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    2024年黑龙江省哈尔滨122中高考数学二模试卷(含解析)
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    2024年黑龙江省哈尔滨122中高考数学二模试卷(含解析)

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    这是一份2024年黑龙江省哈尔滨122中高考数学二模试卷(含解析),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(21.5)等于( )
    A. 0.14B. 0.62C. 0.72D. 0.86
    2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
    A. f(x)=−lnxB. f(x)=12xC. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|
    3.已知集合A={x|x>−1,x∈R},B={x|x2−x−2≥0,x∈R},则下列关系中,正确的是( )
    A. A⊆BB. ∁RA⊆∁RBC. A∩B=⌀D. A∪B=R
    4.“sin2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的( )
    A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
    C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    5.长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中,大约有15的学生每天玩手机超过1h,这些人近视率约为12,其余学生的近视率约为38,现从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是( )
    A. 15B. 716C. 25D. 78
    6.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P,Q两点,|QF2|=2|PF2|,cs∠PF2Q=14,则椭圆C的离心率为( )
    A. 55B. 105C. 22D. 34
    7.已知圆O的方程为x2+y2=1,过第一象限内的点P(a,b)作圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若PO⋅PA=8,则a+b的最大值为( )
    A. 3B. 3 2C. 4 2D. 6
    8.已知函数f(x)的导函数f′(x)=(x+2)(x2+x+m),若−2是函数f(x)的极大值点,则实数m的取值范围为( )
    A. (−2,+∞)B. (−4,−2]C. (−∞,−2]D. (−∞,−2)
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
    A. f(x)=2sin(4x+π3)
    B. |f(x)|的最小正周期为π2
    C. 不等式f(x)≥1的解集为{x |−π24+kπ2≤x≤π8+kπ2,k∈Z}
    D. 将f(x)的图象向右平移θ个单位长度变为偶函数,则θ的最小值是5π24
    10.关于函数f(x)=ex,g(x)=x2,下列说法正确的是( )
    A. 若过点(a,b)可以作曲线f(x)的两条切线,则0B. 若f(x)−kx≥0在R上恒成立,则实数k的取值范围为0≤k≤e
    C. 若g(x)≤mf(x)在[1,3]上恒成立,则m≥4e2
    D. 若函数h(x)=g(x)f(x)−t有且只有一个零点,则实数t的范围为t>4e2
    11.已知复数z0=1−i和z,则下列命题是真命题的有( )
    A. 若z满足|z−z0|=z0+z0−,则其在复平面内对应点的轨迹是圆
    B. 若z满足|z−z0|+|z−z0−|=3,则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆
    C. 若z满足|z−z0|−|z−z0−|=2,则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线
    D. 若z满足|z+z0+z0−|=|z−z0−|,则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,(AB+BC+CD)⋅DE=______.
    13.测量塔高AB时,选取与塔底B在同一水平内的两个测量点C与D,现测得∠BCD=5π12,∠BDC=π3,CD=100,在点C测得塔顶A的仰角为π4,测塔高AB=______.
    14.已知点A1,A2是等轴双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点,且点M是双曲线C上异于A1,A2一点,∠A1MA2=2∠MA1A2,则∠MA1A2= ______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0,− 3),F2(0, 3),且椭圆C过点P( 32,1).
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)过点Q(12,1)作直线l交椭圆于M,N两点,Q是弦MN的中点,求直线l的方程.
    16.(本小题15分)
    中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”,使我国一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度,生产效益逐步攀升.该企业在今年1月份至5月份的生产利润y(单位:亿元)关于月份x的数据如表所示:
    (1)试求y与x之间的相关系数r,并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系;(若|r|>0.75,则认为两个变量具有较强的线性相关性)
    (2)为扩大生产,该企业在M大学启动了校园招聘,分别招聘A、B两个工程师岗位,两个岗位都各设有3门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘,且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌报考A岗位,每门笔试科目通过的概率依次为12,t,25,其中0附:参考数据:i=15(xi−x−)2=10,i=15(yi−y−)2=40,i=15(xi−x−)(yi−y−)=19.
    相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2.
    17.(本小题15分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PB=AB=1,AD=PD=2,∠BAD=60°.
    (1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
    (2)若二面角P−BD−A的大小为120°,点E在棱PD上,且PE=2ED,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
    18.(本小题17分)
    已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.
    (Ⅰ)求an和bn;
    (Ⅱ)设cn=1an−1bn(n∈N*),记数列{cn}的前n项和为Sn.
    (i)求Sn;
    (ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.
    19.(本小题17分)
    对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质.
    (1)若f(x)=sinx与g(x)=cs2x具有“m关联”性质,求m的取值范围;
    (2)已知a>0,f(x)为定义在R上的奇函数,且满足;
    ①在[0,2a]上,当且仅当x=a2时,f(x)取得最大值1;
    ②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a−x)=0.
    求证:y1=sinπx+f(x)与y2=csπx−f(x)不具有“4关联”性.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,
    P(2P(X>1.5)=P(1.5故选:D.
    根据正态曲线的对称性即可得.
    本题考查正态分布的性质,属于基础题.
    2.【答案】C
    【解析】解:对于A,因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增,y=−x在(0,+∞)上单调递减,
    所以f(x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减,故A错误;
    对于B,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=1x在(0,+∞)上单调递减,
    所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,故B错误;
    对于C,因为y=1x在(0,+∞)上单调递减,y=−x在(0,+∞)上单调递减,
    所以f(x)=−1x在(0,+∞)上单调递增,故C正确;
    对于D,因为f(12)=3|12−1|=312= 3,f(1)=3|1−1|=30=1,f(2)=3|2−1|=3,
    显然f(x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调,D错误.
    故选:C.
    利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.
    本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断,属于基础题.
    3.【答案】D
    【解析】解:已知集合A={x|x>−1,x∈R},B={x|x2−x−2≥0,x∈R},
    解得B={x|x≥2或x≤−1,x∈R},
    ∁RA={x|x≤−1,x∈R},∁RB={x|−1则A∪B=R,A∩B={x|x≥2},
    故选:D.
    根据集合的基本运算对每一选项判断即可.
    本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
    4.【答案】C
    【解析】解:∵sin2θ=2sinθ⋅csθ>0⇔sinθcsθ>0⇔tanθ>0,
    ∴θ为第一或第三象限角.
    故选:C.
    由题意sin2θ=2sinθ⋅csθ>0即sinθ与csθ同号,即tanθ>0,由任意角三角函数定义即可知角所在象限.
    本题考查了不同象限角的三角函数值的符号判断,任意角三角函数的定义,同角三角函数基本关系式,属于基础题.
    5.【答案】C
    【解析】解:某学校学生中,大约有15的学生每天玩手机超过1h,则有45的学生每天玩手机低于1h,
    超过1h近视率约为12,低于1h近视率约为38,
    所以从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是15×12+45×38=410=25.
    故选:C.
    根据近视情况分为超过1h和低于1h两种可能,利用古典概率模型计算可得.
    本题考查古典概率模型,属于基础题.
    6.【答案】B
    【解析】解:设椭圆C的焦距为2c,|PF2|=t,|QF2|=2t,
    有|PF1|=2a−t,|QF1|=2a−2t,|PQ|=4a−3t,
    在△PQF2中,由余弦定理有(4a−3t)2=t2+4t2−2⋅t⋅2t⋅14,有t=45a,
    可得|QF2|=85a,|PQ|=85a,|PF1|=65a,
    有∠PF2Q=∠QPF2,则cs∠PF2Q=cs∠QPF2=14,
    在△PF1F2中,由余弦定理有2c= (6a5)2+(4a5)2−2×6a5×4a5×14=2 10a5,
    可得e=ca= 105,
    则椭圆C的离心率为 105.
    故选:B.
    设椭圆C的焦距为2c,|PF2|=t,|QF2|=2t,利用椭圆的性质和余弦定理即可求解.
    本题考查了椭圆的性质,属于中档题.
    7.【答案】B
    【解析】解:如图,
    由PO⋅PA=8,得|PO||PA|cs∠OPA=|PA|2=a2+b2−1=8,
    即a2+b2=9.
    ∴(a+b)2≤2(a2+b2)=18,
    ∴a+b的最大值为3 2,
    故选:B.
    由已知结合数量积的几何意义求得a2+b2=9,再由基本不等式求最值.
    本题主要考查向量数量积的几何意义,考查基本不等式的运用,是中档题.
    8.【答案】D
    【解析】解:由题意f′(x)=(x+2)(x2+x+m),
    令g(x)=x2+x+m,
    若g(x)≥0恒成立,
    则当x∈(−∞,−2)时f′(x)≤0,f(x)单调递减,
    当x∈(−2,+∞)时f′(x)≥0,f(x)单调递增,
    所以−2是f(x)的极小值点,不合题意,
    所以g(x)有两个不同零点,
    设g(x)的两个零点分别为x1,x2(x1结合三次函数的图象与性质知:x1<−2在(−∞,x1),(−2,x2)上f′(x)<0,f(x)单调递减,
    在(x1,−2),(x2,+∞)上f′(x)>0,f(x)单调递增,
    所以−2是f(x)的极大值点,符合题意,
    此时需g(−2)=2+m<0,得m<−2,
    所以实数m的取值范围为(−∞,−2).
    故选:D.
    令g(x)=x2+x+m且g(x)≥0恒成立,根据f(x)的极值点得到矛盾,g(x)有两个不同的零点,利用三次函数性质判断f(x)单调性,进而求参数范围.
    本题考查导数的综合应用,解题中注意转化思想的应用,属于中档题.
    9.【答案】ACD
    【解析】解:由题意得,12T=π6−(−π12)=π4,
    所以T=π2,ω=4,f(x)=2sin(4x+φ),
    由五点作图法可知,4×(−π12)+φ=0,即φ=π3,
    所以f(x)=2sin(4x+π3),A正确;
    根据函数图象的变换可知,|f(x)|的最小正周期为π4,B错误;
    由f(x)=2sin(4x+π3)≥1可得,sin(4x+π3)≥12,
    所以π6+2kπ≤4x+π3≤5π6+2kπ,k∈Z,
    解得,kπ2−π24≤x≤kπ2+π8,k∈Z,C正确;
    将f(x)的图象向右平移θ个单位长度可得y=2sin(4x+π3−4θ),
    若该函数为偶函数,则π3−4θ=π2+kπ,k∈Z,
    所以θ=−π24−kπ4,k∈Z,
    因为θ>0,
    则θ的最小值为5π24,D正确.
    故选:ACD.
    根据图象求出函数的解析式,结合三角函数的性质即可得到结论.
    本题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键.要求熟练掌握函数图象的性质,属于中档题.
    10.【答案】ABC
    【解析】解:对A:由题意知可知当点(a,b)在曲线f(x)=ex的下方和x轴上方才可以作出两条切线,
    所以0对B:由f(x)−kx≥0在R上恒成立,等价于y=ex在R上横在y=kx上方,
    设y=ex的切点坐标为(x0,y0),其切线方程为y−ex0=ex0(x−x0),
    对应的切线经过坐标原点,将(0,0)代入解得x0=1,其切线斜率k=e,
    所以实数k的取值范围为0≤k≤e,故B正确;
    对C:若g(x)≤mf(x)在[1,3]上恒成立,则m≥g(x)f(x)=x2ex在[1,3]时恒成立,
    即m≥(g(x)f(x))max,x∈[1,3],设F(x)=g(x)f(x)=x2ex,x∈[1,3],则F′(x)=x(2−x)ex,
    当x∈[1,2)时,F′(x)>0,当x∈(2,3],F′(x)<0,
    所以F(x)在区间[1,2)上单调递增,(2,3]上单调递减,
    当x=2时,F(x)取到极大值也是最大值为F(2)=4e2,所以m≥4e2,故C正确;
    对D:由C知,当x∈(−∞,0)时,F′(x)<0,当x∈(0,2)时,F′(x)>0,
    当x∈(2,+∞)时,F′(x)<0,
    所以F(x)在区间(−∞,0),(2,+∞)上单调递减,(0,2)上单调递增,
    当x=0时,F(x)取到极小值F(0)=0,当x=2时,F(x)取到极大值F(2)=4e2,
    而x>0时,f(x)>0恒成立,故可画出函数F(x)的图象如下:
    要求函数h(x)=g(x)f(x)−t的零点,即求y=F(x)与y=t图象的交点个数,
    所以可知t>4e2或t=0时,有且只有一个零点,故D错误.
    故选:ABC.
    根据题意可知点(a,b)在f(x)=ex下方及x轴上方,从而可对A判断;设出y=ex切点(x0,y0),求出切线方程,再结合题意中的几何条件,从而可对B判断;构造函数F(x)=x2ex,利用导数分别可求出F(x)的单调性及最值情况,画出相应图象,从而可对C、D判断求解.
    本题主要考查利用导数研究函数的最值,函数恒成立问题,利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查运算求解能力,属于中档题.
    11.【答案】AB
    【解析】解:因为z0=1−i,可得|z−z0|=z0+z0−=2,
    表示复平面内点(x,y)与点(1,−1)之间的距离为定值2,
    则z在复平面内对应点的轨迹是圆,故A正确;
    |z−z0|+|z−z0−|=3,表示复平面内点(x,y)到点(1,−1)和(1,1)的距离之和为3,
    又|z0−z0−|=2,满足椭圆的定义2a>|F1F2,故B正确;
    足|z−z0|−|z−z0−|=2,表示复平面内点(x,y)到点(1,−1)和(1,1)的距离之差为2,
    又|z0−z0−|=2,不满足双曲线的定义2a<|F1F2|,故C不正确;
    |z+z0+z0−|=|z−z0−|,表示复平面内点(x,y)到点(−2,0)和(1,1)的距离相等,
    故轨迹是直线,故D错误.
    故选:AB.
    运用复数的几何意义,结合圆,椭圆,双曲线,抛物线的定义可判断每个选项的正确性.
    本题考查复数的几何意义,考查椭圆,双曲线,抛物线的定义,属基础题.
    12.【答案】−1
    【解析】解:依题意,∠ADE=60°,AD=2DE,
    则(AB+BC+CD)⋅DE=AD⋅DE=−|DA|⋅|DE|cs=−2×1×cs60°=−1.
    故答案为:−1.
    由正六边形性质,结合向量线性运算及数量积运算即可.
    本题考查平面向量的数量积及其运用,考查运算求解能力,属于基础题.
    13.【答案】50 6
    【解析】解:如图,
    线段AB是塔,△BCD在地平面内,∠BCD=5π12,∠BDC=π3,CD=100,
    则有∠CBD=π4,由正弦定理BCsin∠CDB=CDsin∠CBD,
    得:BC=100sinπ3sinπ4=50 6,直角△ABC中,AB⊥BC,∠ACB=π4,
    则AB=BC=50 6,
    所以塔高AB=50 6.
    故答案为:50 6.
    根据给定条件,作出图形,再利用正弦定理及直角三角形边角关系计算作答.
    本题考查解三角形,考查学生的运算能力,属于中档题.
    14.【答案】π8
    【解析】解:设∠MA1A2=α,则∠A1MA2=2α,∠MA2x=3α,
    所以∠MA1A2+∠A1MA2=α+2α=3α∈(0,π),即α∈(0,π3),
    设M(x0,y0),则x02a2−y02b2=1,
    因为双曲线C为等轴双曲线,所以x02a2−y02a2=1,即x02−y02=a2,
    因为A1(−a,0),A2(a,0),
    所以kMA1kMA2=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=1,
    所以tan∠MA1A2⋅tan∠MA2x=1,即tanα⋅tan3α=1,
    所以sinαsin3αcsαcs3α=1,即csαcs3α−sinαsin3α=0,
    所以cs(α+3α)=cs4α=0,
    因为α∈(0,π3),所以4α=π2,即α=π8,
    所以∠MA1A2=π8.
    故答案为:π8.
    设∠MA1A2=α,α∈(0,π3),结合等轴双曲线的定义与直线斜率的求法,推出tanα⋅tan3α=1,再利用同角三角函数的商数关系与两角和的余弦公式,求解即可.
    本题考查双曲线的几何性质,理解等轴双曲线的定义,熟练掌握同角三角函数的商数关系、两角和的余弦公式是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
    15.【答案】解:(1)椭圆C的两个焦点分别为F1(0,− 3),F2(0, 3),
    设椭圆C的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),且c= 3,
    则a2=b2+c2=b2+3①,
    又椭圆C过点P( 32,1),所以1a2+34b2=1②,
    联立①②,解得a2=4,b2=1,
    所以椭圆C的标准方程为y24+x2=1.
    (2)由题意可知直线l的斜率存在,且直线l过点Q(12,1),
    设直线l的方程为y−1=k(x−12),即y=kx+1−12k,
    设M(x1,y1),N(x2,y2),
    则y=kx+1−12ky24+x2=1,消去y得(k2+4)x2+(2k−k2)x+14k2−k−3=0,
    Δ=(2k−k2)2−4(k2+4)(14k2−k−3)>0,
    所以x1+x2=−2k−k2k2+4,x1x2=14k2−k−3k2+4,
    又Q(12,1)是弦MN的中点,所以x1+x2=k2−2kk2+4=1,解得k=−2,
    故直线l的方程为2x+y−2=0.
    【解析】(1)根据焦点坐标设椭圆方程y2a2+x2b2=1(a>b>0),将P( 32,1)代入椭圆方程,结合a2=b2+c2即可求解;
    (2)设直线 l的方程为y−1=k(x−12),联立直线与椭圆方程,得出x1+x2=2k−k2k2+4,再由中点坐标知x1+x22=12,求出k值,即可得到直线l的方程.
    本题考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程,椭圆的性质和直线与椭圆的综合,考查了方程思想和转化思想,属中档题.
    16.【答案】解:(1)由题意,r=19 10× 40=0.95>0.75,故y与x具有较强的线性相关关系.
    (2)由题意,因为每门科目考试是否通过相互独立,
    故张无忌通过A岗位的3门笔试a,b,c门数的数学期望为:
    E(A)=E(a)+E(b)+E(c)=1×12+1×t+1×25=910+t,
    通过B岗位的3门笔试d,e,f门数的数学期望为E(B)=E(d)+E(e)+E(f)=1×12+1×12+1×12=32,
    故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试,则910+t>32,又0即t的取值范围(35,1).
    【解析】(1)计算相关系数r,再进行判断即可;
    (2)分别计算通过A,B两个岗位的科目数学期望,再比较大小判断即可.
    本题考查离散型随机变量的数学期望相关知识,属于中档题.
    17.【答案】(1)证明:在△ABD中,由余弦定理得BD= 12+22−2⋅1⋅2cs60°= 3,
    所以AD2=AB2+BD2,PD2=PB2+BD2,
    因此AB⊥BD,PB⊥BD,又AB∩PB=B,AB,PB⊂平面PAB,
    所以BD∩面PAB,又因为BD⊂平面ABCD,
    故平面PAB⊥平面ABCD;
    (2)解:由于AB⊥BD,PB⊥BD,
    所以二面角P−BD−A的平面角为∠PBA,即∠PBA=120°,
    在平面PAB内过点B作AB的垂线,交AP于F,
    由平面PAB⊥平面ABCD,且BF⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABCD=AB,
    所以BF⊥平面ABCD,以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

    则B(0,0,0),D(0, 3,0),C(−1, 3,0),P(−12,0, 32),
    设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
    由于BC=(−1, 3,0),BP=(−12,0, 32),
    则n⋅BC=0n⋅BP=0,即−x+ 3y=0−12x+ 32z=0,令x= 3,则y=z=1,所以n=( 3,1,1),
    又CE=CP+PE=CP+23PD=(56,− 33, 36),
    设直线CE与平面PBC所成角为θ,
    则 sinθ=|cs〈CE,n〉|=|CE⋅n||CE|⋅|n|=2 33 5 2536+13+336= 65,
    因此直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 65.
    【解析】(1)根据余弦定理求出BD= 3,再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可;
    (2)建立合适的空间之间坐标系,求出相关法向量,根据线面角的空间向量求法即可.
    本题考查了空间几何体中位置关系的证明和空间角的向量求法,属于中档题.
    18.【答案】解:(Ⅰ)∵a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*) ①,
    当n≥2,n∈N*时,a1a2a3…an−1=( 2)bn−1 ②,
    由①②知:an=( 2)bn−bn−1,
    令n=3,则有a3=( 2)b3−b2,
    ∵b3=6+b2,
    ∴a3=8.
    ∵{an}为等比数列,且a1=2,
    设{an}的公比为q,则q2=a3a1=4,
    由题意知an>0,
    ∴q>0,∴q=2.
    ∴an=2n(n∈N*).
    又由a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*)得:
    21×22×23…×2n=( 2)bn,
    2n(n+1)2=( 2)bn,
    ∴bn=n(n+1)(n∈N*).
    (Ⅱ)(i)∵cn=1an−1bn
    =12n−1n(n+1)=12n−(1n−1n+1).
    ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
    =12−(11−12)+122−(12−13)+…+12n−(1n−1n+1)
    =12+122+…+12n−(1−1n+1)
    =1−12n−1+1n+1
    =1n+1−12n;
    (ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,
    当n≥5时,
    cn=1n(n+1)[n(n+1)2n−1],
    而n(n+1)2n−(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n−2)2n+1>0,
    得n(n+1)2n≤5⋅(5+1)25<1,
    所以,当n≥5时,cn<0,
    综上,对任意n∈N*,恒有S4≥Sn,故k=4.
    【解析】本题考查了等比数列通项公式、求和公式,还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可以用二项式定理,还可以用数学归纳法.本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决问题的能力,属于较难题.
    (Ⅰ)先利用前n项积与前(n−1)项积的关系,得到等比数列{an}的第三项的值,结合首项的值,求出通项an,然后现利用条件求出通项bn;
    (Ⅱ)(i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和,得出本小题结论;(ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明.
    19.【答案】解:(1)由题意可知f(x1)=sinx1∈[−1,1],g(x2)=cs2x2∈[−1,1],
    故f(x1)+g(x2)=sinx1+cs2x2∈[−2,2],
    则m的取值范围为[−2,2];
    (2)证明:因为在[0,2a]上,当且仅当x=a2时,f(x)取得最大值1,
    且f(x)为定义在R上的奇函数,
    故在[−2a,0]上当且仅当x=−a2时,f(x)取得最小值−1,
    由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a−x)=0,
    所以f(a+x)=−f(a−x),
    所以f(x)图象关于点(a,0)对称,
    又f(a+x)=−f(a−x)=f(x−a),
    即f(x+2a)=f(x),
    故2a为函数f(x)的周期,
    故f(x)∈[−1,1],
    sinπx∈[−1,1],csπx∈[−1,1],
    当f(x1)=1时,x1=a2+2na,n∈Z,
    sinπx1=1时,x1=12+2k,k∈Z,
    若a2+2na=12+2k,a=4k+14n+1,k,n∈Z,
    此时有y1=sinπx1+f(x1)=2为最大值;
    当f(x2)=−1时,x2=−a2+2ma,m∈Z,
    csπx2=1时,x2=2t,t∈Z,
    若−a2+2ma=2t,a=4t4m−1,t,m∈Z,
    此时有y2=csπx2−f(x2)=2为最大值,
    由于a=4k+14n+1≠4t4m−1,k,n,t,m∈Z,
    故sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)<4,
    即不存在x1∈R,x2∈R,使得sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)=4,
    所以y1=sinπx+f(x)与y2=csπx−f(x)不具有“4关联”性.
    【解析】(1)根据函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质的定义,结合正余弦函数的性质,即可得答案.
    (2)根据f(x)满足的性质,推出其对称性以及周期,可得f(x)∈[−1,1],再结合正弦函数的性质推出sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)<4,即说明不存在x1∈R,x2∈R,使得sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)=4,即可得结论.
    本题属于新概念题,考查了三角函数的性质、抽象函数的奇偶性及周期性,属于中档题.月份x
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