浙江省杭州市萧山区萧山区新街初级中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份浙江省杭州市萧山区萧山区新街初级中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 二次函数的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：C．
2. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯10秒．当人或车随意经过路口时，遇到红灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：根据题意可得：
遇到红灯的概率，
故选：A．
3. 一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度（如图）．则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高由勾股定理求出的长，即可由垂径定理求得的长．
【详解】解：由题意得： ，，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
∵，
∴，
故选：C．
4. 如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．
根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴设， ，
∴．
故选：B．
5. 函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A. B. 或C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
6. 晚自习时，小敏和小聪在讨论一道题目：“已知点O为△ABC外心，∠BOC＝126°，求∠A．”，小敏的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连结OB，OC，如图．由∠BOC＝2∠A＝126°，得∠A＝63°．而小聪说：“小敏考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A. 小敏求的结果不对，∠A应得54°
B. 小聪说的不对，∠4就得63°
C. 小聪说的对，且∠A的另一个值是117°
D. 两人都不对，∠A应有3个不同值
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值与∠A互补，
故＝180°﹣63°＝117°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．
7. 如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（ ）
A. 3B. 4或3C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质．掌握同弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理是解题关键．
设，则，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】设，则
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，即，
∴
解得，
∴的长为4或3．
故选：B．
8. 如图，在矩形中，，，点分别在和上，，为上一点，且满足．连接、，若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，通过相似找出其他线段与的关系是解题的关键．设长为，借助于相似表示出的长，进一步表示出和的长，最后再利用便可解决问题．
【详解】解：设的长为，
，
，
，
又，，
．
，
，，则，
又，
是等腰直角三角形，则，，
．
又，
．
是等腰直角三角形，则，
即，
解得，即的长为3．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
9. 已知扇形面积为，半径为6，则扇形的弧长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【详解】解：设扇形的弧长为，由扇形面积公式可得，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
10. 已知二次函数，则其顶点关于轴对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，再求出顶点关于轴对称的点的坐标即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点是，
则顶点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：
11. 有两道门，各配有2把钥匙，这4把钥匙分别放在两个抽屉里，使每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，若从每个抽屉里任取1把钥匙，则能打开两道门的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】设第一个门的钥匙为、，第二个门的钥匙为、，每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，则设一个抽屉里放、，另一个抽屉里放、，结合题意，做树状图并统计能打开门的结果数量，经计算即可得到答案．
【详解】设第一个门的钥匙为、，第二个门的钥匙为、
每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，则设一个抽屉里放、，另一个抽屉里放、
画树状图为：
共有4种可能的结果数，其中从每个抽屉里任取1把钥匙，能打开两道门的组合为+、+，占4种组合中的2种；
∴从每个抽屉里任取1把钥匙，能打开两道门的概率
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图求概率的方法，从而完成求解．
12. 已知线段，点是它的黄金分割点，．求______，______．（保留根号）
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点的定义“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比”，熟练掌握黄金分割点的定义是解题关键．根据黄金分割点的定义可求出，再根据线段和差即可得的长．
【详解】解：∵线段，点是它的黄金分割点，，
，
解得，
，
故答案为：，．
13. 已知关于的二次函数，当函数的图象经过点，，若，则的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象性质，解题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
先求对称轴，确定与关于对称轴对称，分两种情况：①当N在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，②当N在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，可得结论．
详解】解：∵
∴二次函数的对称轴为直线，
∴与关于对称轴对称，
当N在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
当N在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
综上，若，则的取值范围是或．
故答案为：或．
14. 如图，在矩形中，，，为矩形内一动点，且．
（）当为等边三角形时，______．
（）的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（）如图，在的垂直平分线上取点，使得，以点为圆心，为半径画圆，在圆上任取一点，均有，当为等边三角形时，圆与垂直平分线上在矩形内的交点即为点，过点作于，解直角三角形求出，即可求解；
（）连接，与圆交于点，此时，的值最小，过点作于，解直角三角形求出，，进而求出，利用勾股定理求出，即可求出；
本题考查了圆周角定理，矩形的性质，等边三角形的性质，三角函数，勾股定理，根据题意，准确找到点的位置是解题的关键．
【详解】解：（）如图，在的垂直平分线上取点，使得，以点为圆心，为半径画圆，在圆上任取一点，均有，当为等边三角形时，圆与垂直平分线上在矩形内的交点即为点，过点作于，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）连接，与圆交于点，此时，的值最小，过点作于，则，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题8大题，共66分）
15. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的直角坐标系中：
（1）画出绕点顺时针旋转后得到的．
（2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度．
【答案】（1）作图见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了作旋转后的图形，勾股定理，计算弧长，掌握旋转的性质和弧长公式是解题的关键．
（）根据旋转的性质作图即可；
（）利用弧长公式计算即可求解；
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：由勾股定理可得，，
∴弧的长度．
16. （1）下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？
我班体育委员跑步成绩为秒．（______事件）
个等腰三角形一定相似．（______事件）
（2）在一个盒子中放有三个分别写有数字、、的小球，大小和质地完全相同．小明从口袋里随机取出一个小球，记为数字，将球放回后小明再从个小球中随机取出一个小球，记为数字，求的值为的倍数的概率（要求列举法或画树状图说明）
【答案】（）不可能事件；随机事件；（）
【解析】
【分析】（）根据事件发生的可能性大小判断即可；
根据事件发生的可能性大小判断即可；
（）先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可；
本题主要考查了事件发生的可能性大小和树状图或列表格求概率，根据题意正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念和画出树状图或列出表格是解题的关键．
【详解】（）解：我班体育委员跑步成绩为秒，是不可能事件；
个等腰三角形一定相似，是随机事件；
故答案为：不可能；随机；
（2）画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中的值为的倍数的结果有种，
∴的值为的倍数的概率的概率为．
17. 如图所示，已知，．求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
过点E，作，交于，证明，因为，得，因为，得，再证明，由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：过点E，作，交于
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
18. 如图，的直径为，弦为的平分线交于点D．
（1）求的度数；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理及扇形的面积，（2）中结合已知条件求得是解题的关键．
（1）根据角平分线及圆周角定理即可求得答案；
（2）连接，根据圆周角定理求得度数，再利用扇形面积公式及三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
即阴影部分的面积为．
19. 新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
（1）如图，，是的等垂弦，，，垂足分别为，求证：四边形是方形；
（2）如图，是的弦，作，，分别交于，两点，连接求证：，是的等垂弦．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；
（2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可得结论．
【小问1详解】
证明：∵，是的等垂弦，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，是的等垂弦，
∴，
∵，，
∴，
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
证明：设交于点，连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴、是的等垂弦．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角的性质，圆心角、弦的关系，正方形的判定，新定义等垂弦，熟练掌握垂径定理的定义是解题关键．
20. 如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若．求和的长．
【答案】（1）见详解 （2）FB=
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质得出AD=BC，可证∠ABD=∠CGB，再证△BFE∽△GFB即可；
（2）根据点E为AB中点，求出AE=BE=3，利用勾股定理求得BD=，CE=，然后证明△CDF∽△BEF，得出DF=2BF，CF=2EF，求出BF=,EF=即可．
【小问1详解】
证明：正方形内接于，
∴AD=BC，
∴，
∴∠ABD=∠CGB，
又∵∠EFB=∠BFG，
∴△BFE∽△GFB，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵点E为AB中点，
∴AE=BE=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，
∵，
∴△CDF∽△EBF，
∴，
∴DF=2BF，CF=2EF，
∴3BF=BD=，3EF=，
∴BF=，EF=，
由（1）得FG=．
【点睛】本题考查圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质解题关键．
21. 已知关于的二次函数与一次函数，令．
（1）若的图象交于轴上的同一点．①求的值；②当为何值时，的值最大，试求出该最大值．
（2）当，时，有最小值为，求的值．
（3）当时，时，试比较的大小．
【答案】（1）①；②当时有最大值，
（2）
（3）当时，；当时，；当时，
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质和分类讨论是解题的关键．
（1）①先求出与轴的交点为，把点的坐标代入二次函数解析式即可解得．②由得到，则，根据二次函数的图象和性质得到答案；
（2）根据二次函数的性质得到在的范围内，随的增大而减小，则当时有最小值，即，即可解得；
（3）根据二次函数解析式和性质得到对称轴为直线．与y轴交点的横坐标为则在范围内，随着的增大而减小，分三种情况进行分析即可得到答案．
【小问1详解】
①当时，则，
∴与轴的交点为，
把代入得，
解得．
②∵，
∴，
∵，
∴当时有最大值，．
【小问2详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∴在的范围内，随的增大而减小，
∴当时有最小值，
即，
解得．
【小问3详解】
∵的对称轴为直线，，
∴对称轴为直线．当时，
∴在范围内，随着的增大而减小，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，则．
22. 如图1：在中，，为边上一点（不与点重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）写出线段之间满足的等量关系．
（2）如图2，在中，，为外一点，且，线段之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知是的直径，点是上的点，且，，，求弦的长．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到条件证明，则，，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案；
（2）将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，同（1）的方法得，，则，求出，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案；
（3）过点作交的延长线于，证明，根据勾股定理得，连接，证明，得到，则，证明，得到，则，根据勾股定理得到，即可得到答案．
小问1详解】
解：由旋转知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，，
在中，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图2．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，
同（1）的方法得，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得，，
即：；
【小问3详解】
解：如图3，过点作交的延长线于，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得，，
连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线和正确推理是解题的关键．