浙江省宁波市江北区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. >C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2. 若，则下列不等式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式性质1对A选项、D选项进行判断；根据不等式的性质2对B选项进行判断；根据不等式的性质3对C选项进行判断．
【详解】解：A．因为，则，所以A选项不符合题意；
B．因为，则，所以B选项不符合题意；
C．因为，则，所以C选项符合题意；
D．因为，则，所以D选项不符合题意．
故选：C．
3. 已知一个三角形的两边长为1，3，则第三边可以是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：依题意，设第三边为，
则，
即，
∴可以是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
4. 平面直角坐标系中，点坐标是，则点关于轴对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中，关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此即可得到答案，熟练掌握关于轴对称点的坐标特点是解此题的关键．
【详解】解：点坐标是，则点关于轴对称点的坐标是，
故选：B．
5. 如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，根据是的平分线，得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边对等角求角度，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】解：如图，连接，，
根据题意得，，，
在和中，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7. 在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先看一个直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
【详解】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
8. 早上9点，甲车从地出发去地，20分钟后，乙车从地出发去地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（ ）
A. 两地相距240千米B. 乙车平均速度是90千米/小时
C. 乙车在12:00到达地D. 甲车与乙车在早上10点相遇
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和图像中的数据，可以计算出各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图像可知，
两地相距240千米，故A选项不符合题意；
乙车的平均速度为：（千米/小时），故B选项不符合题意；
乙车到达地的时刻为：，故C选项不符合题意；
设甲车出发小时后两车相遇，则，
，
解得：，
（分钟），
即甲车与乙车在早上10点48分相遇，故D选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
10. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
与的面积之差为
，
当的长度变化时，与的面积之差保持不变，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据待定系数法，可得函数解析式．
【详解】解：设函数解析式，将代入函数解析式，得
．
解得，
函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
12. 若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据是第二象限内一点得到，由平移规律和第四象限点特征得到，再解两个不等式组成的不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵是第二象限内一点，
∴，
由是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到，
∵运动到第四象限，
∴，
解不等式组可得，
故答案为：
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、平面直角坐标系、点的平移，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的特征是解题的关键．
13. 若等腰三角形的一个内角为，则底角为_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据等腰三角形与三角形的内角和定理即可分类讨论求解即可．
【详解】解：由题意知，分两种情况：
①当这个的角为底角时，则另一底角也为；
②当这个的角为顶角时，则底角．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查等腰三角形内角和定理，解题的关键是熟知三角形内角和定理与等腰三角形的性质．
14. 如图，有一张直角三角形的纸片，．现将三角形折叠，使得边与重合，折痕为．则长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：在中，
∴，
设，
依题意，，，，,
∴，
在中，
即，
解得：，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
15. 如图，，点D为平分线上一点，的垂直平分线交分别于点P，O，点E是上异于点P的一点，且，则的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，过作于，根据角平分线的定义得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则,根据三角形外角的性质可得, 可得即，然后根据直角三角形的性质可得,再根据勾股定理得到，,最后根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：连接、，过作于，
∵平分，
∴，
∵的垂直平分线交分别于点P，O
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，证明，得到，进而求出点C的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值即为点到点的距离的倍，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C坐标为，
∴，，
∴
，
∴的最小值可以看做在x轴上的一点到点和到点的距离之和的最小值的倍，
∴的最小值，
由对称性可知，当，同理可证的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，共52分）
17. 解不等式组：，并求出所有满足条件的整数之和．
【答案】，
【解析】
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出所有整数求和．
【详解】，
解①得：
解②得：
∴
∴x的整数解为，
和为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点位于第二象限，点位于第三象限，且a为整数．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）若点为x轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求m的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）根据点A位于第二象限，点B位于第三象限， 可得到，再根据a为整数，求解即可；
（2）根据题干可知，设垂足为D，利用勾股定理可求得CD，进而可求出m的值．
【详解】解：（1）由题意得，
解得，
∵为整数，
∴，
∴；
（2）由题意知，轴，假设点C(m，0)位置如图，交x轴于点D，
∴D(-4，0)，
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质及绝对值的性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．
19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）由题意知，当时，，根据题意：，如图，当时，与平行，可知当时，成立；当时，将代入中，得，解得，由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；进而可得的取值范围．
【小问1详解】
解：设，
过和得：
解得，
∴所求一次函数解析式为：；
【小问2详解】
由（1）得，当时，，
根据题意：，如图
当时，与平行，当时，成立；
当时，将代入中，得，解得，
由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；
综上所述，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质．运用数形结合的思想是解题的关键．
20. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，要求只用一把无刻度的直尺作图．
（1）在图1中作一个以为腰的等腰三角形，其顶点都在格点上．
（2）在图2中作所有以为一边的直角三角形，其顶点都在格点上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据格点特点作等腰三角形即可；
（2）分别以为直角边或以为斜边，作直角三角形即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的等腰三角形；（作出一种即可）
【小问2详解】
解：如图，、、、为所求作的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了在网格中作等腰三角形和直角三角形，解题的关键是注意网格中互相垂直的线段作法．
21. 已知和，AB=AD，，，AD与BC交与点P，点C在DE上．
（1）求证：BC=DE
（2）若，，
①求的度数
②求证：CP=CE
【答案】（1）见解析；（2）②70°；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC≌△ADE即可得到BC=DE；
（2）①先根据外角的性质求出∠BAP，进而求出∠CAE，然后根据等腰三角形的性质求解即可；
②根据“AAS”证明△ACP≌△ACE即可得到CP=CE；
【详解】解：（1）∵，
∴，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC=DE；
（2）①∵，，
∴∠BAD=70°-30°=40°，
∴∠CAE=∠BAD=40°．
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∴∠E=∠ACE=；
②∵，∠E=∠ACE =70°，
∴∠APC=∠E=∠ACE =70°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACP=∠E =70°，
∴∠APC=∠E=∠ACE =∠ACP =70°．
在△ACP和△ACE中
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22. 宁波市组织20辆卡车装运物资，，三种救灾物资共100吨到灾区安置点，按计划20辆车都要装运，每辆卡车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表格提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运物资的车辆数为，装运物资的车辆数为，求关于的函数表达式；
（2）若装运物资的车辆数不少于5，装运物资的车辆数不少于6，则车辆安排有哪几种方案？
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种方案进行运输？并求出最少运费．
【答案】（1）
（2）安排方案有3种：
方案一：装运物资的车5辆，装运物资的车10辆，装运物资的车5辆；
方案二：装运物资的车6辆，装运物资的车8辆，装运物资的车6辆；
方案三：装运物资的车7辆，装运物资的车6辆，装运物资的车7辆；
（3）方案三费用最少，即装运物资的车7辆，装运物资的车6辆，装运物资的车7辆；最少运费为12640元
【解析】
【分析】（1）装运生活用品的车辆数为，根据三种救灾物资共100吨列出关系式；
（2）根据题意求出的取值范围并取整数值从而确定方案；
（3）分别表示装运三种物质的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答；
【小问1详解】
根据题意得：
装运物资的车辆数为x，装运物资的车辆数为y，装运物资的车辆数为，则：
整理得：
∴关于的函数表达式为：
【小问2详解】
由（1）可知：装运物资、物资、物资的车辆数分别为：、、，
由题意得：，
解得：，
因为为整数，所以的值为5，6，7，
∴安排方案有3种：
方案一：装运物资的车5辆，装运物资的车10辆，装运物资 的车5辆；
方案二：装运物资的车6辆，装运物资的车8辆，装运物资的车6辆；
方案三：装运物资的车7辆，装运物资的车6辆，装运物资的车7辆；
【小问3详解】
设运费为元，
∵，
∴随着的增大而减小
∴当时，最小
∴方案三费用最少，即装运物资的车7辆，装运物资的车6辆，装运物资的车7辆；最少运费为12640元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，求出与的函数解析式．
23. 定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1在中，，则是“类勾股三角形”．
（1）等边三角形一定是“类勾股三角形”，是___________________命题（填真或假）．
（2）若中，，且，若是“类勾股三角形”，求的度数．
（3）如图2，在等边三角形的边上各取一点，，且相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且．
①求证：．
②连结，若，那么线段能否构成一个“类勾股三角形”？若能，请证明；若不能，请说明理由．
【答案】（1）真 （2）是“类勾股三角形”时，
（3）①见解析；②线段能构成一个“类勾股三角形”，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，“类勾股三角形”的定义判断；
（2）根据勾股定理得到，分三种情况，根据“类勾股三角形”的定义解答；
（3）①根据“类勾股三角形”的定义得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
②证明，得到，设，，分别用、表示出 、、，根据“类勾股三角形”的定义判断即可．
【小问1详解】
当为等边三角形时，
，
∴，
∴等边三角形一定是“类勾股三角形”
故答案为：真
【小问2详解】
∵，
∴，
当时，则（舍去），
当时，则，
，
∴，
∴，
∴，
∴
当时，则，
，
∴，
∴，
∴（舍去），
综上所述：是“类勾股三角形”时，
【小问3详解】
①∵是等边三角形，
∴，，
∵是的高，是“类勾股三角形”，
∴由（2）可得，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
②∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴线段能构成一个“类勾股三角形”．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，“类勾股三角形”的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
物资种类
物资
物资
物资
每辆卡车运载量（单位：吨）
6
5
4
每吨所需运费（单位：元）
120
160
100