2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各点中，位于第二象限的是( )
A. (−3,2)B. (2,5)C. (5,−2)D. (−5,−5)
2.备受世界瞩目的第十九届亚洲运动会和第四届亚洲残疾人运动会在浙江杭州胜利闭幕，我国运动健儿奋力拼搏，金牌及奖牌数实现历史新突破!运动会吉祥物成为网红，备受大众青睐.下面是四个吉祥物的图案，其中整体可以看成轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 2，2，4D. 2，3，6
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=50∘，DF//EB.若∠D=70∘，则∠ACD的度数为( )
A. 30∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 45∘
5.如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC=DF，∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABC与△DEF全等的是( )
A. BF=CE
B. ∠A=∠D
C. AB=DE
D. ∠B=∠E
6.如图，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列命题中假命题是( )
A. BF=CF
B. BF=CD
C. ∠BFC=120∘
D. 点F到AB、AC距离相等
7.关于一次函数y=kx+1(k>0)，下列说法正确的是( )
A. 该函数图象有可能经过点(1,1)B. 该函数图象有可能经过点(−1,1)
C. 该函数图象有可能经过点(−1,−1)D. 该函数图象有可能经过点(1,−1)
8.如图，∠AOB=30∘，OE平分∠AOB，EF//OB，CE⊥OB于点C.若EC=6，则OF的长是( )
A. 6
B. 9
C. 6 3
D. 12
9.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A. 乙用16分钟追上甲
B. 乙追上甲后，再走1500米才到达终点
C. 甲乙两人之间的最远距离是300米
D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是( )
A. ∠M=∠DAEB. ∠DAE=12(∠ABC−∠C)
C. EF//ABD. ∠EFC=2∠M+∠C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知a12.若函数 x+3x−3在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是______.
13.等腰三角形有一个角是36∘，则它的顶角度数是______.
14.已知函数y=(k−3)x+k.
(1)该函数图象经过定点______.
(2)如果直线y=(k−3)x+k不经过第三象限，则k的范围是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知：如图，AB//DE，AB=DE，AF=DC.求证：∠B=∠E.
16.(本小题8分)
已知y+1与x−2成正比例，当x=1时，y=0.
(1)求y与x之间的关系式；
(2)求(1)中的函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A(−2,4)，B(−4,2)，C(−3,1)，按下列要求作图.
(1)△ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1(点A、B、C分别对应A1、B1、C1)，请画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.
(3)求△A2B2C2的面积.
18.(本小题8分)
如图，点E在△ABC的边AC上.
下面有四个条件：
①AE=BC；②AD//BC；③∠D=∠BAC；④DE=AB.请你从中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.
19.(本小题10分)
已知一次函数y=−12x+b经过点B(0,1)，与x轴交于点A.
(1)求b的值和点A的坐标；
(2)画出此函数的图象；
(3)观察图象，当−1<−12x+b<1时，x的取值范围是______.
20.(本小题10分)
如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=16cm，点P从点A出发，在线段AB上沿A→B→A方向以4cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点E时，P，Q两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t(s).
(1)线段AB与DE有什么位置关系？并说明理由.
(2)线段AP的长为______；(用含t的式子表示)
线段QE的长为______；(用含t的式子表示)
(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.
21.(本小题12分)
如图，△ABD是等边三角形，以BD为底边向外侧作等腰三角形BCD，过点C作CE//AB，交BD于点F，交AD于点E.
(1)判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)若AD=3DE，求证：EF=CF.
22.(本小题12分)
2023年暑期某地发生水灾，防洪救援部门准备安排30辆货车装运甲、乙、丙三种物资共150吨前往灾区救援，按计划30辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满.已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装4吨.
(1)设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，求y与x之间的函数关系式；
(2)如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？
(3)若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨5万元，在(2)的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？
23.(本小题14分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0∘<α<60∘)，将线段BC绕点B逆时针旋转60∘得到线段BD.
(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)为______；
(2)如图2，连接BE，若∠BCE=150∘，∠ABE=60∘，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45∘，求α的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、(−3,2)在第二象限，符合题意；
B、(2,5)在第一象限，不符合题意；
C、(5,−2)在第四象限，不符合题意；
D、(−5,−5)在第三象限，不符合题意；
故选：A.
直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
此题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点．
2.【答案】D
【解析】解：选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：A、因为1+2=3，所以1，2，3不能组成三角形，故A不符合题意；
B、因为2+3>4，所以2，3，4能组成三角形，故B符合题意；
C、因为2+2=4，所以2，2，4不能组成三角形，故C不符合题意；
D、因为2+3<6，所以2，3，6不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B.
判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．
4.【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=50∘，
∴∠A=40∘，
∵DF//EB，∠D=70∘，
∴∠D=∠CEB=70∘，
∴∠ACD=∠CEB−∠A=70∘−40∘=30∘，
故选：A.
先根据在直角三角形中，两锐角互余得出∠A=40∘，根据DF//EB，∠D=70∘，得到∠D=∠CEB=70∘，再根据三角形外角的性质，即可得出∠ACD的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、由BF=CE得BC=EF，由SAS判定△ABC与△DEF全等，故A不符合题意；
B、由ASA判定△ABC与△DEF全等，故B不符合题意；
C、∠1和∠2分别是DE和AB的对角，不能判定△ABC与△DEF全等，故C符合题意；
D、由AAS判定△ABC与△DEF全等，故D不符合题意．
故选：C.
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL.
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴∠CBF=12∠ABC=30∘，∠BCF=12∠ACB=30∘，
∴∠CBF=∠BCF，
∴BF=CF，
故A不符合题意；
∵∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF=120∘，
故C不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴FD⊥AC，
∴DC∵BF=CF，
∴CD故B符合题意；
∵△ABC是等边三角形，D、E分别是AC，AB中点，
∴BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴F是△ABC的内心，
∴F到AB、AC的距离相等，
故D不符合题意．
故选：B.
由等边三角形的性质推出∠CBF=12∠ABC=30∘，∠BCF=12∠ACB=30∘，得到∠CBF=∠BCF，判定BF=CF，求出∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF=120∘，由等边三角形的性质推出FD⊥AC，得到DC本题考查等边三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，关键是由等边三角形的性质推出BD，CE是△ABC的角平分线．
7.【答案】C
【解析】解：A.当一次函数y=kx+1的图象经过点(1,1)时，1=k+1，
解得：k=0，选项A不符合题意；
B.当一次函数y=kx+1的图象经过点(−1,1)时，1=−k+1，
解得：k=0，选项B不符合题意；
C.当一次函数y=kx+1的图象经过点(−1,−1)时，−1=−k+1，
解得：k=2，选项C符合题意；
D.当一次函数y=kx+1的图象经过点(1,−1)时，−1=k+1，
解得：k=−2，选项D不符合题意．
故选：C.
将各选项中的点的坐标代入一次函数解析式中，可求出k的值，取使得k>0的选项即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的坐标，求出k值是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：过点E作EF⊥OA于点D，
∵OE平分∠AOB，CE⊥OB于点C，EC=6，
∴CE=ED=6，
∵EF//OB，∠AOB=30∘，
∴∠EFD=∠AOB=30∘，
∴EF=2ED=12.
故选：D.
过点E作EF⊥OA于点D，由角平分线的性质可知CE=ED，再由EF//OB可知∠EFD=∠AOB=30∘，进而可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，
∴甲步行的速度为240÷4=60(米/分钟)，
由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了16−4=12(分钟)追上甲，故A不符合题意；
∴乙的速度为16×60÷12=80(米/分钟)，
则乙走完全程的时间为2400÷80=30(分钟)，
乙追上甲剩下的路程为：80×18=1440(米)，
∴乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B不符合题意；
当乙到达终点时，甲步行了60×(30+4)=2040(米)，
∴甲离终点还有2400−2040=360(米)，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故C不符合题意．
乙休息的时间为360÷60=6(分钟)，
故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D符合题意．
故选：D.
根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
本题考查函数图象，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．
10.【答案】D
【解析】解：∵AD⊥BC，FM⊥AE，
∴∠ADB=∠AHG=90∘，
∴∠M+∠MGD=90∘，∠DAE+∠AGH=90∘，
∵∠MGD=∠AGH，
∴∠M=∠DAE；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD
=12∠BAC−∠BAD
=12(180∘−∠ABC−∠C)−(90∘−∠ABC)
=90∘−12∠ABC−12∠C−90∘+∠ABC
=12(∠ABC−∠C)；
∵FM是AE的垂直平分线，
∴FA=FE，
∴∠CAE=∠FEA，
∴∠BAE=∠FEA，
∴AB//FE；
∴∠ABC=∠FEC，
∵∠DAE=∠M，∠DAE=12(∠ABC−∠C)，
∴∠M=12(∠ABC−∠C)，
∴2∠M=∠ABC−∠C，
∴2∠M+∠C=∠ABC，
∴2∠M+∠C=∠FEC，
故A、B、C都正确，D不正确，
故选：D.
根据垂直定义可得∠ADB=∠AHG=90∘，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠M+∠MGD=90∘，∠DAE+∠AGH=90∘，再根据对顶角相等可得∠MGD=∠AGH，从而可得∠M=∠DAE，然后利用角平分线的定义可得∠BAE=∠CAE=12∠BAC，从而利用角的和差关系以及三角形内角和定理进行计算可得：∠DAE=12(∠ABC−∠C)，再利用线段垂直平分线的性质可得FA=FE，从而可得∠CAE=∠FEA，进而可得∠BAE=∠FEA，最后利用内错角相等，两直线平行可得AB//FE，从而可得∠ABC=∠FEC，再利用等量代换可得∠M=12(∠ABC−∠C)，从而可得2∠M=∠ABC−∠C，进而可得2∠M+∠C=∠ABC，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
11.【答案】二
【解析】解：∵a∴a−b<0，−b>0，
∴点P(a−b,−b)在第二象限．
故答案为：二．
先根据题意判断出a−b与−b的符号，进而可得出结论．
本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
12.【答案】x≥−3且x≠3
【解析】解：由题意得：x+3≥0且x−3≠0，
解得：x≥−3且x≠3，
故答案为：x≥−3且x≠3.
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
13.【答案】36∘或108∘
【解析】解：(1)当36∘角为顶角，顶角度数即为36∘；
(2)当36∘为底角时，顶角=180∘−2×36∘=108∘.
故答案为：36∘或108∘.
等腰三角形一内角为36∘，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14.【答案】(−1,3)0≤k<3
【解析】解：(1)∵y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，
∴该函数过定点(−1,3).
故答案为：(−1,3).
(2)∵一次函数y=(k−3)x+k的图象不经过第三象限，
∴k−3<0k≥0，
解得0≤k<3，
故答案为：0≤k<3.
(1)根据“y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x”来求解；
(2)由一次函数不经过第三象限可得到关于k的不等式组，则可求得k的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解．
15.【答案】证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，
∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠B=∠E.
【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB//DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF(SAS)，故∠B=∠E.
本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
16.【答案】解：(1)设y+1=k(x−2)，
把x=1，y=0代入得k×(1−2)=1，
解得k=−1，
∴y+1=−(x−2)，
∴y与x之间的关系式为y=−x+1；
(2)当x=0时，y=−x+1，
∵函数y=−x+1与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,1)，
∴函数y=−x+1的图象与坐标轴围成的三角形的面积=12×1×1=12.
【解析】(1)利用正比例函数的定义，设y+1=k(x−2)，然后把已知点的坐标代入求出k，从而得到y与x的关系式；
(2)先利用(1)中的解析式确定函数与坐标轴的两交点的坐标，然后利用三角形面积公式求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)△A2B2C2的面积为12×(1+3)×2−12×1×1−12×1×3=4−12−32=2.
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)根据平移的性质作图即可．
(3)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图-轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：我写的真命题是：
已知：①②③；
求证：④．
证明如下：
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠B=180∘，
即∠DAE+∠BAC+∠B=180∘，
又∵∠DAE+∠D+∠AED=180∘，∠D=∠BAC，
∴∠AED=∠B，
在△ABC和△DEF中，
∠D=∠BACAE=BC∠AED=∠B，
∴△ABC≌△DEA(ASA)，
∴DE=AB.
【解析】选①②③为条件，先证明∠AED=∠B，则可根据“ASA“判断△ABC≌△DEA，所以DE=AB.
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19.【答案】0【解析】解：(1)∵一次函数y=−12x+b经过点B(0,1)，
∴b=1.
∵当y=0时，−12x+1=0，
解得x=2.
∴A(2,0).
(2)由(1)知，A(2,0)，B(0,1)，
画图如下：
直线AB即为所求；
(3)由图知，当−1<−12x+b<1时，x的取值范围是0故答案为：0(1)将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出b的值，从而求出一次函数的解析式，令y=0时，得出x的值即可得出点A的坐标；
(2)根据点A和点B的坐标确定位置，作直线AB即可；
(3)根据图象，即可确定x的取值范围．
本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键．
20.【答案】4tcm或(32−4t)16−2t
【解析】解：(1)AB//DE，
证明：在△ABC和△EDC中，
AC=EC∠ACB=∠ECDBC=DC，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴∠A=∠E，
∴AB//DE；
(2)由(1)知∴△ABC≌△EDC，
∴DE=AB=16cm，QE=16−2t，
当0<1≤4时，AP=4tcm，
当4∴AP=16−(4t−16)=(32−4t)cm.
∴线段AP的长为4tcm或(32−4t)cm，
故答案为：4tcm或(32−4t)cm；16−2t；
(3)如图，根据题意得DQ=2tcm，则EQ=(16−2t)cm，
由(1)得：∠A=∠E，ED=AB=16cm，
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=EC∠ACP=∠ECQ，
∴ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，DQ=PB，
当0≤t≤4时，2t=16−4t，
解得：t=83，
当4解得：t=163：
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为83或163.
(1)证明△ABC≌△EDC(SAS)可得∠A=∠E，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论；
1(2)分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP=4tcm，当4(3)先证明△ACP≌△ECQ(ASA)，得到AP=EQ，在分两种情况列方程求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用，解本题的关键是证明△ACP≌△ECQ.
21.【答案】(1)解：△DEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABD是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ADB=60∘，
∵CE//AB，
∴∠A=∠DEF=60∘，∠B=∠DFE=60∘，
∴△DEF是等边三角形；
(2)证明：如图，过点E，C分别作BD的垂线EH，CG，垂足分别为H，G，
∴∠EHF=∠CGF=90∘，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵AD=3DE，
∴BD=3DE，
由(1)知：△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，
设DE=DF=x，
∴BD=3DF=3x，
∵CB=CD，CG⊥BD，
∴BG=DG=12BD=3x2，
∴FG=DG−DF=3x2−x=12x，
∵EH⊥FD，
∴DH=FH=12DF=12x，
∴FH=FG，
在△FEH和△FCG中，
∠EHF=∠CGF=90∘∠EFH=∠CFGFH=FG，
∴△FEH≌△FCG(AAS)，
∴EF=CF.
【解析】(1)根据平行线的性质和等边三角形的性质得∠A=∠DEF=60∘，∠B=∠DFE=60∘，进而可以解决问题；
(2)过点E，C分别作BD的垂线EH，CG，垂足分别为H，G，根据等边三角形的性质证明FH=FG，可得△FEH≌△FCG，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△FEH≌△FCG.
22.【答案】解：(1)由题意可知，装运丙种物资的车辆数为(30−x−y)辆，
∴8x+6y+4(30−x−y)=150，经整理，得y=15−2x，
∴y与x之间的函数关系式为y=15−2x.
(2)由(1)得，装运丙种物资的车辆数为(x+15)辆，
根据题意，得x≥315−2x≥3x+15≥3，
解得3≤x≤6，
∵x为整数，
∴x=3、4、5或6.
当x=3时，y=15−2×3=9，30−3−9=18(辆)；
当x=4时，y=15−2×4=7，30−4−7=19(辆)；
当x=5时，y=15−2×5=5，30−5−5=20(辆)；
当x=6时，y=15−2×6=3，30−6−3=21(辆)；
∴车辆的安排方案有4种：
①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为9辆，装运丙种物资的车辆数为18辆；
②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为7辆，装运丙种物资的车辆数为19辆；
③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，装运丙种物资的车辆数为20辆；
④装运甲种物资的车辆数为6辆，装运乙种物资的车辆数为3辆，装运丙种物资的车辆数为21辆．
(3)该公司此次购买捐赠物资花费w万元，
根据题意，得w=3×8x+4×6(15−2x)+5×4(x+15)=−4x+660，
∵−4<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=6时，w最小，w=−4×6+660=636，
∴该公司此次购买捐赠物资至少花费636万元．
【解析】(1)根据题意，用x和y表示出装运丙种物资的车辆数，再根据物资的总量得到x和y之间的数量关系，将y表示成x的函数的形式即可；
(2)根据(1)中得到的y与x之间的函数关系式，用x和y表示出装运丙种物资的车辆数，根据装运每种物资的车辆都不少于3辆列一元一次不等式组并求其解集，确定x的取值，分别求出对应的装运乙种物资和丙种物资的车辆数即可；
(3)该公司此次购买捐赠物资花费w万元，根据题意将w表示为x的函数，根据w随x的增减变化情况及x的取值范围求出当x为何值时w最小，并求出此时w的最小值即可．
本题考查一次函数及一元一次不等式的应用，求出y与x之间的函数关系式是解答本题的关键．
23.【答案】(1)∠ABD=30∘−12α；
(2)结论：△ABE是等边三角形．
理由：如图2，连接AD，CD，
∵线段BC绕B逆时针旋转60∘得到线段BD，
则BC=BD，∠DBC=60∘，
∴△BCD为等边三角形，
∵∠ABE=∠DBC=60∘，
∴∠ABD=∠EBC=30∘−12α，
∴BD=CD，
在△ABD与△ACD中，
AB=ACAD=ADDB=DC，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD=12α，
∵∠BCE=150∘，
∴∠BEC=180∘−∠BCE−∠EBC=12α，
∴∠BAD=∠BEC=12α，
在△EBC和△ABD中，
∠BEC=∠BAD∠EBC=∠ABDBC=BD，
∴△EBC≌△ABD(AAS)，
∴BE=AB，
∵∠ABE=60∘，
∴△ABE是等边三角形；
(3)由△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=60∘，
∵∠BCE=150∘，
∴∠DCE=150∘−60∘=90∘，
∵∠DEC=45∘，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC=CE=BC，
∵∠BCE=150∘，
∴∠EBC=12 (180∘−150∘)=15∘，
∵∠EBC=30∘−12α=15∘，
∴α=30∘.
【解析】解：(1)∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB=12(180∘−α)，
∵∠CBD=60∘，
∴∠ABD=12(180∘−α)−60∘=30∘−12α.
故答案为：∠ABD=30∘−12α；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)利用等腰三角形的性质，求出∠ABC，可得结论；
(2)结论：△ABE是等边三角形．证明△ABD≌△ACD(SSS)，推出∠BAD=∠CAD=12α，再证明△EBC≌△ABD(AAS)，可得结论；
(3)证明△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．