2019年云南省高考数学一模试卷（理科）（含解析）

2019年云南省高考数学一模试卷（理科）

1. 已知集合 ，，，则 的真子集共有

 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个

2. 已知 为虚数单位，则  

 A．  B．  C．  D．

3. 设向量 ，，若 ，则  

 A．  B．  C．  D．

4. 在 的二项展开式中， 的系数等于

 A．  B．  C．  D．

5. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值等于

 A．  B．  C．  D．

6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 （单位 ），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为

 A．  B．  C．  D．

7. 为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象

 A．向左平行移动 个单位 B．向右平行移动 个单位

 C．向左平行移动 个单位 D．向右平行移动 个单位

8. 已知 ， 都为锐角，若 ，，则 的值是

 A．  B．  C．  D．

9. 已知 是抛物线 上的任意一点，以 为圆心的圆与直线 相切且经过点 ，设斜率为 的直线与抛物线 交于 ， 两点，则线段 的中点的纵坐标为

 A．  B．  C．  D．

10. 在 中，内角 ，， 对的边分别为 ，，，， 平分 交 于点 ，，则 的面积的最小值为

 A．  B．  C．  D．

11. 双曲线 的焦点是 ，，若双曲线 上存在点 ，使 是有一个内角为 的等腰三角形，则 的离心率是

 A．  B．  C．  D．

12. 已知 是自然对数的底数，不等于 的两正数 ， 满足 ，若 ，则 的最小值为

 A．  B．  C．  D．

13. 若 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值等于    ．

14. 已知随机变量 服从正态分布 ，则     ．

15. 已知函数 ，若 ，则     ．

16. 已知 ，，，， 是球 的球面上的五个点，四边形 为梯形，，，，，，则球 的表面积为    ．

17. 数列 中，，．

(1)  求 ， 的值；

(2)  已知数列 的通项公式是 ，， 中的一个，设数列 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，若 ，求 的取值范围．

18. 为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了 ， 两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在 的为优质品．现从该厂生产的 ， 两种型号的节排器中，分别随机抽取 件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组：，，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图．

附：，其中 ．

(1)  设 件 型产品性能质量评分的中位数为 ，直接写出 所在的分组区间；

(2)  请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；

(3)  根据（）中的列联表，能否有 的把握认为 ， 两种不同型号的节排器性能质量有差异？

19. 在四棱锥 中，四边形 为菱形，且 ，， 分别为棱 ， 的中点．

(1)  求证：；

(2)  若 ，，求平面 与平面 所成二面角的正弦值．

20. 已知椭圆 的中心在原点，左焦点 、右焦点 都在 轴上，点 是椭圆 上的动点， 的面积的最大值为 ，在 轴上方使 成立的点 只有一个．

(1)  求椭圆 的方程；

(2)  过点 的两直线 ， 分别与椭圆 交于点 ， 和点 ，，且 ，比较 与 的大小．

21. 已知 为自然对数的底数，函数 与 的定义域都是 ．

(1)  求函数 在点 处的切线方程；

(2)  求证：函数 只有一个零点 ，且 ；

(3)  用 表示 ， 的最小值，设 ，，若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围．

22. 已知常数 是实数，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．

(1)  写出 的普通方程与 的直角坐标方程；

(2)  设曲线 与 相交于 ， 两点，求 的最小值．

23. 已知函数 ．

(1)  当 时，解关于 的不等式 ；

(2)  当 时，若对任意实数 ， 都成立，求实数 的取值范围．

答案

1.  【答案】B

【解析】因为 ，；

所以 ；

所以 的真子集为：，共 个．

【知识点】包含关系、子集与真子集

2.  【答案】C

【解析】

【知识点】复数的乘除运算

3.  【答案】C

【解析】因为 ，所以 ，所以 ．

【知识点】平面向量数乘的坐标运算

4.  【答案】D

【解析】 的二项展开式的通项公式为 ，

令 ，求得 ，可得 的系数为 ．

【知识点】二项式定理的通项

5.  【答案】C

【解析】模拟执行程序框图，可得：

第 次运行，，；

第 次运行，，；

第 次运行，，；

第 次运行，，．

刚好满足条件 ，则退出循环，输出 的值为 ．

【知识点】程序框图

6.  【答案】A

【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左右两边均为圆柱，上部圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，下部是底面边长为 ，高为 的长方体．

所以该零件的体积 ．

【知识点】棱柱的表面积与体积、圆柱的表面积与体积

7.  【答案】D

【解析】函数 ，转换为 的图象．

将 的图象转换为 ，该图象向右平移 个单位，即可得到 的图象．

【知识点】三角函数的图象变换

8.  【答案】B

【解析】由 为锐角，且 ，

联立 可得 ，．

再由 ， 都为锐角，可得 ，

又 ，得 ，则 ．

所以 ．

【知识点】二倍角公式

9.  【答案】A

【解析】设 ，

因为以 为圆心的圆与直线 相切且经过点 ，

所以 ，

又 ．

所以 ．

即可得抛物线方程为 ．

由 ．

 ，

所以线段 的中点的纵坐标为 ．

【知识点】圆的切线、抛物线的简单几何性质

10.  【答案】B

【解析】设 ，则 ，．

因为 ， 平分 交 于点 ，，

所以 ．

在三角形 中，，

由正弦定理可得 ，

所以 ，

在三角形 中，，

由正弦定理可得 ，所以 ．

所以 面积

因为 ，所以 ，所以 ．

所以当 时，即 时，

  面积 最小，最小值为 ．

【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理、余弦定理

11.  【答案】C

【解析】设双曲线的焦点在 轴上，且 为左支上一点，

 ，且 ，

可得 ，

则 ，即为 ，

可得 ．

【知识点】双曲线的简单几何性质

12.  【答案】D

【解析】 ，可得 ，

解得 或 ，

因为 ，

所以 ，

所以 ，即 ，

所以 ，

令 ，，

所以 ，

当 时，，函数 单调递减，

当 时，，函数 单调递增，

所以 ，

故 的最小值为 ．

【知识点】函数的最大（小）值

13.  【答案】

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

由 得 ，

平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，

直线 的截距最大，此时 最大，

由 解得 ，此时 ．

【知识点】线性规划

14.  【答案】

【解析】因为随机变量 服从正态分布 ，所以 ，

则 ．

【知识点】正态分布、离散型随机变量的数字特征

15.  【答案】

【解析】因为函数 ，，

所以当 时，，无解；

当 时，，解得 ，

所以 ．

【知识点】分段函数

16.  【答案】

【解析】如图．

因为 ，

所以 为 ．

因为 ，取 中点 ，在平面 内，过 作 的垂线，

则四棱锥 的外接球的球心在该垂线上．

又 ，，求得 ．

过 作 的垂线，两垂线相交于 ，

则 为 外接圆的圆心，也是四棱锥 的外接球的球心．

则 外接圆的半径即为四棱锥 的外接球的半径，设为 ．

由 ，得 ．

所以球 的表面积为 ．

【知识点】球的表面积与体积、正弦定理

17.  【答案】

(1)  数列 中，，，

则：，．

(2)  由数列 的通项公式是 ，， 中的一个和 ，

得到数列 的通项公式为：，

所以：，

则：，

所以：，

由于 ，，

所以：，

即：，

由：，

整理得：，

解得： 或 ，

故 的取值范围是： 且为正整数．

【知识点】裂项相消法、数列的递推公式

18.  【答案】

(1)    所在的分组区间为 ．

(2)  列联表如下：

(3)  由于 ，

故有 的把握认为 ， 两种不同型号的节排器性能质量有差异．

【知识点】频率分布直方图、独立性检验

19.  【答案】

(1)  设 的中点为 ，连接 ，，

因为 ， 分别为 ， 的中点，

所以 ，且 ，

由已知得 ，且 ，

所以 ，且 ．

所以四边形 是平行四边形，

所以 ．

因为 ，，

所以 ．

(2)  连接 ，，设 ，连接 ，，

设菱形 的边长为 ，

由题设得，，，，，

分别以 ，， 为 轴， 轴， 轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ，，，，，

所以 ，，

设 是平面 的一个法向量，则

令 ，得 ，

同理可求得平面 的一个法向量为 ，

所以 ，

则平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ．

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角

20.  【答案】

(1)  根据已知设椭圆的 的方程为 ，，

因为在 轴上方使 成立的点 只有一个，

所以在 轴上方使 成立的点 是椭圆 的短轴的端点．

当点 是短轴的端点时，由已知可得

解得 ，，所以椭圆 的方程为 ．

(2)   ．

若直线 的斜率为 或不存在时，，且 ，

或 ，且 ．

由 ，，

所以 ．

若 的斜率存在且不为 时，设 ，，

由 可得 ，

设 ，，则 ，，

所以 ，

同理可得 ，

所以 ，

所以 ．

综上所述 ．

【知识点】椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系

21.  【答案】

(1)  因为 ，

所以切线的斜率 ，

又 ，

所以函数 在点 处的切线方程为 ．

(2)  因为 ，，

所以 ，，

所以 ，则在 上存在 ，使得 成立，

因为 ，

所以当 时，，当 时，由 ，得 ，

所以 在 上是减函数，

所以若 ，，，则 ，

所以函数 只有一个零点 ，且 ．

(3)   ，

故 ，

因为函数 只有一个零点 ，

所以 ，即 ，

所以 ，

所以 在 上为增函数 在 ， 上恒成立，

当 时，，即 在 上恒成立，

设 ，只需 ，

 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，

  的最小值 ，则 ，

当 时，，

由上述得，，则 在 上恒成立，

综上所述，实数 的取值范围是 ．

【知识点】利用导数研究函数的图象与性质、利用导数求函数的切线方程、利用导数研究函数的最值

22.  【答案】

(1)  曲线 的参数方程为 （ 为参数），

转换为直角坐标法方程为 ．

曲线 的极坐标方程为 ．

转换为极坐标方程为 ．

转换为直角坐标方程为 ．

(2)  设 ，，

由于 得到 ，

所以 ，．

所以

当 时，，

所以 的最小值为 ．

【知识点】参数方程、极坐标与极坐标方程

23.  【答案】

(1)  当 时，，

由 ，得 ；由 ，得 ，

解得 ．

故 时，关于 的不等式的解集是 ．

(2)  ①当 时，，

 ，

故 在 递减，在 递增，

故 ，

由题设得 ，解得：；

②当 时，，

 ，

故 在 递减，在 递增，

故 ，

由题设得 ，解得：．

综上， 的范围是 ．

【知识点】恒成立问题、绝对值不等式的求解