新高考数学一轮复习微专题专练34空间几何体的结构特征、表面积和体积（含详解）

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一、选择题
1．[2021·新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为 eq \r(2) ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2 B．2 eq \r(2)
C．4 D．4 eq \r(2)
2．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为( )
A．正六边形 B．五边形
C．长方形 D．三角形
3．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．[2023·全国乙卷(理)]已知圆锥PO的底面半径为 eq \r(3) ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝ eq \f(2π,3) ，若△PAB的面积等于 eq \f(9\r(3),4) ，则该圆锥的体积为( )
A．π B． eq \r(6) π
C．3π D．3 eq \r(6) π
5．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所以棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
6．[2022·全国甲卷(文)，10]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若 eq \f(S甲,S乙) ＝2，则 eq \f(V甲,V乙) ＝( )
A． eq \r(5) B．2 eq \r(2)
C． eq \r(10) D． eq \f(5\r(10),4)
7．[2023·河北省六校联考]已知A，B是球O的表面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．124π B．144π
C．156π D．196π
8.
[2023·云贵川桂四省联考]如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为( )
A．( eq \r(15) ＋4)π B．(2 eq \r(15) ＋4)π
C．(3 eq \r(15) ＋4)π D．(4 eq \r(15) ＋4)π
9．[2022·新高考Ⅰ卷，4]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为( eq \r(7) ≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
二、填空题
10．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
11．[2023·新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
12．[2023·全国甲卷(理)]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．
[能力提升]
13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P­AC­O为45°，则( )
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4 eq \r(3) π
C．AC＝2 eq \r(2)
D．△PAC的面积为 eq \r(3)
14．(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则( )
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值
C.当λ＝ eq \f(1,2) 时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝ eq \f(1,2) 时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
15．[2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝ eq \r(2) ，则该棱台的体积为________．
16．[2023·山东潍坊阶段性监测]在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是DCC1D1所在平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则 eq \f(PD,PC) ＝________，三棱锥P－BCD的体积最大值是________．
专练34 空间几何体的结构特征、表面积和体积
1．B 设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π× eq \r(2) ，解得l＝2 eq \r(2) .
故选B.
2．C 由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方形、梯形、三角形．而当截面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截面的面积最大，故选C.
3.
A 如图，易知V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1－A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以S△A1MN＝2×2－ eq \f(1,2) ×1×1－ eq \f(1,2) ×1×2－ eq \f(1,2) ×1×2＝ eq \f(3,2) ，所以V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN＝ eq \f(1,3) ×S△A1MN×D1A1＝ eq \f(1,3) × eq \f(3,2) ×2＝1.
4．B 在△AOB中，AO＝BO＝ eq \r(3) ，∠AOB＝ eq \f(2π,3) ，由余弦定理得AB＝ eq \r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×（－\f(1,2)）) ＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝ eq \f(1,2) ×3h＝ eq \f(9\r(3),4) ，解得h＝ eq \f(3\r(3),2) ，由勾股定理得母线PA＝ eq \r(（\f(3,2)）2＋（\f(3\r(3),2)）2) ＝3，则该圆锥的高PO＝ eq \r(PA2－OA2) ＝ eq \r(6) ，所以该圆锥的体积为 eq \f(1,3) ×3π× eq \r(6) ＝ eq \r(6) π，故选B.
5．ABD 由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 eq \r(2) m的正四面体，且 eq \r(2) >1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 eq \r(3) m， eq \r(3)