第09讲 专题4 平行四边形（特殊的平行四边形）中的最值问题-2023-2024学年八年级数学下册高效导与练（人教版）

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第09讲专题4 平行（特殊）四边形中的最值问题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）A．2 B． C．3 D．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．2．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 　　．【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴AN＝AC＝×4＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，故答案为：．3．如图，在▱ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　2﹣4　．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ＝AB＝4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4，故答案为：2﹣4．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 　6　．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（　　）A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵F，M分别是AD，DE的中点，∴FM＝，∴当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故选：D．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4cm，∴，∵四边形PAQC是平行四边形，∴AB∥CQ，∴当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD＝2cm，故选：A．7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）A．4 B．5 C．6 D．10【解答】解：∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF是△MND的中位线，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，∴EF长度的最大值为5，故选：B．8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）A． B．3+3 C．6+ D．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（　　）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是 　7.5　．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝10，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝2.5，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，∴GH的最小值是7.5，故答案为：7.5．11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为 　　．【解答】解：如图，连接AC、AE、CF、CG，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝CD，DE＝DG＝EF，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE，∴当点A、E、F、C在同一直线上时（此时点F与点C重合），DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，在Rt△ABC中，AC＝，∴d1+d2+d3的最小值为．12．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　．（提示：根据轴对称的性质）【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴AE＝AD＝1，DE＝＝，∴EF+BF的最小值为．13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是 　　．【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴点O是BP的中点，∴BO＝BP＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝，∴MN＝，∴BO的最小值＝MN＝，故答案为：．14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，则CN的最小值为 　﹣1　．【解答】解：过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示：在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，∴∠HDM＝∠A＝60°，∴∠HMD＝30°，∵点M是AD边的中点，∴DM＝1，∴DH＝，根据勾股定理，得HM＝，∵CD＝2，∴CH＝，根据勾股定理，得CM＝，∵MN＝1，当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值，CN′＝CM﹣MN＝﹣1，∴CN的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 　　．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝12，OD＝OB＝BD＝5，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝13，∵CD•OH＝OC•OD＝S△COD，∴×13OH＝×12×5，解得OH＝，∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴OE＝FG，∴OE≥OH，∵FG≥，∴FG的最小值为，故答案为：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（　　）A．13 B．10 C．12 D．5【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图，∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形，∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，∵AD＝DM，AE＝DF，∠EAD＝∠FDM＝90°，∴△ADE≌△DMF（SAS），∴DE＝MF，∴BF+DE＝BF+FM，∵点E，F分别是AB，DC上的动点，故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，且BF+DE的值等于BM的值，在Rt△BAM中，，故选：B．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝∴BF+DE最小值为4．故选：C．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（　　）A．4.8 B．5 C．2.4 D．3.6【解答】解：如图，连接AD，∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，，∴，∴AO的最小值为2.4，故选：C．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．【解答】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠C，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，∴四边形CEDF是矩形；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，∴当CD有最小值时，EF的值最小，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴CD⊥AB时，EF有最小值，∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，∴CD的最小值为5，∴EF的最小值为5．20．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠ACF＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；作AH⊥BC于H点，如图所示：∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：，∴S四边形AECF＝S△ABC＝．∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝S菱形ABCD﹣S△AEF，∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，∵△AEF为等边三角形，∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，∵当AE⊥BC时，AE最小，∴AE的最小值为AH的长，过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：∵△AEF为等边三角形，∴，∠AEF＝60°，∴，∴，∴，∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝16，即△CEF的面积的最大值为．21．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．