广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．0,1D．2,3
2．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
3．已知命题：，使得 成立为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则不等式的解集是 （ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若，则（ ）
A．B．1C．-5D．5
7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在R上的函数，若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集是
B．“，”是“”成立的充分条件
C．命题：，，则：，
D．“”是“”的必要条件
10．已知，且，则（ ）
A．的最小值是B．最小值为
C．的最大值是D．的最小值是
11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．计算：的值是 ．
13．已知函数，函数为一次函数，若，则 .
14．若函数，则使得成立的的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)已知函数．
(1) 求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2) 求函数在区间上的最小值．
16．(15分)已知函数，其中．
(1) 若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值；
(2) 解关子x的不等式．
17．(15分)已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
18．(17分)已知函数 是定义域为上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；
（3）若在上的最小值为，求的值.
19．(17分)已知函数.
(1) 讨论的单调性；
(2) 当时，求证：；
(3) 若有两个零点，求的取值范围．
答案
1.【答案】A【详解】因为，，
所以，
所以，
即图中阴影部分表示的集合为.故选：A
2.【答案】D
【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可.
【详解】，故该复数的虚部为2.
故选：D.
3．B
【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】命题为真命题等价于不等式有解．
当时，不等式变形为，则，符合题意；
当时，，解得；
当时，总存在，使得；
综上可得实数的取值范围为．
故选：B
4．【答案】D
【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得.
【详解】分离参数得，
要使对任意，不等式恒成立，只需.
又因为，令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，所以.
故选：D
5．A
【详解】依题意得，选A．
6．A
【分析】构造函数，证明其为偶函数，据此可得解.
【详解】设，
则，
所以，即，
所以.
因为，所以.
故选：A
7．C
【分析】由fx为幂函数，可求出，即得到，再利用零点存在定理从而可求解.
【详解】由为幂函数，所以，得，所以，
对A：当时，，，故A错误；
对B：，，故B错误；
对C：，，故C正确；
对D：，，故D错误；
故选：C.
8.【答案】B
【分析】函数恰有2个零点，转化为直线与的图象有两个交点，作出函数的图象及直线观察它们交点个数，对函数要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率．
【详解】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系.
当，
故在处的切线方程为.
当，同理可得在处的切线方程为.
当，
设切点为，其中，则过该点的切线方程为，
代入，得，故过的切线方程为.
可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点.
此时
故选：B
【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．
9．【答案】BD
【分析】对A：利用分式不等式得解法解出即可得；对B：利用充分条件定义判断即可得；对C：借助全称命题的否定即可得；对D：利用必要条件定义判断即可得.
【详解】对A：，
解得，即其解集为，故A错误；
对B：若，，则，
故“，”是“”成立的充分条件，故B正确；
对C：，的否定为，，故C错误；
对D：由“”可得“”，故“”是“”的必要条件，故D正确.
故选：BD.
10．【答案】BC
【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.
【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确；
对于B，∵，∴，，
所以，故B正确；
对于C，∵，且，∴，即
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，∵，
即时，等号成立，
所以的最小值是，故D错误．
故选：BC．
11．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
12.【答案】5
【分析】根据分数指数幂的运算法则和对数运算法则计算即可得解.
【详解】原式
.
故答案为：5.
13．
【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法转化求解即可．
【详解】由题意，函数为一次函数,
由待定系数法，设（），
所以，
由对应系数相等，得，，
故.
故答案为：
14．
【分析】由题知函数为偶函数且在单调递增，由此抽象出不等式，解出即可
【详解】由函数的定义域为,
所以函数为偶函数
当时，与为单调递增函数
所以在单调递增
所以
所以
解得：
故答案为：
15.【答案】(1) (2)
【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程.
（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.
【详解】（1）因为：，所以切点坐标为：，
又，，即为所求切线的斜率.
所以切线方程为：，化简得：
（2），（）
由f'x>0；由f'x<0.
所以在1,2上单调递减，在上单调递增.
所以函数在区间上的极小值为，也是最小值.
16.【分析】（1）利用二次方程的韦达定理即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，结合二次不等式的解法即可得解.
【详解】（1）因为，
所以由，得，
整理得，
因为方程有两实数根，即有两实数根，
所以，则，
又两实数根之积等于1，所以，解得或（舍去），
经检验，满足要求，
所以.
（2）因为，
所以由，得，
当时，由，解得；
当时，易知无解；
当时，由，解得；
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
17．（1）当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或；（2）的取值范围是.
【详解】试题分析：（1）本小题是含参数的一元二次不等式问题，求解时先考虑因式分解，后针对根的大小进行分类讨论，分别写出不等式的解集即可；（2）不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，不等式即在上恒成立可转化为（），而函数的最小值可通过均值不等式进行求解，从而可求得的取值范围.
试题解析：（1）由得，即 1分
当，即时，原不等式的解为或 3分
当，即时，原不等式的解为且 4分
当，即时，原不等式的解为或
综上，当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或 6分
（2）由得在上恒成立，即在上恒成立，所以（） 8 分
令，则 10分
当且仅当等号成立
，即
故实数的取值范围是 12分.
考点：1.一元二次含参不等式；2.分类讨论的思想；3.分离参数法；4.均值不等式.
18.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．
【解析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；
（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；
（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.
【详解】（1）是定义域为上的奇函数，
根据奇函数性质可得
当时，可得
即：
解得：
（2）由（1）可得：
可知的定义为
在上任取，且，即
在上单调递增，
可化简为：
，即，解得或．
不等式的解集为．
（3）
．
令，
则．
，．
当时，则当时，，解得；
当时，则当时，，解得，(舍去)．
综上所述，．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可.
（2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可.
（3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可.
【详解】（1）由题意得定义域为，
而，
当时，，在上单调递减，
当时，，
当时，解得：，当时，解得：，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
若证成立，只需证成立即可，
所以定义域为，，
在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上有唯一实根，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，
，同时取对数得，
，
，，
（3）若时，由已知得最多有一个零点，
当时，由已知得当时，取得最小值，
，
当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，
由，
故在有一个零点，
，
，，
设，，
在上单调递增，
，，
，
在上有一个零点，
在上有两个零点，
综上得到的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是对参数范围分类讨论，然后找到符合零点要求的参数范围，得到所要求的参数范围即可．