16，江苏省扬州市仪征中学2024届高三下学期期初调研测试数学试题

这是一份16，江苏省扬州市仪征中学2024届高三下学期期初调研测试数学试题，共19页。试卷主要包含了 若，x，，则的最小值为， 已知一组数据等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的展开式的常数项是（ ）
A. 40B. -40C. 20D. -20
【答案】D
【解析】
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令
，所以的展开式的常数项是，
故选：D
2. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为，所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D
3. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的定义，根据三角形内角的性质以及三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】在中，，则，
充分性：当时，，，
，所以“”是“”充分条件;
必要性：当时，取，，
此时满足，但，
所以“”是“”的不必要条件.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量投影的概念运算求出，再利用向量数量积运算求得结果.
【详解】由题在上的投影向量为，
又，，即，
.
故选：A.
5. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列、C系列，其中A系列的幅面规格为：，，，，，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；，如此对开至规格.现有，，，，，纸各一张，已知纸的幅面面积为，则，，，，，这9张纸的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得到这9张纸的面积成等比数列，从而利用等比数列的前项和公式即可得解.
【详解】记的面积为，则，
依题意，的面积是的面积的一半， 则，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以这9张纸的面积之和为.
故选：A.
6. 某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A. 480种B. 360种C. 240种D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】分人脸识别不安排或安排研究生两种情况，应用组合、排列数求总分配方式即可.
【详解】1、人脸识别方向不安排其它研究生，则种.
2、人脸识别方向安排1名其它研究生，则种.
综上，共有360种分配.
故选：B
7. 若，x，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以．
所以，即．
当且仅当，，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
8. 如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得的面积，求得平面的法向量为，设，求得点到平面的距离，进而求得体积的取值范围.
【详解】以为原点，分别以，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，
所以，
取的中点，连接，则，
由，则，所以的面积，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设，则，
所以点到平面距离，
所以，
又因为，所以，即.
故选：C.

二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A. 中位数不变B. 平均数不变
C. 方差不变D. 第40百分位数不变
【答案】AD
【解析】
【分析】依次分别算出这组数据去掉12和45前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解.
【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得原数据的第40百分位数是第4个数24.
将原数据去掉12和45，得，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得新数据的第40百分位数是第3个数24，
故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.
故选：AD.
10. 如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的最小正周期是
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据质点运动规则可得角度，利用三角函数定义可求得该质点到轴的距离，再结合周期公式可得结论.
【详解】由题可知，该质点的角速度为，
由于起始位置为点，沿逆时针方向运动，
设经过时间s之后所成的角为，则，
根据三角函数定义可知点的纵坐标为，
所以该质点到轴的距离，可得D正确，C错误；
由解析式可知其最小正周期为，即A正确，B错误；
故选：AD
11. 已知定义在的函数满足以下条件：
（1）对任意实数恒有；
（2）当时，的值域是
（3）
则下列说法正确的是（ ）
A. 值域为
B. 单调递增
C.
D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算得到，A错误，根据单调性的定义得到B正确，计算，，得到C正确，题目转化为得到，根据函数的单调性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：令可得，故，
令可得，，
，当时，，则，
综上所述：，错误；
对选项B：任取且，，，
则，所以函数在上单调递增，正确；
对选项C：取得到；
取得到；
取得到，正确；
对选项D：，，
即，
即，
函数单调递增，且，故，正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再求的值.
【详解】，所以.
故答案为：
13. 已知复数满足，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据得到方程组，求出，分两种情况计算出答案，从而求出.
【详解】设，则，
所以，解得，
当时，，故，
；
当时，，故，
故答案为：-8
14. 已知双曲线与直线交于M，N两点（点M位于第一象限），点P是直线l上的动点，点A，B分别为C的左、右顶点，当最大时，（O为坐标原点），则双曲线C的离心率______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得两点的坐标，分析得到当最大时，最大，利用正切函数的定义及基本不等式求出当最大时点P的位置，根据求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】将代入双曲线方程得，得，所以．
设点P的坐标为，不妨设，
由题意知为锐角，所以当最大时，最大，则最大．
设双曲线C的右焦点为F，因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，最大，即最大．
由可得，所以，
故双曲线C的离心率．
故答案为：
四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分別为，.
（1）求角C；
（2）若，求角的平分线的长度.
【答案】15.
16. 1
【解析】
【分析】（1）利用两角和正弦公式及正弦定理化简得，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解；
（2）利用余弦定理求得，根据面积相等建立方程求解即可.
【小问1详解】
由得.
由正弦定理得，
得，得.
因为，所以，即，又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，可得，
又，所以，
即，所以.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到的内切圆的半径为，求得，得到，结合，进而求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得的面积，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：椭圆的半焦距为，
因为的内切圆的面积为，所以的内切圆的半径为，
又因为是等边三角形，所以，即，
解得，所以，
可得，则，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：由，则点，
由题意知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，
且，，
联立方程组，整理得，
由，可得.
且，，
所以的面积，
当且仅当，即时（此时适合的条件）取得等号.
故面积的最大值为.
【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：
1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
17. 某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.
（1）若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；
（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意可知共有个团队，根据全是私家游团队的概率结合古典概型求出，再分3个团队全是私家游团队和3个团队全是跟团游团队两种情况讨论，结合古典概型即可得解；
（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，从而可得分布列，再根据期望公式求期望即可.
【小问1详解】
由题意知共有个团队，
一次抽取2个团队的情况有种，其中全是私家游团队的情况有种，
故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是，
整理得，解得或（舍去），
若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有种情况，
若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有种情况，
所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，
这3个团队全是跟团游团队的概率为；
【小问2详解】
由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故分布列为
数学期望.
18. 设函数，曲线在点处切线方程为.
（1）求；
（2）证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.
【小问1详解】
函数的定义域为.
将代入，解得，即，
由切线方程，则切线斜率.
故，解得.
【小问2详解】
证明：由（1）知，
从而等价于.
设函数，则.
所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为.
设函数，
从而在上的最大值为.
故，即.
19. 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：．若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．
（1）①若，，求；
②证明：．
（2）记的面积为，证明：．
（3）证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍．
【答案】（1）①；②证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.
（2）利用数量积公式求得，则有 可知，借助叉乘公式，利用分析法即可证得结果．
（3）由（2），化简可得，即可得出结果.
【小问1详解】
①因为，，
则．
②证明：设，，
则，
将与互换，与互换，与互换，
可得，
故．
【小问2详解】
证明：因为，
故，
故要证，
只需证，
即证．
由（1），，，
故，
又，，，
故
则成立，
故．
【小问3详解】
证明：由（2），
得，
故，
故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍．0
1
2
3
4
P