2022-2023学年广东省珠海市斗门区第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省珠海市斗门区第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可.

【详解】设在高二年级的学生中应抽取的人数为，依题意可得，解得.

故选：C.

2．若直线与圆相切，则（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】A

【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求.

【详解】因为圆心坐标为，半径为，

所以该圆心到直线的距离，结合解得.

故选：A.

3．如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..

【详解】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，

当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，

又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；

所以.

故选：B.

4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C．或 D．与斜交

【答案】C

【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.

【详解】∵，，

∴即，

∴∥或.

故选：C.

5．若点是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为（       ）

A．5 B．6 C． D．

【答案】C

【分析】连接圆心和直线的定点，当直线与此线段垂直时圆心到直线的距离最大，再加半径即为圆上点到直线距离的最大值

【详解】由题知，直线过定点（0，-1），所以圆心到定点的距离为

所以点到直线距离的最大值为

故选：C.

6．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算的定义进行求解即可.

【详解】，

故选：A

7．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条的斜率可得所求范围．

【详解】解：曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，

由，得或，所以，

，

所以实数的取值范围是.

故选：A．

【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．

8．如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：

①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；

②直线平面；

③在棱BC上存在一点E，使得平面平面；

④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为．

其中正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】对于①，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于③，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而得出面面垂直；对于④，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球半径，得出外接球体积.

【详解】对于①，设的中点为，连接，，，

如图，

为的中点，，

又平面，平面，

点，在平面上的正投影分别为，

且点在平面上的正投影分别为其本身，

三棱锥在平面上的正投影图为，

又，

即为等腰三角形，①正确；

对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，如图，

则，

，

，，即，

，，即，

又，平面，平面，

平面，

即是平面的一个法向量，

而，

与不垂直，不与平面平行，②错误；

对于③，如图

设的中点为，连接，由②知，，

，，

，，即，

，，即，

又，平面，平面，

平面，又平面，平面平面，③正确；

对于④，如图，

若为棱AB的中点，又为棱的中点，，

平面，平面，

平面，，

又，和有公共的斜边，

设的中点为，则点到的距离相等，

为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，

，，

该球的体积为，④正确.

综上所述，正确的结论为①③④.

故选：D.

二、多选题

9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区､超市､学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．甲同学体温的极差为

B．乙同学体温的众数为，中位数与平均数不相等

C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

D．甲同学体温的第60百分位数为

【答案】ACD

【分析】利用折线图，对图中数据进行分析，依次分析各选项即可得答案.

【详解】对于A：甲同学体温的极差为-=，故A选项正确；

对于B：乙同学体温为36.4，36.3，36.5，36.4，36.4，36.3，36.5，其众数为，中位数、平均数均为，故B选项错误；

对于C：根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；

对于D：甲同学的体温从小到大排序为36.2，36.2，36.4，36.4，36.5，36.5，36.6.

7×60%=4.2，故甲同学体温的第60百分位数为，故D选项正确.

故选：ACD

10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，=“第1次取出的是红球”，=“第2次取出的是红球”，=“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（    ）

A．A与相互独立 B．A与互为对立

C．与互斥 D．与相互独立

【答案】ABD

【分析】设2个红球为，2个白球为，运用列举法可得样本空间，后由事件相互独立，对立，互斥相关概念可得答案.

【详解】2个红球为，2个白球为，则样本空间为：

，共12个基本事件.

事件A，共4个基本事件.

事件B，共6个基本事件.

事件C，共6个基本事件.

事件D，共8个基本事件.

对于A选项，因，

则，故A与相互独立.故A正确；

对于B选项，注意到，得A与互为对立.故B正确；

对于C选项，注意到，则与不互斥.故C错误.

对于D选项，因，

则，故D与相互独立.故D正确.

故选：ABD

11．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到的另一组数据，，…，，满足（为非零常数），则下列结论一定成立的是（    ）

A．两组数据的样本平均数不同 B．两组数据的中位数相同

C．两组数据的样本方差相同 D．两组数据的样本标准差不同

【答案】AC

【分析】根据平均数、方差的性质判断即可.

【详解】解：对于A，设样本数据，，，的平均数为，

则新样本数据，，，的平均数是，平均数不同，故A正确；

对于B，设样本数据，，，的中位数为，

则新样本数据，，，的中位数是，中位数不同，故B错误；

对于C，样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，

两组数据的波动性相同，所以方差、标准差相同，故C正确，D错误；

故选：AC．

12．关于正方体，下列说法正确的是（    ）

A．直线平面

B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为

C．棱与平面所成角的正切值为

D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为

【答案】ABD

【分析】对于A：利用空间向量可得∥，即直线平面；对于B：结合图形可得交线为l即直线，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形．

【详解】如图1，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则

设平面的一个法向量，则有

令，则，即

∵，则，即

∴∥，则直线平面，A正确；

结合图形可知为平面与平面的交点，则交线为l即为直线

∴，则

∴l与所成角为，B正确；

∵，则

∴棱与平面所成角的正切值为，C不正确；

如图2，取棱的中点，连接

∵分别为的中点，则∥且

又∵∥且，则∥且

∴为平行四边形，则∥

∵分别为的中点，则∥且

∴为平行四边形，则∥

∴∥

同理可证：∥

∴经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形

∵，则其周长为，D正确；

故选：ABD．

三、填空题

13．若直线与直线平行，则__________.

【答案】

【分析】利用两直线平行的充要条件即可.

【详解】由直线与直线平行，可得:

，

解得，

所以，.

故答案为：

14．将写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的概率为______．

【答案】

【分析】利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解.

【详解】从4张卡片中不放回地抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）这6种情况，

设抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的事件为,其中包含的基本事件有（2，3），（3，4）这2种情况，

由古典概型的计算公式得故概率为．

故答案为：.

15．已知圆C关于直线对称的圆的方程，则圆C的方程为_________.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出圆的圆心关于直线的对称点即可作答.

【详解】圆的圆心，半径，

令点关于直线的对称点坐标为，

于是得，解得，因此圆C的圆心为，半径，

所以圆C的方程为.

故答案为：

16．过直线上动点P作圆的一条切线，切点为A，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为___________．

【答案】

【分析】将使得的点P有两个，转换为圆心到直线的距离的不等关系式求解即可

【详解】由题，使得的点P有两个，即使得的点P有两个，即圆心到直线的距离小于半径.又圆心到直线的距离，故，即，即

故答案为：

四、解答题

17．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：

(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；

(3)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率.

【答案】(1)70.5

(2)71.67

(3)0.6

【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算公式可得；

（2）根据频率分布直方图中中位数计算公式可得；

（3）先计算每个分组中的人数，再根据分层抽样的方法选出[80，90）中3人和[90，100]中2人，再计算两组各有一人被抽取的概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

（2）因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为

（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为和人，故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两组各有一人被抽取的概率为.

18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，根据独立事件概率的求法列方程组计算即可；

（2）由（1）结合题意可知所求事件为，其概率利用互斥事件与独立事件的概率求法计算即可.

【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”，

由于相互独立，所以和相互独立，

则，解得，

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.

（2）因为相互独立，且相互互斥，

所以，

所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为．

19．已知圆过点，，，直线过点且与直线相互平行．

（1）求圆的标准方程；

（2）求直线与圆相交所得的弦长．

【答案】（1）；（2）8.

【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组可得圆的一般式方程，再化为标准方程即可；

（2）设出直线，求出，结合点到直线的距离和勾股定理可得弦长.

【详解】（1）设圆的方程为，,

则

解得

则圆的一般方程为，

所以圆的标准方程为．

（2）设直线，代入可得，，

直线的方程为：，

故圆心到直线的距离,

故直线与圆形成的弦长为．

20．已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点．设，，．

(1)用向量、、表示、；

(2)判断与是否垂直；

(3)求异面直线BD与AC所成角的余弦值．

【答案】(1)，；

(2)与不垂直；

(3)﹒

【分析】(1)根据空间向量的线性运算即可求解；(2)判断是否为零即可判断与是否垂直；(3)根据向量数量积公式即可求解.

【详解】（1），

；

（2）

，

∴与不垂直；

（3），，，

且，

于是，

∴异面直线BD与AC所成角的余弦值为．

21．如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，

(1)证明：平面ABD；

(2)若，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）过D作，垂足为G，根据线面垂直的性质与判定可得平面DEF，进而证明即可；

（2）先根据（1）结合可得，，，再以E为原点，建立空间直角坐标系，求解平面CDF的法向量，再根据面面垂直的向量求法求解即可

【详解】（1）证明：过D作，垂足为G，

∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，

∴平面ABC，∵平面ABC，∴，

∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点，

∴，又，DE，平面DEF，

∴平面DEF，∵平面DEF，∴，

∵，∴，

∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．

（2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中，

∵，∴，

由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴，

∴，．

以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量，则，，，，，

由得，令，则，

显然，平面ABC的法向量，．

二面角的余弦值．

22．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．

(1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；

(2)求线段中点的轨迹方程；

(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．

【答案】(1)，过定点，

(2)

(3)

【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；

（2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可；

（3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.

【详解】（1），，，

故以为圆心，为半径的圆的方程为，

显然线段为圆和圆的公共弦，

则直线的方程为，即，

经判断直线过定点，即所以直线过定点

（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，

设的中点为点，直线过的定点为点，

易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过.

点的轨迹方程为

（3）设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设，的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

则，

故当时，取得最小值为．