[数学]广东省珠海市2025届高三上学期开学考试试题(解析版)

这是一份[数学]广东省珠海市2025届高三上学期开学考试试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了 已知全集，集合，则， 复数， 设，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
故选：B.
2. 复数（i为虚数单位），z的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以z的共轭复数为.
故选:B.
3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，，,
所以有，所以，得.
故选：C.
4. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. 6B.
C. D.
【答案】D
【解析】两点，B0,3，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故选：D.
5. 一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设该直角三角形的三条边长分别为，
设三角形斜边上的高为，
则，
，
由题意设该3个几何体的体积为，
则，
，
，
，
所以这3个几何体的体积从小到大之比为.
故选：.
6. 已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设 ，的图象如图所示，
问题转化为与函数 的图象没有交点，
所以或,
解得或,
故选：A.
7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 函数图象关于点对称
C. 函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
D. 若，则函数的最大值为
【答案】D
【解析】由已知
，
所以，
又，所以函数的最小正周期为π，
由已知，所以，A正确；
所以，
因为，所以函数图象关于点对称，B正确，
将函数图象向右移个单位后可得函数的图象，
因为的图象关于轴对称，
所以，又，
所以的最小值为，C正确，
若，则，
所以，故，
所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误.
故选：D.
8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】法一：不等式对一切恒成立即为
不等式对一切恒成立，
今，则有；
故不等式对一切恒成立等价于恒成立，
所以为的最大值点.
显然，，否则时，，与题设矛盾.
又，此时，
若，存在区间，是否且，总有f'x>0，
这与为的最大值点矛盾，故不成立，
同理也不成立，故，则，
当时，当时，f'x>0，当x∈0,+∞时，f'x<0，
故在上递增，0,+∞上递减，符合题意；
当时，当时，f'x<0，
当时，f'x>0，
故在上递减，上递增，0,+∞上递减，
而当时，，
故即，故恒成立，故符合题意
综上，，因此.
法二：不等式可化为，
令，
当时，，此时，直线恒过点0,1，
故只需直线为在点0,1处的切线即可，
，此时.
当时，亦恒过点0,1，
为使对一切x∈R恒成立，
需开口向下，且在点0,1处与有公切线即可，
故，此时.
综上，的取值范围是.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A，B互斥，则
B. 若，则A，B相互独立
C. 若A，B互斥，则A，B相互独立
D. 与相等
【答案】ABD
【解析】对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则，故A正确；
对于B：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确；
对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，
例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，
事件与事件互斥，但，，
所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；
对于D：，
，
所以与相等，故D正确.
故选：ABD.
10. 设，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象与圆有且只有两个公共点
B. 存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数的图象上
C. 存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上
D. 存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上
【答案】ABC
【解析】对于选项A，令，当时，f'x>0，
当x∈-1,1时，f'x<0，则函数在，1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减，
又，，函数y=fx的图象与圆得图象如图所示：
故函数y=fx的图象与圆有且只有两个公共点，故A正确；
对于选项B、C，由于函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称，
过点作直线交的图象于、两点，
过点作的垂线交的图象于、两点，
则为等腰三角形，四边形为菱形，
当线段绕点转动时，
仍为等腰三角形，四边形仍为菱形，故选项B、C均正确；
对于选项D：由于，
故要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，
显然，当时，，点在函数图象外侧，则，
此时，
利用极限思想，当时，，此时；
当时，，此时；
如图所示，故至少存在两个正方形，故D错误.
故选：ABC.
11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（ ）

A. 曲线C的图象关于原点对称
B. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D. 曲线C上有且仅有3个点P满足
【答案】AC
【解析】对于选项A：
化简得到：，
将代入可得，
所以曲线.
把代入得，
所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确；
对于选项B：令解得，即：曲线经过，
结合图象，得.
今，得，
令，得，
因此，结合图象曲线只能经过3个整点.
故B错误；
对于选项C：可得，
所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，
即：都不超过3，故C正确；
对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则，
设，则，，
故只有原点满足，故D错误.
故选：.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线与曲线相切，则______．
【答案】
【解析】设切点坐标为，由于，
所以切线的斜率为：，
所以曲线在处的切线方程为：，
即，
所以，.
13. 已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则______．
【答案】25
【解析】设P在双曲线右支上，则，
由余弦定理得
，
所以，
又
，
所以，解得，
结合，
则，，
又，
故，
故.
14. 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分．
【答案】80
【解析】甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为分，
方差为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且．
（1）求的值；
（2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值．
解：（1）由题意得，，
由正弦定理可知，，
在中，因为，，
所以，
即，
因为，所以，
所以，又，
所以；
（2）由正弦定理，
因为，，所以，，
由，得，
由基本不等式可知， ，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
16. 如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点．
（1）证明：；
（2）求面与面夹角的正切值．
（1）证明：因为三棱柱中，
故四边形为菱形，又因，点是棱的中点，
故，
又侧面底面，侧面底面， 侧面，
所以底面，又底面，故.
（2）解：因， ，故为直角三角形，
故，
如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，
由（1）可知，，，故，，
则，
由题意平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则即，令，则，，
则，
设面与面夹角为，则，
故，
面与面夹角的正切值为.
17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．
（1）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
（2）当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．
解：（1）设椭圆的半焦距为，则，故，
而在椭圆上，故，
故，故椭圆方程为：，
由可得，
故即即.
（2）当时，直线，故，

由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，
到直线的距离最大及的面积最大，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，
到直线的距离最大及的面积最大，
由（1）可得相切时即，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方，
此时到的距离为，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方；
此时到的距离为，
又，
故
18. 设函数，.
（1）试判断f'x的单调性；
（2）证明：对任意，有，当且仅当时等号成立.
（3）已知，证明：（其中）
（1）解：，
令，
，
，，
故f'x在0,1上单调递增.
（2）证明：令，
则.
又在0,1上单调递増，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故在处取最小值，
即，
从而，
即.
（3）证明：，
要证，
只需证，
即证.（*）
显然，当时，不等式（*）中等号成立.
令，
由（2）可知：成立，
即：成立，
即：
而
成立，
从而成立.
19. 对于数列an，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列an是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列an为纯周期数列；当时，称数列an为混周期数列．记x为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列an满足：.
（1）若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
（2）若数列an是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
（3）证明：不论为何值，总存在使得．
（1）解：因为对任意整数都有，
所以取，则，不符合题意；
取，，，
此时，数列为常数列；
取，，，不符合题意；
取，，，，
此时，数列的通项公式为；
取，，，
，
此时，数列的通项公式为；
所以满足条件的三个的值为,,；
（2）解：取，，，
此时数列为常数列，为纯周期数列；
取，则，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
此时，数列为常数列，为纯周期数列；
取，，，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，，
此时，数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
，
此时，数列的通项公式为，为混周期数列；
取， ，
，
此时，数列为常数列，为纯周期数列；
根据上述计算得出猜想，
当时，数列为常数列也纯周期数列，
下面进行验证：
当时，，
，，
此时数列为常数列，也是纯周期数列；
（3）证明：首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常数列，
也是纯周期数列，满足题意；
接下来证明，当时，也存在使得；
因为，
所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，
当时，显然存在值为1的项，
当时，有或，
若为偶数，则，
若为奇数时，
则，
，
所以，
所以无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且，
类似的，可得：无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且；
所以无论无论为奇数还是偶数，均有；
若，则恒为奇数且，
于是，假设数列的且，
所以，恒奇数且，
由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数；
设为第一个值为的项，
而，
故，
这与“是第一个值为的项”相矛盾，
所以，数列除第一项外，还存在不属于区间的项，
假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，
所以，数列除第一项外，存在不属于区间和的项，
以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，
得证.