初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理优秀随堂练习题

这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理优秀随堂练习题，共24页。

A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）

A． B． C．20 D．
3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（ ）

A．13 B． C．8 D．
5．（2023·山西·统考中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
7．（2022·湖北荆门·统考中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20 B．60 C．30 D．30
8．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．

12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
13．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．

14．（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．

15．（2022·西藏·统考中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
16．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为 ．
17．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
18．（2022·四川遂宁·统考中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（10分）（2021·四川攀枝花·统考中考真题）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．
22．（10分）（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
（1）求证：；
（2）若时，求的长．
23．（10分）（2020·湖南株洲·中考真题）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
24．（12分）（2019·湖北省直辖县级单位·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（12,0）,B（8,6）,C（0,6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ=y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；
（2）当PQ=3时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
参考答案：
1．B
解：∴AO=3，BO=4，
∴AB=AB′=5，故OB′=8，
∴点B′的坐标是（8，0）．
故选：B．
2．D
【分析】连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可．
解：连接，

由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故选：D
【点拨】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
3．C
【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得．
解：如图所示，过点B作于E，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分的周长，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．D
【分析】依据题意，连接，然后先证明，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解．
解：如图，连接．

在中，，
，点为边上的中点，
，，，．
．
，，
，．
．
又，，
．
，．
在中，．
在中，．
又在中，，
．
．
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
5．A
【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．

【点拨】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
6．C
【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵，是互质的奇数，
∴A．，
∴当，时，，，，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．，
∴当，时，，，，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．，，
∵，是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．，
∴当，时，，，，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．
7．C
【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝30，
∴∠B＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝30，
∴AB＝，
故选：C
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键．
8．B
【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．
解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
【点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解．
解：在中，
，，
，
，
设到的距离为，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+（3-x）2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
11．5
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．4
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
解：∵在中，，是边的中线，
∴，，
在中，，，
∴，
故答案为：4．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
13．/
【分析】过H作于Q，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解．
解：设，

过H作于Q，
在矩形中，，
∴，
由作图得：平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，有，
即：，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
14．
【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．
解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，
即
∵这台扫地机能从角落自由进出，
∴这台扫地机的直径不小于长，
即最小时为，
解得：（舍），，
∴图中的x至少为，
故答案为：．

【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠AOB的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．
解：如图所示：
根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线，
∵AB=6，∠BAC=60°，
∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，AD=AB=3，
∴AM=2MD，
在Rt△ADM中，，
即，
∴MD=，
∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB，
∴点M到射线AC的距离为．
故答案为：．
【点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题．
16．
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，
∴AC===4，
由作图可知，PQ垂直平分线段AC，
∴AD=DC=AC=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
17．m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
19．（1）画图见分析；（2）画图见分析，
【分析】（1）找到的格点的，使得，且，连接，则即为所求；
（2）根据平移画出，连接，勾股定理即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，，即为所求；

．
【点拨】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
解：（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．见分析
【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可
解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，
4个小直角三角形的面积，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
∴．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明；
（2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解．
解：（1）证明：是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中
；
，
（2）在中，，，
,
,
,
,
,
∴∠ADC=∠ACD，
,
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（1） ；（2）2米
【分析】（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
解：（1）在Rt△ABC中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵在Rt△ABC中，，
∴
∴，
∴，∴．
综上所述，长度增加了2米．
【点拨】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作于点，由点，的出发点、速度及方向可找出当运动时间为秒时点，的坐标，进而可得出，的长，再利用勾股定理即可求出关于的函数解析式（由时间路程速度可得出的取值范围）；
（2）将代入（1）的结论中可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）连接，交于点，过点作于点，利用勾股定理可求出的长，由可得出，利用相似三角形的性质结合可求出，由可得出，在中可求出及的值，由，可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，此题得解．
解：（1）过点作于点，如图1所示．
当运动时间为秒时时，点的坐标为，点的坐标为，
，|，
，
．
故答案为．
（2）当时，，
整理，得：，
解得：．
（3）经过点的双曲线的值不变．
连接，交于点，过点作于点，如图2所示．
，，
．
，
，
，
．
，
．
在中，，，
，，
点的坐标为，
经过点的双曲线的值为．
【点拨】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ=时t的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．