2024年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={−1,1,2,4}，则A∩B=( )
A. {1,2,3}B. {1,2}C. {2,3}D. {−1,1,2}
2.已知a∈R，若z=a+i2i−1为纯虚数，则a=( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
3.已知f(x)=x3+2x2,x≥0x3+ax2,x0,b>0)的右顶点，O为坐标原点，B，C为双曲线E上两点，且AB+AC=2AO，直线AB，AC的斜率分别为2和14，则双曲线E的离心率为( )
A. 2B. 52C. 62D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C1：(x−3)2+y2=1,C2：x2+(y−a)2=16，则下列结论正确的有( )
A. 若圆C1和圆C2外离，则a>4
B. 若圆C1和圆C2外切，则a=±4
C. 当a=0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D. 当a=−2时，圆C1和圆C2相交
10.已知函数f(x)=cs2x+acsx+2，则下列说法正确的有( )
A. 当a=0时，f(x)的最小正周期为π
B. 当a=1时，f(x)的最小值为78
C. 当a=3时，f(x)在区间[0,2π]上有4个零点
D. 若f(x)在(0,π3)上单调递减，则a≥2
11.已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4.设E为空间内任一点，且A，B，C，D，E五点在同一个球面上，则( )
A. AB⊥CD
B. 四面体ABCD的体积为2 14
C. 当AE=2 3时，点E的轨迹长度为4π
D. 当三棱锥E−ABC的体积为 146时，点E的轨迹长度为3 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有______种(用数字作答)．
13.已知P为椭圆C：x29+y23=1上的一个动点，过P作圆M：(x−1)2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为______．
14.若直线y=2x为曲线y=eax+b的一条切线，则ab的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短、质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照[5.75,6.25)，[6.25,6.75)，[6.75,7.25)，[7.25,7.75)，[7.75,8.25)，[8.25,8.75]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求a的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=π4,4bcsC= 2c+2a．
(1)求tanC；
(2)若△ABC的面积为32，求BC边上的中线长．
17.(本小题15分)
如图1，在平面四边形PABC中，PA⊥AB，CD/​/AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.点E是线段PC上靠近P端的三等分点，将△PDC沿CD折成四棱锥P−ABCD，且AP=2 2，连接PA，PB，BD，如图2．

(1)在图2中，证明：PA//平面BDE；
(2)求图2中，直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，点F(0,1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记P的轨迹为Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)设M为直线y=−1上的动点，过M的直线与Γ相切于点A，过A作直线MA的垂线交Γ于点B，求△MAB面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+2ax+1．
(1)设函数g(x)=x+1x⋅f(x)−lnxx，讨论g(x)的单调性；
(2)设x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，证明：|f(x2)−f(x1)|0恒成立，
即a≤4x+x恒成立，因为4x+x≥2 x×4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，所以a≤4，
所以a的取值范围为(−∞,4]．
故选：D．
由f′(x)≥0恒成立分离常数a，利用基本不等式求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】由题意，利用诱导公式、二倍角的余弦公式，化简要求的式子，可得结果．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式，属于基础题．
【解答】
解：∵cs(α+π6)=14，
可得sin(2α−π6)=−cs[π2+(2α−π6)]=−cs(2α+π3)=1−2cs2(α+π6)=1−2×116=78，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：A(a,0)，设B(x0,y0)，C(−x0,−y0)，则x02a2−y02b2=1，
则kAB=y0x0−a=2,kAC=y0x0+a=14，
kAB⋅kAC=y02x02−a2=b2(x02a2−1)x02−a2=b2a2=14×2=12，
∴e=ca= c2a2= a2+b2a2= 1+(ba)2= 1+12= 62．
故选：C．
先判断出B，C两点关于原点对称，设出B，C的坐标，根据AB+AC=2AO，可知O是BC中点，B，C两点关于原点对称，根据直线AB，AC的斜率列方程，求得b2a2，进而求得双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：C1(3,0),C2(0,a),|C1C2|= 9+a2,r1=1,r2=4．
若C1和C2外离，则|C1C2|= 9+a2>r1+r2=5，解得a>4或a0在(0,+∞)上恒成立，则g(x)在(0,+∞)上单调递增．
综上，当a>0时，g(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增，
当a≤0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)证明：f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2(x>0)，
∵x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，
∴x1x2=1,x1+x2=2a−2,x2−x1=2 a2−2a(a>2)．
∴2(a−2) a2−2aa−1=2 a2−2a−2 a2−2aa−1=x2−x1−2x2−x1x2+x1，
综上，要证|f(x2)−f(x1)|1,g(t)=lnt−2(t−1)t+1．
∴g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
∴g(t)在(1,+∞)上单调递增，∴g(t)>g(1)=0．
∴|f(x2)−f(x1)|0)，根据x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，结合根与系数的关系，要证|f(x2)−f(x1)|