2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练34空间几何体的结构特征表面积和体积

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练34空间几何体的结构特征表面积和体积，共6页。
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 eq \r(3)，则圆锥的体积为( )
A．2 eq \r(3)π B．3 eq \r(3)π
C．6 eq \r(3)π D．9 eq \r(3)π
答案：B
解析：设圆柱、圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 eq \r(r2＋（\r(3)）2)＝ eq \r(r2＋3).又圆柱与圆锥的侧面积相等，所以2πr· eq \r(3)＝πr eq \r(r2＋3)，解得r＝3，所以圆锥的体积V＝ eq \f(1,3)π×32× eq \r(3)＝3 eq \r(3)π，故选B.
2．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为( )
A．正六边形 B．五边形
C．长方形 D．三角形
答案：C
解析：由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方形、梯形、三角形．而当截面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截面的面积最大，故选C.
3．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：如图，
易知V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1－A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以S△A1MN＝2×2－ eq \f(1,2)×1×1－ eq \f(1,2)×1×2－ eq \f(1,2)×1×2＝ eq \f(3,2)，所以V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN＝ eq \f(1,3)×S△A1MN×D1A1＝ eq \f(1,3)× eq \f(3,2)×2＝1.
4．已知圆锥PO的底面半径为 eq \r(3)，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝ eq \f(2π,3)，若△PAB的面积等于 eq \f(9\r(3),4)，则该圆锥的体积为( )
A．π B． eq \r(6)π
C．3π D．3 eq \r(6)π
答案：B
解析：在△AOB中，AO＝BO＝ eq \r(3)，∠AOB＝ eq \f(2π,3)，由余弦定理得AB＝ eq \r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×（－\f(1,2)）)＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝ eq \f(1,2)×3h＝ eq \f(9\r(3),4)，解得h＝ eq \f(3\r(3),2)，由勾股定理得母线PA＝ eq \r(（\f(3,2)）2＋（\f(3\r(3),2)）2)＝3，则该圆锥的高PO＝ eq \r(PA2－OA2)＝ eq \r(6)，所以该圆锥的体积为 eq \f(1,3)×3π× eq \r(6)＝ eq \r(6)π，故选B.
5．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
答案：ABD
解析：由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 eq \r(2) m的正四面体，且 eq \r(2)>1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 eq \r(3) m， eq \r(3)