2023-2024学年广东省佛山市南海区平洲二中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区平洲二中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数：π2，0， 9，0.23⋅，227， 27，6.1010010001…，1− 2中无理数个数为( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.− 2的相反数为( )
A. 22B. − 2C. 22D. 2
3.估计 20的大小在( )
A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间
4.下列各式中，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. − 32=−3C. (±3)2=±3D. 32=±3
5.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )
A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m
6.下列说法：
①2是4的一个平方根；
②16的平方根是4；
③−36的平方根是±6；
④−8是64的一个平方根．
其中正确的个数是．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=( )
A. 10B. 15C. 30D. 50
8.已知 12−n是正整数，则实数n的最大值为( )
A. 12B. 11C. 8D. 3
9.小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米，宽为46厘米，则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计)( )
A. 9英寸(23厘米)B. 21英寸(54厘米)C. 29英寸(74厘米)D. 34英寸(87厘米)
10.在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为( )
A. 14B. 14或4C. 8D. 4或8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.实数 9的平方根______．
12. 7的小数部分为______．
13.比较下列实数的大小(在空格填上>、<或=)①− 3 ______− 2；② 5−12 ______12．
14.如果直角三角形的周长是24cm，相邻两直角边长之比为3：4，那么斜边长为______cm．
15.若3a−4与2−a是正数x的平方根，则x是______．
16.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为______cm．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/h)
四、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 16−3−64+| 3−2|+6 13；
(2)(2 12−4 18+3 48)×5 2．
19.(本小题8分)
求x的值：
(1)2x2=8
(2)(2x−1)3=−8．
20.(本小题8分)
一个正方体木块的体积是1000cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体木块，其中一个小正方体的棱长和表面积分别是多少？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，D为AB上一点，CD=4 3，BD=4．
(1)求证：∠CDB=90°；
(2)求AC的长．
22.(本小题8分)
如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
(1)在网格中画出长为 5的线段AB；
(2)在网格中画出一个腰长为 10、面积为3的等腰△DEF；
(3)在数轴上作出表示无理数− 13．
23.(本小题10分)
阅读下列解题过程：
1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1；
1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
1 4+ 3= 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)= 4− 3=2− 3；
…
回答下列问题：(1)1 10+ 9= ______；
(2)观察上面的解题过程，请猜想规律：1 n+ n−1= ______(n>1且n为整数)；
(3)利用这一规律计算：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 98+ 99+1 99+ 100．
24.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=20，BC=12．
(1)直接写出AB的长度______．
(2)设点P在AB上，若∠PAC=∠PCA.求AP的长；
(3)设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 9=3， 27=3 3，
故在实数π2，0， 9，0.23⋅，227， 27，6.1010010001…，1− 2中，无理数有π2， 27，6.1010010001…，1− 2，共4个．
故选：C．
根据无理数的定义即可判定求解．
此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：− 2的相反数为 2．
故选：D．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵ 16< 20< 25，即4< 20<5，
∴估计 20的大小在4与5之间，
故选：C．
应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
此题主要考查了估算无理数的能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】
解：A、 (−3)2=|−3|=3；故A错误；
B、− 32=−|3|=−3；故B正确；
C、 (±3)2=|±3|=3；故C错误；
D、 32=|3|=3；故D错误．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：若假设竹竿长x米，则水深(x−0.5)米，由题意得，
x2=1.52+(x−0.5)2解之得，x=2.5
所以水深2.5−0.5=2米．
故选A．
经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的斜边是竹竿的长，设为x米．一条直角边是1.5，另一条直角边是(x−0.5)米．根据勾股定理，得：x2=1.52+(x−0.5)2，x=2.5.那么河水的深度即可解答．
此题的难点在于能够理解题意，正确画出图形．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平方根的知识，注意掌握一个正数的平方根有两个，负数没有平方根．根据平方根的定义，结合各项进行判断即可．
【解答】解：①2是4的一个平方根，说法正确；
②16的平方根是±4，说法错误；
③−36没有平方根，说法错误；
④−8是64的一个平方根，说法正确；
综上可得①④说法正确，共2个．
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，解题的关键是找准直角边和斜边．先画图，再根据勾股定理易求BC2+AC2的值，再加上AB2即可．
【解答】
解：如图所示，
在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
∵AB=5，
∴BC2+AC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=25+25=50．
故选D．
8.【答案】B
【解析】解：当 12−n等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11.故选B．
如果实数n取最大值，那么12−n有最小值；又知 12−n是正整数，而最小的正整数是1，则 12−n等于1，从而得出结果．
本题主要考查了二次根式的化简与求值，此题的关键是分析当 12−n等于最小的正整数1时，n取最大值．
9.【答案】C
【解析】解：根据勾股定理 582+462≈74cm．
故选C．
利用勾股定理即可求出对角线的长．
本题考查了学生生活常识，数学和生活实际是密切联系的．
10.【答案】B
【解析】解：此图中有两个直角三角形，利用勾股定理可得：
CD2=152−122=81，
∴CD=9，
同理得BD2=132−122=25，
∴BD=5，
当∠ABC是锐角时，如图，
∴BC=14，
此图还有另一种画法．当∠ABC是钝角时，如图，
当是此种情况时，BC=9−5=4．
故选B．
根据勾股定理先求出BD、CD的长，再求BC就很容易了，注意分情况讨论．
此题主要考查了直角三角形中勾股定理的应用．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
11.【答案】± 3
【解析】解：∵ 9=3，
∴实数 9的平方根是± 3．
故答案为：± 3．
根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
12.【答案】 7−2
【解析】解；∵4<7<9，
∴2< 7<3，
∴ 7的小数部分为 7−2，
故答案为 7−2．
先估计 7的大小，再求解其小数部分即可．
本题主要考查估算无理数的大小，估计 7的大小是解题的关键．
13.【答案】<；>
【解析】解：①∵ 3> 2，
∴− 3<− 2，
②∵ 52> 42，
∴ 52−12> 42−12，
即 5−12>12，
故答案为：<，>．
①求出− 3和− 2的绝对值，根据绝对值的大小比较即可；
②根据 52> 42，根据不等式的性质不等式的两边都减去12，即可推出答案．
本题考查了不等式的性质，绝对值，实数的大小等知识点的应用，关键是考查学生能否理解两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，同时能否用比较巧妙的方法比较 5−12和12的大小．
14.【答案】10
【解析】解：直角三角形两直角边分别为3x(cm)，4x(cm)，
则斜边长为： (3x)2+(4x)2=5x(cm)，
∴直角三角形的周长3x+4x+5x=12x=24cm，
∴x=2，
∴斜边长为：5×2=10cm，
故答案为：10．
设直角三角形两直角边分别为3x(cm)，4x(cm)，再根据勾股定理得斜边长为 (3x)2+(4x)2=5x(cm)，结合周长列出方程，求出x的值即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15.【答案】14或1
【解析】解：∵23a−4与2−a是一个正数x的平方根，
∴3a−4=2−a或3a−4+2−a=0，
解得：a=32或a=1，
∴2−a=12或1，
∴x=14或1，
故答案为：14或1．
根据平方根的定义得出3a−4=2−a或3a−4+2−a=0，求出a，再求出2−a的值，即可求出x．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义，利用分类讨论思想求出a的值是解此题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB−AE=10−6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2
即CD2+42=(8−CD)2，
解得：CD=3cm．
由折叠的性质知CD=DE，AC=AE.根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE．
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
17.【答案】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC2=AB2−AC2=502−302=402，则BC=40m，
∴小汽车的速度为v=402=20m/s=20×3.6km/h=72km/h；
∵72>70；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【解析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
18.【答案】解：(1)原式=4−(−4)+2− 3+6× 33
=8+2− 3+2 3
=10+ 3；
(2)原式=(2×2 3−4× 24+3×4 3)×5 2
=(16 3− 2)×5 2
=80 6−10．
【解析】(1)先利用二次根式的性质化简二次根式，再合并求解即可；
(2)先利用二次根式的性质化简二次根式，再算括号内的，然后进行二次根式的乘法运算求解即可．
本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解答的关键．
19.【答案】解：
(1)系数化为1可得：x2=4，两边开方得：x=±2；
(2)由立方根的定义可得：2x−1=−2，解得x=−12．
【解析】(1)利用解方程的步骤求解，注意解的最后一步利用平方根来求解；
(2)利用立方根的定义可得出x的一元一次方程，再求解即可．
本题主要考查平方根和立方根的定义及求法，正确掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
20.【答案】解：设小正方体的棱长为x cm，
根据题意得，8x3=1000，
x3=10008，
x=5．
即小正方体的棱长为5cm，
则小正方体表面积为：6×5×5=150(cm2)，
答：小正方体的棱长为5cm，表面积为150cm2．
【解析】设小正方体的棱长为xcm，根据题意得8x3=1000，解方程可求正方体小木块的棱长，进而可求得表面积．
本题考查了立方根的实际应用，是基础题，熟记立方根概念是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵BC=8，BD=4，CD=4 3，
∴CD2+BD2=(4 3)2+42=64，CB2=82=64，
∴CD2+BD2=BC2，
∴∠CDB=90°；
(2)解：∵∠CDB=90°，AB=AC，
∴∠CDA=180°−∠CDB=90°，
在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，
∴CD2+(AB−BD)2=AC2，
∴(4 3)2+(AC−4)2=AC2，
解得：AC=8．
∴AC的长为8．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理判断即可；
(2)根据勾股定理求出AC即可．
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图1，在直角三角形ABC中，AC=2，BC=1，由勾股定理可得AB= AC2+BC2= 5，
线段AB就是要求作的线段；
(2)如图2，由(1)得，DE=DF= 10，底为2，高为3，此时三角形DEF的面积为3，
△DEF就是要求作的三角形；
(3)如图3，OM=3，MN=2，MN⊥OM，
由(1)可得ON= 32+22= 13，
以O为圆心，ON为半径画弧，在数轴的负半轴交于P，
点P就是要求作的点，此时点P所表示的数是− 13．
【解析】(1)根据勾股定理得到 12+22= 5，即可在网格图中构造两条直角边分别为1和2的直角三角形，其斜边为线段AB即可；
(2)由(1)的方法画出 10的线段，再根据三角形面积得出底为2，高为3，腰为 10的等腰三角形DEF即可；
(3)利用(1)的方法构造直角三角形得出 13的线段，再根据画线段的方法即可．
本题考查数轴表示数，估算无理数的大小，掌握勾股定理以及数轴表示数的方法是正确解答的关键．
23.【答案】 10− 9 n− n−1
【解析】解：(1)1 10+ 9= 10− 9；
故答案为： 10− 9；
(2)1 n+ n−1= n− n−1(n>1且n为整数)；
故答案为： n− n−1；
(3)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 100− 99
= 100−1
=10−1
=9．
(1)(2)利用题目中的化简结果所得到的规律求解；
(3)先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
24.【答案】16
【解析】解：(1)∵∠ABC=90°，AC=20，BC=12，
∴AB= AC2−BC2= 202−122=16，
故答案为：16；
(2)∵∠PAC=∠PCA，
∴AP=PC，
设AP=PC=x，
∴PB=16−x，
∵∠B=90°，
∴BP2+BC2=CP2，
∴(16−x)2+122=x2，
解得：x=252，
∴AP=252；
(3)AM的长为8或10或285．
如图(1)，当CB=CM=12时，AM=AC−CM=20−12=8；
如图(2)，当BM=CM时，AM=BM=CM=12AC=10；
如图(3)，当BC=BM时，过B作BH⊥AC于点H，
则BH=AB⋅BCAC=485，
∴CH= BC2−BH2= 122−(485)2=365，
∴CM=2CH=725，
∴AM=AC−CM=20−725=285，
综上所述，AM的长为8或10或285．
(1)依据勾股定理进行计算，即可得出AB的长度；
(2)设AP=PC=x，依据勾股定理列方程求解即可得到AP的长；
(3)依据△MBC为等腰三角形，分三种情况讨论即可得到AM的长．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，分类讨论是解题的关键．