最高考文数考点一遍过（讲义） 考点04 函数及其表示

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点04 函数及其表示，共25页。学案主要包含了函数的概念，函数的三要素，分段函数等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题04 函数及其表示
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
2．必记结论
(1)相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝csx的定义域均为R.
(6)y＝lgax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a0，b>0)求最值．
若“和定”，则“积最大”，即已知a＋b＝s，则，ab有最大值，当a＝b时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab＝t，则，a＋b有最小值，当a＝b时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．
9．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
10．有界性法：
充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.
11．导数法：
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
典例3 求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）[0，8]；（2）；（3）.
【解析】（1），
∵≤x≤1，∴≤x−2≤，∴1≤(x−2)2≤9，则0≤(x−2)2≤8．
故函数的值域为[0，8]．
（2）f(x)的定义域为，
令，得，
故.
（3）.当且仅当x＝2时“＝”成立.
故的值域为.
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如:，，已知函数，则函数的值域为
A．B．
C．D．
考向三 求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
典例4 已知，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】方法一（配凑法）：，又，
所以.
方法二（换元法）：令，则，所以，所以.
【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为，如果忽略了这一点，在求时就会出错.
4．若一次函数满足，则______．
考向四 分段函数
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
5．求奇偶性、周期性：
利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.
典例5 已知，则＋等于
A．－2 B．4
C．2 D．－4
【答案】B
【解析】∵＝eq \f(8,3)，＝＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(4,3)，∴＋＝4.故选B．
【名师点睛】分段函数的应用：
设分段函数.
(1)已知x0，求f(x0)：
①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2；
②代入相应解析式求解．
(2)已知f(x0)＝a，求x0：
①当x0∈I1时，由f1(x0)＝a，求x0；
②验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去；
③当x0∈I2时，由f2(x0)＝a，求x0，判断是否属于I2，方法同上；
④写出结论．
(3)解不等式f(x)＞a：
或.
5．已知函数，若，则实数的值为
A．B．或
C．D．或
典例6 已知函数，若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数在上为减函数，函数的图象开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.
所以函数在上为减函数.由得，解得.故选A．
【思路点拨】判断分段函数两段的单调性，当时，为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图象开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数.时，两段函数值相等.进而得函数在上为减函数.根据单调性将不等式变为，从而解得即可
【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；
（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.
6．已知函数，则不等式的解集是________.
1．已知集合，，则
A．B．
C．D．
2．设函数，若，则
A．1B．
C．3D．1或
3．函数，那么的值为
A．B．
C．D．
4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是
A．[0,1]B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)
5．设下列函数的定义域为，则值域为的函数是
A．B．
C．D．
6．已知函数满足，则
A． B．
C． D．
7．设函数则下列结论中正确的是
A．对任意实数，函数的最小值为
B．对任意实数，函数的最小值都不是
C．当且仅当时，函数的最小值为
D．当且仅当时，函数的最小值为
8．函数的定义域为__________．
9．已知函数,，则__________．
10．设函数则使得成立的的取值范围是__________．
1．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x