌△ALE，得PD=LE，所以PE=PL+LE=AP+PD，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的性质、根据面积等式证明两条线段相等、等边三角形的判定与性质等知识，证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
11.【答案】(−5,−2)
【解析】解：点P(−5,2)关于x轴对称的点坐标是(−5,−2)，
故答案为：(−5,−2).
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】x≠1
【解析】解：要使式子1x−1有意义，必须x−1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
根据分式有意义的条件得出x−1≠0，再求出即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：分式AB中，分母B≠0.
13.【答案】72∘
【解析】解：五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180∘=720∘，
∴∠ABC=∠BAE=720∘5=108∘，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC=180∘−108∘2=36∘，
∴∠EAC=∠BAE−∠BAC=108∘−36∘=72∘.
故答案为：72∘.
先根据多边形内角和的计算方法计算除五边形ABCDE的内角和，再根据正多边形的每一个内角的计算方法进行计算即可算出每个内角的度数，由等腰三角的性质可得计算出∠BCA的度数，由∠EAC=∠BAE−∠BAC即可算出答案．
本题主要考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和的计算方法进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】−6x+2y−1
【解析】解：由题意得，
A=(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)
=−6x+2y−1，
故答案为：−6x+2y−1.
根据题意得A=(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)，然后根据多项式除以单项式法则计算即可．
本题考查了整式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
15.【答案】−26
【解析】解：原式=1−27
=−26.
故答案为：−26.
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】± 5
【解析】解：∵a+b=7，ab=11，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×11=49−44=5，
∴a−b=± 5.
故答案为：± 5.
根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，即可解答．
本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征．
17.【答案】140
【解析】【分析】
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60∘是解答此题的关键.先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60∘，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论.
【解答】
解：如图：
∵图中是三个等边三角形，∠3=40∘，
∴∠ABC=180∘−60∘−40∘=80∘，∠ACB=180∘−60∘−∠2=120∘−∠2，
∠BAC=180∘−60∘−∠1=120∘−∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴80∘+(120∘−∠2)+(120∘−∠1)=180∘，
∴∠1+∠2=140∘.
故答案为140.
18.【答案】45 4
【解析】解：(1)∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=60∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30∘，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=180∘−∠A2=75∘，
∵∠ADC是△DBM的一个外角，
∴∠DMB=∠ADC−∠ABE=45∘，
故答案为：45；
(2)∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=16，
∴BC=12AB=8，
∵CH⊥BE，
∴∠BHC=90∘，
∵∠CBH=30∘，
∴CH=12BC=4，
∵∠DMB=45∘，
∴∠DMB=∠CMH=45∘，
∴△CHM是等腰直角三角形，
∴CH=HM=4，
故答案为：4.
(1)先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC=60∘，再利用角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE=30∘，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ADC=∠ACD=75∘，从而利用三角形的外角性质进行计算，即可解答；
(2)先在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC=8，再根据垂直定义可得∠BHC=90∘，从而先在Rt△BCH中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CH=4，然后利用对顶角相等可得∠DMB=∠CMH=45∘，从而可得△CHM是等腰直角三角形，即可解答．
本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(m+n)(m−n)−(m−2n)2
=m2−n2−(m2−4mn+4n2)
=m2−n2−m2+4mn−4n2
=−5n2+4mn.
【解析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(xx−1−x−1x−1)÷(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1÷x+1x−1
=1x−1⋅x−1x+1
=1x+1，
当x=2时，原式=12+1=13.
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21.【答案】解：(1)点P应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点处；
(2)如图所示：点P即为所求．
【解析】【分析】
此题主要考查了基本作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
(1)直接利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分析得出答案；
(2)直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案．
22.【答案】证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠DCE+∠ACD，∠B=∠ACD，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵EF=CF，
∴AF平分∠CAE.
【解析】由角平分线定义得到∠BCE=∠DCE，由三角形外角的性质推出∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠DCE+∠ACD，而∠B=∠ACD，得到∠AEC=∠ACE，由等腰三角形的性质推出AF平分∠CAE.
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线定义，关键是由角平分线定义，三角形外角的性质推出∠AEC=∠ACE.
23.【答案】解：(1)设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为(1+10%)x元，
根据题意得：15400(1+10%)x−10000x=2，
解得：x=2000，
经检验：x=2000是原方程的解，
答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元；
(2)15400(1+10%)×2000=7，
答：该校实际共建设了7间青少年党史“读书吧”．
【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
(1)设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用是(1+10%)x元，根据题意列出方程求解即可；
(2)根据总价单价=间数，可得结论．
24.【答案】113
【解析】(1)证明：∵FG⊥AC，
∴∠FGA=90∘=∠C，
∵∠FAG+∠CAE=90∘，∠FAG+∠F=90∘，
∴∠CAE=∠F，
在△AGF和△ECA中，
∠AGF=∠ECA∠F=∠CAEAF=AE，
∴△AGF≌△ECA(AAS)，
∴AG=EC；
(2)证明：∵△AGF≌△ECA，
∴FG=AC=BC，
在△FGD和△BCD中，
∠FDG=∠CDB∠FGD=∠C=90∘FG=BC，
∴△FGD≌△BCD(AAS)，
∴DG=CD，
∵AD=3CD，
∴ADCD=3，
∴AGCD=2，
∴AGAC=12，
∵AG=CE，AC=BC
∴CEBC=12，
∴E点为BC的中点；
(3)解：如图3，过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵BCBE=43，BC=AC，
∴ACCE=47，
由(1)(2)可知，△AHF≌△ECA，△DHF≌△DCB，
∴AH=CE，CD=DH，
∴ACAH=47，
∴ACCH=43，
∴ACCD=83，
∴ADCD=113.
故答案为：113.
(1)根据同角的余角相等得到∠FAG=∠AEC，根据AAS证明△FAG≌△AEC；
(2)证明△FGD≌△BCD，根据全等三角形的性质得到DG=DC，进而证出CE=BE，则可得出结论；
(3)过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H，由(1)(2)得到△AHF≌△ECA，△DHF≌△DCB，根据全等三角形的性质计算即可．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．