高中数学高考考点41 等比数列及其前n项和-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点41等比数列及其前n项和【命题解读】   等比数列是高考中必考重要知识点之一，每年的高考题都要涉及到这一知识点，应理解等比数列的概念，并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，解决相应问题，在近年的考试中，等比数列的定义、判定、通项公式和前n项和公式的探求以及应用都是考查的重点。【命题预测】预计2021年的高考等比数列主要考查等比数列的定义，通项公式，前n项和公式的应用，在出题方面灵活多变，难度以中高难度为主。【复习建议】  1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，前n项和公式等；2.会运用等比数列的有关公式和性质求解题目。考向一　等比数列的概念及有关公式1.等比数列的概念一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公差通常用字母q(q≠0)表示。=q(n≥2,n∈N*q≠0且q为常数）。2.等比中项由三个数a，G，b组成的等比数列，G叫做数列的等比中项。= 3. 等比数列的通项公式首项为a1，公比为q的等差数列{an}，通项公式为an=a1qn-1 .4. 等比数列的前n项和公式Sn==1. 【2019广西大学附属中学月考】已知各项均不为0的等差数列，满足，数列为等比数列，且，则（    ）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】A【解析】各项均不为0的等差数列，故选：2. 【2018江西省信丰中学月考】已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于    .【答案】【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.考向二  等比数列性质及有关计算已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.（1）若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有aman=apaq=ak2. （2）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列. 1. 【2020云南师大附中月考】在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，解得或（舍去），由，即，得，所以，当且仅当时，等号成立，故选：A．2. 【2020霍邱县第二中学开学考试】已知数列是等比数列，若，则（    ）A．5 B．10 C．25 D．30【答案】C【解析】因为，所以，故选：C3. 【2020石林彝族自治县民族中学月考】一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）A．63 B．108 C．75 D．83【答案】A【解析】因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A. 题组一（真题在线）1. 【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16  B．8 C．4  D．22. 【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．3. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．4. 【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（II）求{an}和{bn}的通项公式.5. 【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．题组二1. 【2019广东湛江期末】已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（    ）A． B． C． D．2. 【2020河北月考】我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（    ）．A．9 B．10 C．11 D．123. 【2020四川省珙县中学月考】在等比数列中，，则（  ）A． B． C． D．4. 【2020石嘴山市第三中学月考】正项等比数列满足，则（    ）A．-4 B．4 C． D．85. 【2020全国月考】等比数列的前n项和为，若，，，则（    ）A． B． C． D．6. 【2020东海县第二中学月考】已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（    ）A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 7. 【2020山东潍坊期末】已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（    ）A．a9•a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b108. 【2020浙江月考】已知数列满足，，则________.9. 【2020四川省绵阳江油中学期中】若是函数的两个不同的零点，且这三个数成等差数列，成等比数列，则的值等于________.10. 【2020浙江月考】已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）证明：，设的前项的和为，求证：.题组一1.C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．2. 【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．3. 见解析【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.所以 解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得 所以.4. 见解析【解析】（1）由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，，．所以，．5. 见解析【解析】（1）设的公比为．由题设得，．解得（舍去），．由题设得．所以的通项公式为．（2）由题设及（1）知，且当时，．所以．题组二1.A【解析】正项等比数列中，，所以.因为，所以.因为，当且仅当，即时取等号，因为、，所以，，所以的最小值为5.故选：A.2.C【解析】记第天后剩余木棍的长度为，则是首项为，公比为的等比数列，所以，，是关于的增函数，而，，所以使得不等式成立的正整数的最小值为11．故选：C．3.B【解析】等比数列的性质可知,故选.4. B【解析】，又正项等比数列，故.故选：.5.D【解析】由于在等比数列中，由可得：，又因为，所以有：是方程的二实根，又，所以，故解得：，从而公比那么，故选：D．6.AC【解析】等比数列中，满足，，所以，所以，所以数列是等比数列，故A正确；又，所以数列是递减数列，故B不正确；因为，所以是等差数列，故C正确；数列中，，，，，，不成等比数列，故D不正确；故选：AC.7.AD【解析】 数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，则，，∴a9•a100，故A正确；∵a1正负不确定，故B错误；∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；由a9＞b9且a10＞b10，则a1（）8＞12+8d，a1（）9＞12+9d，由于异号，因此或 故 或，且b1＝12可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有a9＞b9＞b10，故D正确．故选：AD8. 【解析】因为，所以，即，则，，，，将上述算式相加可得，因为，所以，，故答案为：.9.  9【解析】由题意，实数是函数的两个不同的零点，可得，因为这三个数成等差数列，成等比数列，所以，解得，所以，所以.故答案为：.10. 见解析【解析】（1）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以.所以.（2），在成立，又有，.