2024届江苏省扬州市仪征中学、江都中学高三12月联考数学试题含答案

这是一份2024届江苏省扬州市仪征中学、江都中学高三12月联考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则化简可得，然后依据题意可得虚部为0计算即可.
【详解】，要使原式是实数，则，，
故选：B .
2．设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先化简集合，再根据交集运算求解即可
【详解】，，
故
故选：B
【点睛】本题考查集合的交集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题
3．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.
【详解】，，
.
故选：C.
4．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为（且），
令，解得，
所以，故的展开式中的常数项为28，
故选：C．
5．函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】确定函数为奇函数，排除BD，当时，，排除A，得到答案.
【详解】的定义域为，
，故为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，D；
又时，，，，故，排除A．
故选：C．
6．若函数的图象在内恰有2条对称轴，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简函数的解析式，再利用三角函数图像性质列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围，进而得到正确选项.
【详解】
．
当时，，
因为函数的图象在内恰有2条对称轴，所以，
解得，则的值可能为
故选：C．
7．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
8．设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将三个值中的共同量0.05用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小.
【详解】记，因为，当时，，所以在上单调递增，
则当时，，即，取，所以，
记，因为，所以在上单调递减，
则当时，，即，取，所以，故，即；
记，因为，当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，即，取，所以，即；
所以.
故选：C.
二、多选题
9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据平面向量数量积运算性质和定义逐一判断即可.
【详解】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；
B：与共线，与共线，而与不一定共线，
所以不一定成立，因此本选项不一定成立；
C：，所以本选项一定成立；
D：当 时，，所以本选项不一定成立，
故选：AC
10．设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．的图象关于点对称D．
【答案】ACD
【分析】根据奇函数、点对称的性质，结合周期函数的性质、特殊值法逐一判断即可.
【详解】A：当时，，显然图象不关于原点对称，所以不是奇函数，
因此本选项说法错误；
B：因为，
所以该函数是周期函数，因此本选项说法正确；
C：，显然当时，，
所以本选项说法错误；
D：当时，，
所以本选项说法错误，
故选：ACD
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案．
【详解】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，
所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，，设，，
∵，当且仅当，即时，取等号
∴
则的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
12．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（ ）

A．正四棱台的体积为
B．正四棱台的外接球的表面积为104π
C．AE∥平面
D．到平面的距离为
【答案】BCD
【分析】利用正四棱台的体积计算可判断A；连接相交于，连接相交于，分外接球的球心在正四棱台的内部、内部，
根据、，求出可判断B；取的中点，利用面面平行的判断定理可判断平面平面，从而可判断C；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可判断D.
【详解】正四棱台的体积为，
，故A错误；

连接相交于，连接相交于，
如果外接球的球心在正四棱台的内部，
则在上，，
因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，
设外接球的半径为，所以，即
，无解，所以外接球的球心在正四棱台的外部，如下图，

则在延长线上，，
因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，
设外接球的半径为，所以，即
，解得，
所以正四棱台的外接球的表面积为，故B正确；

取的中点，连接，，连接，
所以，所以是的中点，因为，所以，
又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
因为，所以，
平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
故C正确；

以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令可得，
到平面的距离为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题，
注意到，整理得，
原题意等价于“任意，使得”是真命题，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
14．过直线上一点向圆：引切线，切点为，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可.
【详解】由题设，圆，即，半径为2，
而到的距离为，
所以直线与圆相离，如下图，
由，要使的最小，只需最小，
而，故.
故答案为：4
15．某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有 种．
【答案】
【分析】由分类加法计数原理分为两类，一个社区3人，剩下两个社区各1人和一个社区1人，剩下两个社区各2人，再按照分步乘法计数原理分别分析计算即可．
【详解】由题意知可分为两类：
第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人，
当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；
当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；
第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人，
当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；
当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；
综上可知，共有（种），
故答案为：
16．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用同构的方法对进行转化，然后构造函数，利用函数的单调性得到，即，代入，将问题转化为求单变量式子的最小值问题，再次构造函数，利用导数判断函数的单调性即可求解最值．
【详解】由得，即，
设，则，，
当时，，所以在上单调递增．
因为x，y均为正实数，所以，
由，可得，即．
由知，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以．
则．令，
则，所以在上单调递减，
所以，所以，即的最小值为．
故答案为：
【点睛】与和相关的常见同构模型，
①，构造函数（或，构造函数）；
②，构造函数（或，构造函数；）
③，构造函数（或，构造函数）．
四、解答题
17．某校课题组选取高一两个班级开展对“数学问题链深度设计”的研究，其中A班为常规教学班，B班为课改研究班．在一次期末考试后，对A，B两班学生的数学成绩（单位：分）进行分析，满分150分，规定：小于120分为不优秀，大于或等于120分为优秀．已知A，B两班学生的数学成绩的频数分布统计表如下：
A班：
B班：
(1)由以上统计数据填写下面的列联表，并根据相关数据判断，能否有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关?
(2)从A，B两班里成绩在100分以下的学生中任意选取2人，记X为2人中B班的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，，
【答案】(1)列联表见解析，有；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据频数的定义，结合题中所给的公式进行求解判断即可.
（2）根据古典型概率公式，结合数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）依题意，2×2列联表如下：
，
所以有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关.
（2）由（1）可知：
A，B两班里成绩在100分以下的学生中，A班有4人，B班有2人，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
则随机变量X的分布为
数学期望.
18．在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，则由平面平面，可得平面，再由平面，可得，， 再由已知条件可证得，由线面垂直的判定定理可得平面，然后由线面垂直的性质可得结论，
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】（1）取中点，连接，
.
由平面平面，且交线为，
平面.
又平面，有，
四点共面.
平面平面，
.
又在矩形中，，
∴∽，
∴,
∵,
∴，
.
又∵，
平面.
平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：.
设平面的法向量.
，令，则.
设平面ECF的法向量.
，令，则
.
所平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式利用二倍角公式和诱导公式化简，再用正弦定理角化边，用余弦定理求得，可得角.
（2）由，由三角形面积公式和余弦定理，求出，可求的面积.
【详解】（1）因为，
由二倍角公式和诱导公式可得，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）如图所示，， D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，
由于，则，
得，又，所以，
解得或（舍去），
所以.
20．已知函数，在区间上有最大值0，最小值．
(1)求实数m，n的值：
(2)若，且，如果对任意都有，试求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次函数的单调性可得，进而求解即可；
（2）由题意转为问题为恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意，函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
则，解得，.
（2）由题意，，
因为对任意都有，
即恒成立，
当时，显然成立；
当时，转化为恒成立，
由，则，
对于，
所以当，即时，，即；
对于，
所以当，即时，，即.
综上所述，实数的取值范围为.
21．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点.
(1)若为等腰三角形，求P点坐标;
(2)若直线分别交圆于两点.
①求证：直线过定点，并求出定点坐标;
②求四边形面积的最大值.
【答案】(1)或
(2)②证明见解析，；②
【分析】（1）分与两种情况，借助两点间距离公式求解即可.
（2）①时，联立圆与直线方程，借助韦达定理及两点斜率公式求解，并验证时满足；
②由，将，代入计算即可.
【详解】（1）设，由题意得，，，
当时，即，
解得，当时，三点共线，舍去，所以，
当时，
即，解得，所以，
综上或；
（2）①设，，，，，，
，，
设直线斜率存在，
联立，消去y可得，
设，，
则，，
故，，，
或舍去，
则直线，
∴直线恒过定点，
当时，过定点，符合，
综上，直线恒过定点；
②由①得，，
则
，
，
令，
则，当时，取得最大值，
当直线，四边形面积有最大值 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
22．已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意可知，，从而可得出答案；
（2）不等式恒成立，即即可，求出函数的导函数，分，，三种情况讨论，求出函数的最小值，分析从而可得出答案.
【详解】（1）解：由已知，所以，
又，所以，所以；
（2）解：函数定义域为R，因为，
（ⅰ）若，即时，，在R上单调递增，
因为当时，，
所以取，则，不合题意；
（ⅱ）若，即时，，在R上单调递增，
若不等式恒成立，则，所以，即的最小值为0；
（ⅲ）若，即时，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若不等式恒成立，则，
即，所以；
设（），则，
设（），则，注意到为增函数，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，此时，即的最小值为，
综上所述的最小值为.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求参数的最值问题，还考查了不等式恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论思想和数据分析能力，属于难题.
分组
100分以下
频数
4
8
10
12
12
4
分组
100分以下
频数
6
12
14
10
6
2
A班
B班
总计
优秀
不优秀
总计
0.1
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
A班
B班
总计
优秀
22
32
54
不优秀
28
18
46
总计
50
50
100
X
0
1
2
P