2023-2024学年苏科版九年级上学期数学期中模拟试卷（含答案解析）

这是一份2023-2024学年苏科版九年级上学期数学期中模拟试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了测试范围，方程的解是_________等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共27题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．测试范围：苏科版数学九年级上册第1-4章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x-2=0=0 B．x2-2x-3C．x2-4x+1=0D．xy+1=0
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）现有A，B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1，2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3，4，5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分握匀，从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之积大于6的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在数据4，5，6，5中去掉n(n＞0)个数据，若平均数没有发生变化，则n的值是（ ）
A．1或3B．2或3C．1或2或3D．1或2
5．（2023秋·江苏徐州·九年级徐州市科技中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程k x2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥-1且k≠0 B．k≥-1 C．k＞-1 D．k＞-1且k≠0
6．（2023秋·江苏南通·九年级校考开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最大值是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（10小题，每小题3分，共30分）
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）一个扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为_________．
8．（2023·江苏盐城·校考一模）方程的解是_________．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）老师在期中考试后，随机抽取5名学生的数学成绩（分）：，，，，，则这5名学生成绩的众数是__________分．
10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是_________．

11．（2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）中国陶瓷文化源远流长，图①是一个具有地方特色的碗．图②是从正面看到的碗（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知cm，碗深cm，则的半径为_________．

12．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，点A、B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为_________．

13．（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）当_________时，方程，有两个相等的实数根．
14．（2023秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，设栅栏长为米．若矩形围栏面积为平方米，要求栅栏的长，则可列出方程_________．

15．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是以为直径的半圆上的两点，连接，，，，则图中阴影部分的面积为_________．
16．（2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，已知⊙O的半径是6，点A，B在⊙O上，且，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是_________．
三、解答题（11小题，共72分）
17．（2023秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：
（1）（2）（3）
18．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，A，B，P是半径为10的上的三点，，求弦的长．

19．（2023·江苏泰州·校考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
20．（2023·江苏泰州·校考三模）李老师带领甲、乙、丙三名同学乘飞机去北京参加活动，若航班售票系统随机分配座位，且系统已将4人分配到同一排，如图所示是飞机内同一排座位A，B，C，D的排列示意图：
（1）利用树状图或表格，求甲乙两同学被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位B、C不算相邻）；
（2）为方便管理，若李老师首先选择过道左侧座位B，让甲、乙、丙三名同学随机选择座位，甲同学认为：座位不在过道左侧，就在过道右侧，所以他自己也在过道左侧的概率为．请判断甲同学的观点是否正确，并简述理由．
21．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）为了加快推进农村电子商务发展，A，B两村村民把如皋特产香堂芋在某电商平台进行销售（每盒香堂芋规格一致），该电商平台从A，B两村各抽取15户进行了抽样调查，搜集每户月均销售的香堂芋盒数（用x表示），并进行数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
信息1 村村民月均销售盒数在之间的数据有：，，，，
信息2 村村民月均销售盒数在之间的数据有：，，，
信息3 ，两村村民月均销售香堂芋盒数统计表
信息4 ，两村村民月均销售香堂芋盒数统计量汇总表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中，________，________，________；
（2）你认为，两村中哪个村的香堂芋卖得更好？请说明理由．
22．（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．
23．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，且，OC交AB于点P．

（1）求证；
（2）若，，则的半径长为______．
24．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
25．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）阅读下面解方程的途径．
（1）按照图1途径，填写图2的空格．

（2）已知关于x的方程的解是，（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）．
26．（2021秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形．求美角∠BAD的度数；
（2）在（1）的条件下，若⊙O的半径为4．
①求BD的长；
②连接CA，若CA平分∠BCD，如图2，请判断BC、CD、AC之间有怎样的数量关系，并说明理由。
27．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．
【特殊情形】
（1）如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：．
【一般情形】
（2）如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：．
【经验迁移】
（3）如图③，，， F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________．
窗
A
B
过道
C
D
窗
月均销售盒数
村
村
平均数
中位数
众数
村
村
参考答案
一、选择题（6小题，每小题3分，共18分）
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．是二次三项式，不是方程，故选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故选项符合题意；
D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，含未知数项的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．C
【分析】列表法得出所有情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中数字之积大于6的有2种结果，
所以数字之积大于6的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查列表法或树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．C
【分析】根据切线长定理可得，，，据此即可作答．
【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
4．C
【分析】先计算这四个数的平均数，再根据在数据4，5，6，5中去掉个数据，平均数没有发生变化，即可得到去掉的数据，从而可以得到的值．
【详解】解：根据题意得：
数据4，5，6，5的平均数为：，
在数据4，5，6，5中去掉个数据，平均数没有发生变化，
去掉的数可能是一个5或两个5或4和6或三个4、5、6，
或2或3，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平均数，解答本题的关键是明确去掉数据后平均数没有发生变换，去掉的数据一定和平均数一样或者去掉的几个数据的平均数和原来数据的平均数相同．
5．A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6．C
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为，B点的坐标为，，
即，，
由勾股定理得：，

过C作于M，连接，
则由三角形面积公式得：，
∴，
∴，
∴圆C上点到直线的最大距离是：，
∴面积的最大值是，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
二、填空题（10小题，每小题3分，共30分）
7．
【分析】根据扇形面积公式（其中n是扇形圆心角，r是半径）进行计算即可．
【详解】解：扇形的面积＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
8．
【分析】因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
则，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是掌握因式分解法解方程．
9．
【分析】根据众数的定义进行解答即可．
【详解】解：，，，，这5个数，是出现的次数是2次，其他数只出现1次，所以这5名学生成绩的众数是分．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据值．
10．
【分析】根据题意可得：图中共有10块大小相同的小方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于5块小方格地砖的面积，根据及几何概率的求解方法解答即可．
【详解】解：根据题意可得：图中共有10块大小相同的小方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于5块小方格地砖的面积，
所以该小球停留在黑色区域的概率；
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率，弄清黑色区域的面积与图形总面积间的关系是解题的关键．
11．13cm
【分析】根据垂径定理的推论可得cm，设半径cm，则cm，然后根据勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：∵D是的中点，
∴cm，
设半径cm，则cm，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
解得：，即的半径为13cm；
故答案为：13cm．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确理解题意、得出方程是关键．
12．/
【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的上，在y轴负半轴取点D，使，连接，则是的中位线，进而可得当最大时，即最大，而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值，计算即可求出结果．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在上，且半径为2，
在y轴负半轴取点D，使，连接，

∵，
∴是的中位线，
∴，
当最大时，即最大，
而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标和图形以及三角形的中位线，定点定长构造辅助圆，解题关键是确定点C的运动轨迹．
13．或
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：或
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
14．
【分析】设栅栏长为米，则平行于墙的一边长为米，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设栅栏长为米，则平行于墙的一边长为米，根据题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程解题的关键．
15．
【分析】连接，交于点，过点作于点，由圆周角定理可得，再由以及三角形内角和定理可得，为等边三角形，从而得到，再计算出的长，最后根据，进行计算即可得到答案．
【详解】解：连接，交于点，过点作于点，则：，

为直径，
，
，
，
，为半圆，
，
，
，为等边三角形，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键．
16．
【分析】取的中点E，根据三角形中位线定理得到，得到点D在以E为圆心，3为半径的圆上，得到的最小值就是点A与圆E上的点的距离的最小值，根据勾股定理求得，得到的最小值为．
【详解】如图，取的中点E，连接，，，
∵的半径是6，
∴，
∵D是中点，
∴是的中位线，
∴．
∴点D在以E为圆心，以3为半径的圆上．
∴求的最小值就是求点A与上的点的距离的最小值．
∵，
∴，
∵
∴当点D在上时，取最小值为．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握点D的运动路径是以E为圆心3为半径的圆，三角形的中位线定理，勾股定理解直角三角形．
三、解答题（11小题，共72分）
17．
（1），
（2），
（3），
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）找出、、的值，先计算根的判别式的值，再利用求根公式进行计算；
（3）利用因式分解方法进行解答即可．
【详解】（1）解：
∴，
（2）解：，
，，，
，
，
，
（3）解：
或
∴，
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握各种解法．
18．
【分析】首先连接，，由圆周角定理即可求得，又由，利用勾股定理即可求得弦的长．
【详解】解：连接，，

∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
19．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）连接OA，过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．过点O作于点H，先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
【详解】（1）解：如图，切线AD即为所求；
（2）如图：连接OB，OC．过点O作于点H，
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cs30°＝，
∴BC＝2．
【点睛】本题主要考查了作圆的、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（1），树状图见解析；（2）不正确，理由见解析．
【分析】（1）根据题意画出树状图即可求解；
（2）甲同学随机选择中的一个座位的概率相同，据此即可求解．
【详解】（1）解：树状图如图所示：

由图可知共有12种等可能的结果，其中甲乙两同学被分配到相邻座位的结果有4种
故：乙两同学被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位B、C不算相邻）为：
（2）解：甲同学的观点不正确，理由如下；
甲同学随机选择中的一个座位，选中每个座位的概率都是
∴甲同学在过道左侧的概率为
【点睛】本题考查了概率的实际应用．掌握相关知识点是解题关键．
21．（1），，；（2）村的香堂芋卖得更好，理由见解析
【分析】（1）由题意以及中位数的定义即可得出答案；
（2）从平均数、中位数、众数比较得出答案．
【详解】（1）解：由村的中位数为，
即中间第个为，
，
，
，
村的中位数为第个数，即；
故答案为：，，；
（2），两村中村的香堂芋卖得更好，理由如下：
，两村的平均数相同，但是村的中位数比村大；村的众数比村大．所以村的香堂芋卖得更好．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数以及统计表；熟练掌握平均数、中位数、众数的定义是解题的关键．
22．．（1）当时，原方程没有实数根；
（2）当时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14．
【分析】（1）要使原方程没有实数根，只需即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；
（2）根据（1）中求得的范围，在范围之外确定一个m的值，再根据根与系数的关系求得两根的平方和．
【详解】（1）解：∵方程没有实数根
，
，
∴当时，原方程没有实数根；
（2）解：由（1）可知，时，方程有实数根，
∴当时，原方程变为，
设此时方程的两根分别为，，
则，，
，
∴当时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14．
【点睛】此题要求学生能够用根的判别式求解字母的取值范围，熟练运用根与系数的关系求关于两个根的一些代数式的值．
23．（1）见解析；（2）
【分析】（1）延长交圆于点M，如图，则，再证明即可；
（2）设圆的半径为x，，则，证明，然后利用勾股定理列出关于a、x的方程组，求解即可．
【详解】（1）证明：延长交圆于点M，如图，
则，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴；

（2）解：设圆的半径为x，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：①，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：②，
联立①②可解得：，即的半径长为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
24．（1）；（2）5
【分析】（1）设每次下降的百分率为，为两次降价的百分率，50降至32是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
根据题意得，，
解得：（舍）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价元，
由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵商场要尽快减少库存，
∴符合题意，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
25．（1）①；②；③
（2）
【分析】（1）按照分解因式法解答；
（2）根据方程的解的概念可得，再求解即可．
【详解】（1）解：由可得或，
解得：，
故①答案为：；
方程可变形为，
即为，
∴或，
∴方程的解为；
故②答案为：，③答案为：；
（2）解：∵关于x的方程的解是，，
∴关于x的方程（）的解为，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的概念、掌握解一元二次方程的方法是关键．
26．（1）；（2）①；②，理由见解析
【分析】（1）由题意得：，而即可求解；
（2）①如图1，连接并延长交于点，连接，则，根据勾股定理即可求出的长；②理由如下：如图2，延长到，使得，连接，由圆的相关性质和已知条件可证，从而证出结论．
【详解】（1）由题意得：，
，
，
．
（2）①如图1，连接并延长交于点，连接，

的半径为4，
，
，
．
②．
理由如下：如图2，延长到，使得，连接，

，
．
平分，
，．
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，以及全等三角形的判定与性质和勾股定理，结合条件，添加适当的辅助线是解本题的关键．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据垂径定理可知F是AD中点，故OF是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可；
（2）作直径DG并连接AG，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可；
（3）根据条件分析出当时，AM取最小值，利用含直角三角形的性质与勾股定理即可解出此时AM的长度．
【详解】（1）在⊙O中，，
OF是△ADB的中位线，
∵BD为⊙O的直径，，
（2）作直径DG，连接AG．
在⊙O中，
OF是△ADG的中位线，
DG是⊙O的直径，
，
．
（3）
在中，，，M是DF的中点，
如图⑤所示，当AF的长度发生变化时：
点M是DF中点
点M始终保持在平行于AF的直线上
当AM的长度取最小值时，
如图④，此时，取AD中点H，连接MH，则
H、M分别是AD、DF中点
MH是的中位线，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题属于圆的综合题型，主要考查垂径定理、圆周角定理与中位线定理的应用，根据三个小问的变化情况，构造含中位线的三角形，是本题的解题关键。1
2
3
3
6
4
4
8
5
5
10