最高考文数考点一遍过（讲义） 考点22 等比数列及其前n项和

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点22 等比数列及其前n项和，共28页。学案主要包含了等比数列，等比数列的前n项和公式，等比数列及其前n项和的性质等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题22 等比数列及其前n项和
（1）理解等比数列的概念.
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等比数列与指数函数的关系.
一、等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．
当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
二、等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
三、等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
（6）当时，；当时，．
（7）．
（8）若项数为，则，若项数为，则．
（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
考向一 等比数列的判定与证明
等比数列的判定与证明常用的方法：
（1）定义法：为常数且数列是等比数列．
（2）等比中项法：数列是等比数列．
（3）通项公式法：数列是等比数列．
（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：
（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
典例1 设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④.其中一定为等比数列的是
A．①③B．②④
C．②③D．①②
【答案】D
【解析】设，
①，所以数列是等比数列；
②，所以数列是等比数列；
③不是一个常数，所以数列不是等比数列；
④不是一个常数，所以数列不是等比数列.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.
典例2 已知数列满足.
（1）证明：是等比数列；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由得：，
因为，
所以，
从而由得，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
所以
.
【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如（），在构造数列时，可在等式两边同时加上构成等比数列.
（1）利用递推公式可以得到的表达式，两个式子相减即可得到与的表达式；构造数列{}，即可证明{}为等比数列.
（2）利用{}为等比数列，可求得{}的通项公式；将{}分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.
1．已知数列满足，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
考向二 等比数列的基本运算
等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.
（1）等比数列的基本运算方法：
①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．
②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．
（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：
①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．
②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．
③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.
典例3 已知是等比数列，且，，则等于
A． B．24
C． D．48
【答案】B
【解析】由题意知，则，
所以，故选B．
典例4 各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值为
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】设的公比为q（），根据题意可知，得，解得（负值舍去），而，故选B．
【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.
2．数列中，，为的前项和，若，则________．
考向三 求解等比数列的通项及前n项和
1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：
（1）通项法．设数列的通项公式来求解；
（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；
若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.
2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.
3．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．
（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．
典例5 若等比数列的前项和为,且5，则等于
A．5 B．16
C．17 D．25
【答案】C
【解析】当公比时，故公比不为1，
当公比时，∴，∴，故选C.
【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n项和，注意对公比的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比进行分类讨论，利用前n项和公式及条件，求出，从而得到结果.
典例6 已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝6，a3＋a4＝72，
∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4．
又∵an＞0，
∴q＞0，
∴q＝3，．
∴.
（2）∵，
∴.
3．已知等比数列是递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
考向四 等比数列的性质的应用
等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.
注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.
典例7 在等比数列中，是方程的根，则
A． B．2
C．1 D．
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知，故，故选A.
典例8 已知等比数列的前n项和为，若，，则_______．
【答案】140
【解析】方法1：由，，易得公比，
根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，
又，所以，．
方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，
所以．
方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，
则，即，解得．
4．等比数列的各项均为正数，且，则
A．B．
C．D．
考向五 数列的新定义问题
数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
典例9 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为，求；
（3）在（2）的条件下，记，设数列的前n项和为，求使成立的n的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）由题意得，即，则是“平方递推数列”．
对两边取对数得，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
则
（3）由（2）知，，
又，
所以，即，
又，
所以，
故使成立的n的最小值为．
5．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且p、q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q−p，例如f（12）=4−3=1，则数列{f（3n）}的前2019项和为______．
1．在等比数列中，若，则的值为
A．B．
C．D．
2．已知等比数列的前项和为，公比为，若，，则等于
A．7B．13
C．15D．31
3．已知为等比数列，，则
A．7 B．5
C． D．
4．在数列中，，则等于
A．9B．10
C．27D．81
5．等比数列中，，则数列的前8项和等于
A．6 B．5
C．4 D．3
6．已知数列的前项和是，数列满足点，在直线上，则前5项和为
A．B．
C．D．
7．在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗.据文献记载，古代有一座n层的塔共挂了127盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，且底层的灯笼数与顶层的灯笼数之和为65，则塔的底层共有灯
A．27盏B．81盏
C．64盏D．128盏
8．已知等比数列的公比为，前项和是，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记为图中第行各个数之和，为的前项和，则
A．1024B．1023
C．512D．511
11．已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比的值为________________．
12．已知数列是等比数列，且，则________________．
13．设各项都是正数的等比数列{}，Sn为前n项和，且S10=10，S30=70，那么S40=________________．
14．若数列的前项和满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
15．已知等比数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
1．（2019年高考全国III卷文数）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8
C．4D．2
2．（2018北京卷文科）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
4．（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则__________．
5．（2019年高考全国I卷文数）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
6．（2018新课标全国I文科）已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
7．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
8．（2019年高考全国II卷文数）已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
变式拓展
1．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）∵，
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.
（2）由（1）知，，
∴，
∴.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.
（1）利用等比数列的定义可以证明；
（2）由（1）可求的通项公式，结合可得，结合通项公式特点选择分组求和法进行求和.
2．【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以由等比数列的求和公式得，解得.
【名师点睛】本题考查等比数列的定义以及等比数列的求和公式，属于简单题.求解本题时，由已知条件中，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解.
3．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由是递增等比数列，，
联立，解得或，
∵数列是递增数列，
∴只有符合题意，
则，结合可得，
∴数列的通项公式为.
（2）由，得，
∴；
那么，①
则，②
②﹣①得：
．
【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.
（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和．
4．【答案】B
【解析】根据题意，等比数列的各项均为正数，且，
则有，
所以.
故选B．
【名师点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题．
5．【答案】31010−1
【解析】由题意可知，当为偶数时，，当为奇数时，，
则
.
故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据题意，得到数列的计算规律，合理利用等比数列的求和公式计算是解答的关键，着重考查了推理能与计算能力，属于中档试题.
专题冲关
1．【答案】B
【解析】等比数列中，，，故选B.
【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，此题也可用通项公式求解.熟记等比数列的性质：若，则.
2．【答案】C
【解析】由题得，即，则.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查等比数列通项基本量的计算，考查等比数列的前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．【答案】D
【解析】∵为等比数列，，∴，又，∴是方程的两个实根，∴，或，解得或，∴.
故选D.
【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．
③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．
④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
4．【答案】C
【解析】由题意，在数列中，，即，
可得数列是首项，公比的等比数列，
所以，故选C.
【名师点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5．【答案】C
【解析】由等比数列的性质知，所以 ．故选C.
6．【答案】B
【解析】数列满足点，在直线上，则，
当时，，得，
当时，，即，得，即，
则数列是首项，公比的等比数列，则前5项和为，
故选B．
【名师点睛】本题考查利用和项与通项关系求通项以及等比数列定义与与前n项和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.求解时，先根据条件得，再利用和项与通项关系得，最后根据等比数列定义与与前n项和公式得结果.
7．【答案】C
【解析】设从上到下每层的灯笼数构成公比为2的等比数列，
由已知得，
所以解得n=7，=1，
所以，故选C.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题型.求解时，先设从上到下每层的灯笼数构成公比为2的等比数列，由题意和等比数列的性质，列方程组，求解即可.
8．【答案】D
【解析】由得，∴，∴，解得或．∴“”等价于“或”．故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．
【名师点睛】先求出“”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了和公比有关外，还与数列的首项有关．当或时，数列为递增数列；当或时，数列为递减数列．
9．【答案】B
【解析】由题可得：，，，，，依次类推可得：，所以为首项为1，公比为2的等比数列，
故.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前项和的求和公式，考查学生归纳总结和计算能力，属于基础题.求解时，依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第行各个数之和的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出.
10．【答案】C
【解析】设等比数列的公比，，，，则，当且仅当，即时取等号，的最小值为，故选C．
【名师点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正；二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.解本题时，利用等比数列的前项和公式求出，由数列的单调性可得，根据基本不等式的性质求解即可.
11．【答案】2或−3
【解析】因为等比数列满足，所以，即.
【名师点睛】本题主要考查了等比数列的前项和以及通项公式.能够熟练地应用等比数列的前项和以及通项公式是解决本题的关键.本题属于基础题.
12．【答案】
【解析】将代入数列的通项公式，可以得到数列的首项为2，将代入数列的通项公式可以得数列的第2项为4，所以数列的公比，所以，所以，所以数列的通项公式为，所以.
【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题.解本题时，根据数列是等比数列，将、分别代入，可以得到数列的公比，从而求得通项公式.
13．【答案】150
【解析】根据数列{}是等比数列，Sn为前n项和，且S10＝10≠0可得数列S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，
因此有（S20﹣S10）2＝S10（S30﹣S20），即（S20﹣10）2＝10（70﹣S20），
故S20＝﹣20或S20＝30，又，S20＞0，因此S20＝30，S20﹣S10＝20，S30﹣S20＝40，
故S40﹣S30＝80，S40＝150．
故答案为：150．
【名师点睛】本题考查了等比数列前项和公式的性质，属于基础题．根据数列{}是等比数列，Sn为前n项和，且S10＝10≠0可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30也成等比数列，即可得到结果．
14．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）当时，，计算得出，
当时，根据题意得，，
所以，即.
，即，
数列是首项为−2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，
，
，
，
则.
【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项.
15．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，依题意，有，
解得.
所以.
（2）
.
记数列的前n项的和为，则
，
.
两式相减，得
.
故.
【名师点睛】本题主要考查了数列通项的求法以及数列前项和的求法.数列通项的求法常用的方法有：公式法、累加、累乘等.求数列前项和的常用的方法有：错位相减、裂项相消、分组求和等.
（1）把和换成和的关系即可.
（2）首先利用裂项把计算出来，再根据错位相减即可得出的前项和.
直通高考
1．【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
2．【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.
3．【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.
【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
4．【答案】32
【解析】当时，显然不符合题意；
当时，，解得，则．
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
5．【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，即.
解得，
所以．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．
6．【解析】（1）由条件可得an+1=．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得，即bn+1=2bn，
又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列bn的通项公式，借助于bn的通项公式求得数列an的通项公式，从而求得最后的结果.
7．【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
8．【解析】（1）设的公比为q，由题设得
，即．
解得（舍去）或q=4．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，
因此数列的前n项和为．
【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.