2021-2022学年广东省佛山市南海区平洲第二初级中学九年级（下）第一次大测数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省佛山市南海区平洲第二初级中学九年级（下）第一次大测数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 若，则

A.  B.  C.  D.

2. 习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近人，数据可用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 已知一组数据，，，，，有唯一的众数，则的值是

A.  B.  C.  D. 无法确定

4. 某几何体的主视图如图所示，则它的左视图为

A.
B.
C.
D.

5. 正多边形的一个外角等于，这个多边形的边数是

A.  B.  C.  D.

6. 若，则下列不等式一定成立的是

A.  B.  C.  D.

7. 下列分解因式正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 下列说法正确的是

A. 的算术平方根是 B. 的平方根是
C. 没有立方根 D. 的立方根是

9. 如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在矩形中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为，的面积为把看作的函数，函数的图象如图所示，则图中的等于

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 计算______．
12. 如图，在中，，、之间的距离为，则线段______．
    
     

13. 若，则______．
14. 已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ______填“”，“”或“”

15. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后的抛物线为______．
16. 如图，在边长为的等边三角形中，，分别是边，的中点，于点，连结，则的长为______．
    
     

17. 水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠不考虑管道两端的情况，需计算带子的缠绕角度指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分若带子宽度为，水管直径为，则的余弦值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在▱中，，．
    尺规作图：作的平分线交于点；
    在所作图形中，求线段的长．

20. 若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并判断不是这个方程的解．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，是直角三角形，点是线段上的一点，以点为圆心，为半径作圆．交线段于点，作线段的垂直平分线，交线段于点．
    若，求的度数；
    证明：是的切线．
    
     

22. 某校为了加强同学们的安全意识，随机抽取部分同学进行了一次安全知识测试，按照测试成绩分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，绘制了如下不完整的统计图．
    
    参加测试的学生人数为______，等级为优秀的学生的比例为______；
    该校有名学生，请估计全校安全意识较强测试成绩能达到良好以上等级的学生人数；
    成绩为优秀的甲、乙两位同学被选中与其他学生一起参加安全宣讲活动，该活动随机分为，，三组．求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某工厂制作，两种手工艺品，每天每件获利比多元，获利元与获利元时的数量相等．
    制作一件和一件分别获利多少元？
    工厂安排人制作，两种手工艺品，每人每天制作件或件在的条件下，每天制作不少于件．当每天制作件时，每件获利不变，若每增加件，则当天平均每件获利减少元．求每天制作二种手工艺品的人数及可获得的总利润元的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，为线段上一点，分别以、为边在的同侧作等边与等边，连接．
    
    如图，当时，直接写出与的数量关系为______；
    在的条件下，点关于直线的对称点为，连接、，求证：平分；
    现将图中绕点顺时针旋转一定角度，如图，点关于直线的对称点为，则中的结论是否成立并证明．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，已知抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点．
    求，，三点的坐标；
    作轴于点，求证：∽；
    若点为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，则是否还存在除点外的其他位置的点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的点坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，，
故选：．
根据互为相反数的绝对值相等，可得一个绝对值表示的数．
本题考查了绝对值，互为相反数的绝对值相等．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

解：在这组已知的数据中，“”出现次，“”出现次，“”出现次，
要使这组数据有唯一的众数，因此所表示的数一定是，
故选：．
根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可．
本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这这组数据的众数是正确判断的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：由题意可得，它的左视图为．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的线都应表现在三视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

5.【答案】

【解析】

解：正多边形的外角和为，
此多边形的边长为：．
故选：．
由正多边形的外角和为，及正多边形的一个外角等于，可得结论．
本题主要考查正多边形的外角，熟知多边形外角和为是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：因为，所以，故A不符合题意；
B.因为，所以，故B不符合题意；
C.因为，所以，故C不符合题意；
D.因为，所以，故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式是各项含有公因式，必须先提公因式．
 

8.【答案】

【解析】

解：：的算术平方根是，符合题意；
：的平方根是，不符合题意；
：有立方根，不符合题意；
：的立方根是，不符合题意；
故选：．
解：：正数的算术平方根是正数；
：正数的平方根有两个，并且互为相反数；
：有立方根；
：正数的立方根只有个正数．
本题主要考查了算术平方根和平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：如图，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，．

由题意垂直平分线段，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
的最大值为，
的面积的最大值为，
故选：．
过点作于点，过点作于点，交于点，连接，解直角三角形求出，求出的最大值，可得结论．
本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出的最大值，属于中考常考题型．
 

10.【答案】

【解析】

解：根据图象可知，，，
当在上时，的面积不变，
，
，
，
又是直角三角形，
，
，
解得舍去，
故选：．
根据点的运动情况，分点在上，上，上三种情况讨论，用表示出，，的长度，再根据勾股定理即可确定的值．
本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据点在不同的位置时所对应的函数图象部分，将矩形的边用表示出来．
 

11.【答案】

【解析】

解：原式
，
故答案为：．
根据整式的除法法则计算即可得出答案．
本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：如图，连接，．
，
，
，
，
故答案为．
利用等弧或同弧所对的弦相等进行解答．
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题关键是掌握等弧或同弧所对的弦相等进行解答．
 

13.【答案】

【解析】

解：，



．
故答案为：．
把看作一个整体，代入所求代数式进行计算即可．
本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：根据图示，可得：，
．
故答案为：．
根据图示，可得：，据此判断出的正负即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

15.【答案】

【解析】

解：，
将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后的抛物线为，即．
故答案为：．
按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

16.【答案】

【解析】

解：是等边三角形，
，，
、分别是、的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
根据等边三角形的性质得出，，求出，根据等边三角形的判定定理得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理和等边三角形的性质和判定等知识点，能求出是解此题的关键．
 

17.【答案】

【解析】

解：水管直径为，
水管的周长为，
．
故答案为：．
本题使带子全部包住管道且不重叠不考虑管道两端的情况，即斜边长为水管的周长为根据锐角三角函数的定义即可求得的余弦值．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
 

18.【答案】

解：

．
 

【解析】

先计算零次幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及乘方，再计算加减即可．
此题考查了实数的零次幂、整数指数幂、特殊角的三角函数值及加减混合运算的能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算．
 

19.【答案】

解：如图：
四边形是平行四边形，
，，
的平分线交于点，
，
，
．
 

【解析】

利用尺规作图进行分析即可；
利用角平分线得出，得出，进而得出的长度．
此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的对边相等进行分析．
 

20.【答案】

解：把和代入方程得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
方程为，
把代入方程得：左边，右边，
左边右边，
是这个方程的解．
 

【解析】

把与的两对值代入方程得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

21.【答案】

解：，，
，
，
，
；
证明：垂直平分，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
 

【解析】

根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到；
根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】

人 
 

【解析】

解：抽取的学生数：人；
优秀人数：；
故答案为：人；；
成绩未达到良好的女生所占比例为：，
所以全校安全意识较强测试成绩能达到良好以上等级的学生人数约：名；
如图：

可得一共有种可能，甲、乙两人恰好分在同一组有种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后求出优秀的学生的比例即可；
计算出成绩未达到良好的女生所占比例，再利用样本代表总体的方法得出答案；
直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．
此题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，由图形获取正确信息是解题关键．
 

23.【答案】

解：设制作一件种手工艺品获利元，则制作一件种手工艺品获利元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：制作一件种手工艺品获利元，制作一件种手工艺品获利元．
设安排人制作种手工艺品，则安排人制作种手工艺品，每件种手工艺品获利元，
依题意得：，
即．
，
当时，取得最大值，最大值为，此时．
答：当安排人制作种手工艺品，人制作种手工艺品时，总利润取得最大值，最大值为元．
 

【解析】

设制作一件种手工艺品获利元，则制作一件种手工艺品获利元，根据获利元与获利元时的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出制作一件种手工艺品获得的利润，再将其代入中即可求出制作一件种手工艺品获得的利润；
设安排人制作种手工艺品，则安排人制作种手工艺品，每件种手工艺品获利元，利用获得的总利润制作每件种手工艺品获得的利润制作数量制作每件种手工艺品获得的利润制作数量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】

【解析】

解：，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，由对称性得，，
，
，
，
由可得，
，
，
即平分；
结论仍然正确，理由如下：
如图，由对称性可知：，

又，
，
，，都在以为圆心，为半径的圆上，
，
同理可得．，
，
平分．
根据等边三角形的性质可知，从而得出答案；
由，则，由可得，得，等量代换即可；
根据，则，，都在以为圆心，为半径的圆上，得，同理可得．，从而证明结论．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，证明点，，都在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键．
 

25.【答案】

解：，
顶点；
由，解得：或
，；

证明：，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
∽；
存在这样的点，
设，则，
，，
当以，，为顶点的三角形与相似时，
有或，
由知：，，
当时，则，
当在第二象限时，，，
，解得：舍，，
当在第三象限时，，，
，解得：舍，，
当时，则，
同理代入可得：或舍，
综上所述，存在这样的点，坐标为或或．
 

【解析】

将抛物线配方后可得顶点的坐标，将抛物线和一次函数的解析式联立方程组，解出可得和的坐标；
先根据两点的距离计算、、的长，根据勾股定理的逆定理可得：，最后根据两边的比相等且夹角为度得两三角形相似；
存在，设，则，表示，，分两种情况：有或，根据比例式代入可得对应的值，计算点的坐标即可．
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、两点的距离、勾股定理的逆定理、三角形相似的性质和判定等知识，解题的关键是利用两点的距离公式可坐标表示线段的长，利用三角形相似的判定证明相似是关键，并利用分类讨论的思想解决第问．