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北师大版5 平方差公式练习
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这是一份北师大版5 平方差公式练习，共17页。
A．数形结合思想B．分类思想
C．公理化思想D．函数思想
2．（2022秋•辉县市校级期末）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
4．（2022秋•龙亭区校级期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（ ）
A．12B．60C．﹣60D．﹣12
5．（2022秋•江夏区期末）利用平方差公式计算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的结果是（ ）
A．4﹣9a2B．9a2﹣4C．9a2﹣2D．9a2+4
6．（2021秋•宁县期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
7．（2022秋•荔湾区期末）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）化简的结果为（ ）
A．21024﹣1B．21024+1C．22048﹣1D．22048+1
8．（2022•潍坊三模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ）
A．255054B．255064C．250554D．255024
9．（2022春•沈北新区期中）若（3b+a）（ ）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3bB．a+3bC．﹣3b+aD．3b﹣a
10．（2022春•龙胜县期中）计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的结果是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022•滨海县模拟）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002﹣7B．1002﹣72
C．1002+2×100×7+72D．1002﹣2×100×7+72
12．（2022秋•卧龙区期末）运用整式乘法公式计算：20202﹣2019×2021＝ ．
13．（2022秋•合肥期末）如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 （用a，b表示）；
（2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，则3a﹣b＝ 3 ；
②计算：．
14．（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
15．（2022春•南海区校级月考）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）利用上述过程所揭示的乘法公式计算：
a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）
16.（2021秋•舒兰市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2023×2021．
17．（2022秋•泌阳县校级期中）探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ． ．（用含a，b的等式表示）
应用
请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展
（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
18．（2022春•乳山市期末）【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；（直接写结果）
【问题解决】
（2）利用（1）中的结论，计算：．
（培优特训）专项1.3 平方差公式
1．（2022秋•定襄县期末）如图，阴影部分是在一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．分类思想
C．公理化思想D．函数思想
【答案】A
【解答】解：∵此题探究方法是通过对图形面积的不同求解方法验证了整式乘法的特殊方法“平方差公式”，
∴其中用到的数学思想是数形结合思想，
故选：A．
2．（2022秋•辉县市校级期末）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4b
＝（a+b）（a﹣b）﹣4b
＝2（a+b）﹣4b
＝2a+2b﹣4b
＝2（a﹣b）
＝2×2
＝4．
故选：A．
3．（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；
∴选项A符合题意；
∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，
∴选项B不符合题意；
∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，
∴选项C不符合题意；
∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
4．（2022秋•龙亭区校级期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（ ）
A．12B．60C．﹣60D．﹣12
【答案】B
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，
∴a2﹣b2＝10×6＝60，
故选：B．
5．（2022秋•江夏区期末）利用平方差公式计算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的结果是（ ）
A．4﹣9a2B．9a2﹣4C．9a2﹣2D．9a2+4
【答案】A
【解答】解：原式＝4﹣9a2，
故选：A．
6．（2021秋•宁县期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
【答案】C
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，
∴a+b＝﹣4，
故选：C．
7．（2022秋•荔湾区期末）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）化简的结果为（ ）
A．21024﹣1B．21024+1C．22048﹣1D．22048+1
【答案】C
【解答】解：设S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（21024﹣1）（21024+1）
＝22048﹣1．
故选：C．
8．（2022•潍坊三模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ）
A．255054B．255064C．250554D．255024
【答案】D
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2022，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：D．
9．（2022春•沈北新区期中）若（3b+a）（ ）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3bB．a+3bC．﹣3b+aD．3b﹣a
【答案】D
【解答】解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），
故选：D．
10．（2022春•龙胜县期中）计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
故选：B．
11．（2022•滨海县模拟）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002﹣7B．1002﹣72
C．1002+2×100×7+72D．1002﹣2×100×7+72
【答案】B
【解答】解：107×93
＝（100+7）×（100﹣7）
＝1002﹣72，
故选：B．
12．（2022秋•卧龙区期末）运用整式乘法公式计算：20202﹣2019×2021＝ ．
【答案】1
【解答】解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
故答案为：1．
13．（2022秋•合肥期末）如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 （用a，b表示）；
（2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，则3a﹣b＝ 3 ；
②计算：．
【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【解答】解：（1）∵图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，
图1中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，
9a2﹣b2＝（3a+b）（3a﹣b），
∴3a﹣b＝（9a2﹣b2）÷（3a+b）＝27÷9＝3，
故答案为：3；
②由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，
＝（1﹣）•（1+）•（1﹣）•（1+）•…•（1﹣）•（1+）
＝××××××…××
＝×
＝．
14．（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，
阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，
∵x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）＝＝＝．
15．（2022春•南海区校级月考）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）利用上述过程所揭示的乘法公式计算：
a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）
【解答】解：（1）图1中阴影部分面积为S1，可以看作两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，
图2中阴影部分面积为S2，是上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，因此S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
所以a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）
＝a4+（1﹣a2）（1+a2）
＝a4+（1﹣a4）
＝a4+1﹣a4
＝1．
16.（2021秋•舒兰市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2023×2021．
【解答】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是a2﹣b2；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）由（2）题结果（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
可得20222﹣2023×2021
＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1．
17．（2022秋•泌阳县校级期中）探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ． ．（用含a，b的等式表示）
应用
请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展
（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为：3．
（2）20222﹣2023×2021．
＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
18．（2022春•乳山市期末）【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；（直接写结果）
【问题解决】
（2）利用（1）中的结论，计算：．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
A．数形结合思想B．分类思想
C．公理化思想D．函数思想
2．（2022秋•辉县市校级期末）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
4．（2022秋•龙亭区校级期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（ ）
A．12B．60C．﹣60D．﹣12
5．（2022秋•江夏区期末）利用平方差公式计算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的结果是（ ）
A．4﹣9a2B．9a2﹣4C．9a2﹣2D．9a2+4
6．（2021秋•宁县期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
7．（2022秋•荔湾区期末）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）化简的结果为（ ）
A．21024﹣1B．21024+1C．22048﹣1D．22048+1
8．（2022•潍坊三模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ）
A．255054B．255064C．250554D．255024
9．（2022春•沈北新区期中）若（3b+a）（ ）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3bB．a+3bC．﹣3b+aD．3b﹣a
10．（2022春•龙胜县期中）计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的结果是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022•滨海县模拟）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002﹣7B．1002﹣72
C．1002+2×100×7+72D．1002﹣2×100×7+72
12．（2022秋•卧龙区期末）运用整式乘法公式计算：20202﹣2019×2021＝ ．
13．（2022秋•合肥期末）如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 （用a，b表示）；
（2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，则3a﹣b＝ 3 ；
②计算：．
14．（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
15．（2022春•南海区校级月考）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）利用上述过程所揭示的乘法公式计算：
a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）
16.（2021秋•舒兰市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2023×2021．
17．（2022秋•泌阳县校级期中）探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ． ．（用含a，b的等式表示）
应用
请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展
（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
18．（2022春•乳山市期末）【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；（直接写结果）
【问题解决】
（2）利用（1）中的结论，计算：．
（培优特训）专项1.3 平方差公式
1．（2022秋•定襄县期末）如图，阴影部分是在一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．分类思想
C．公理化思想D．函数思想
【答案】A
【解答】解：∵此题探究方法是通过对图形面积的不同求解方法验证了整式乘法的特殊方法“平方差公式”，
∴其中用到的数学思想是数形结合思想，
故选：A．
2．（2022秋•辉县市校级期末）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4b
＝（a+b）（a﹣b）﹣4b
＝2（a+b）﹣4b
＝2a+2b﹣4b
＝2（a﹣b）
＝2×2
＝4．
故选：A．
3．（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；
∴选项A符合题意；
∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，
∴选项B不符合题意；
∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，
∴选项C不符合题意；
∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
4．（2022秋•龙亭区校级期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（ ）
A．12B．60C．﹣60D．﹣12
【答案】B
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，
∴a2﹣b2＝10×6＝60，
故选：B．
5．（2022秋•江夏区期末）利用平方差公式计算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的结果是（ ）
A．4﹣9a2B．9a2﹣4C．9a2﹣2D．9a2+4
【答案】A
【解答】解：原式＝4﹣9a2，
故选：A．
6．（2021秋•宁县期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
【答案】C
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，
∴a+b＝﹣4，
故选：C．
7．（2022秋•荔湾区期末）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）化简的结果为（ ）
A．21024﹣1B．21024+1C．22048﹣1D．22048+1
【答案】C
【解答】解：设S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（21024﹣1）（21024+1）
＝22048﹣1．
故选：C．
8．（2022•潍坊三模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ）
A．255054B．255064C．250554D．255024
【答案】D
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2022，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：D．
9．（2022春•沈北新区期中）若（3b+a）（ ）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3bB．a+3bC．﹣3b+aD．3b﹣a
【答案】D
【解答】解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），
故选：D．
10．（2022春•龙胜县期中）计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
故选：B．
11．（2022•滨海县模拟）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002﹣7B．1002﹣72
C．1002+2×100×7+72D．1002﹣2×100×7+72
【答案】B
【解答】解：107×93
＝（100+7）×（100﹣7）
＝1002﹣72，
故选：B．
12．（2022秋•卧龙区期末）运用整式乘法公式计算：20202﹣2019×2021＝ ．
【答案】1
【解答】解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
故答案为：1．
13．（2022秋•合肥期末）如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 （用a，b表示）；
（2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，则3a﹣b＝ 3 ；
②计算：．
【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【解答】解：（1）∵图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，
图1中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，
9a2﹣b2＝（3a+b）（3a﹣b），
∴3a﹣b＝（9a2﹣b2）÷（3a+b）＝27÷9＝3，
故答案为：3；
②由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，
＝（1﹣）•（1+）•（1﹣）•（1+）•…•（1﹣）•（1+）
＝××××××…××
＝×
＝．
14．（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，
阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，
∵x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）＝＝＝．
15．（2022春•南海区校级月考）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）利用上述过程所揭示的乘法公式计算：
a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）
【解答】解：（1）图1中阴影部分面积为S1，可以看作两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，
图2中阴影部分面积为S2，是上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，因此S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
所以a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）
＝a4+（1﹣a2）（1+a2）
＝a4+（1﹣a4）
＝a4+1﹣a4
＝1．
16.（2021秋•舒兰市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2023×2021．
【解答】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是a2﹣b2；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）由（2）题结果（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
可得20222﹣2023×2021
＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1．
17．（2022秋•泌阳县校级期中）探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ． ．（用含a，b的等式表示）
应用
请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展
（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为：3．
（2）20222﹣2023×2021．
＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
18．（2022春•乳山市期末）【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；（直接写结果）
【问题解决】
（2）利用（1）中的结论，计算：．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
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