2023-2024学年北京八十中高三（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京八十中高三（下）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3}，B={x|x2−1=0}，则A∪B=( )
A. {1,2,3}B. {−1,1,2,3}C. {1}D. {−1,0,1,2,3}
2.复数z=i1−i(i是虚数单位)的共轭复数z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a,b满足|a|=1，|b|= 2，a−b=( 3, 2)，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 10C. 1D. 2 5
4.下列函数既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=1x−1B. f(x)=(12)|x|
C. f(x)=lg(x2+1)D. f(x)=x−1x
5.( x−1x)5的展开式中，x的系数为( )
A. −5B. −10C. 5D. 10
6.设F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.在△ABC中，AD为∠A的角平分线，D在线段BC上，若|AB|=2，|AD|=|AC|=1，则|BD|=( )
A. 22B. 2C. 2D. 3 22
8.已知函数f(x)=ax+a，则“a>−1”是“函数f(x)在[1,+∞)上存在最小值”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知数列{an}满足：an+1⋅an+an+1−4an+2=0，则下列命题正确的是( )
A. 若数列{an}为常数列，则a1=1
B. 存在a1∈(1,2)，使数列{an}为递减数列
C. 任意a1∈(0,1)，都有{an}为递减数列
D. 任意a1∈(2,+∞)，都有210.如图，已知棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1，在平面α的同侧，顶点A在平面α上，顶点B，D到平面α的距离分别为1和 2，则顶点C1到平面α的距离为( )
A. 6+ 2+1
B. 6+ 2
C. 6+1
D. 2+1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数y=1lg(x−1)的定义域为______．
12.已知双曲线y2−mx2=1的一条渐近线为 3x−y=0，则该双曲线的离心率为______．
13.已知命题p：若a+b≥1，则a3+b3≥1.能说明p为假命题的一组a，b的值为a= ______，b= ______．
14.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为______．
15.已知函数f(x)=tan(sinx)+tan(csx)，则下列说法正确的是______．
①2π是f(x)的周期
②f(x)的图象有对称中心，没有对称轴
③当x∈(0,π2)时，F(x)④对任意k∈Z，f(x)在(kπ−π2,kπ)上单调
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P−ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
(1)求证：AB/​/FG；
(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxcsωx+b(ω>0,b∈R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数f(x)的解析式唯一确定．
(1)求f(x)的解析式及最小值；
(2)若函数f(x)在区间(−t,t)(t>0)上有且仅有2个零点，求t的取值范围．
条件①：函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；
条件②：函数f(x)的图象经过点(π2,1)；
条件③：函数f(x)的最大值与最小值的和为1．
18.(本小题15分)
某公司在2013～2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数÷年生产台数．
(1)从2013～2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；
(3)记公司在2013～2017年，2018～2022年的年生产台数的方差分别为s12，s22.若s12=s22，请写出a的值.(只需写出结论)
(注：s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2]，其中x−为数据x1，x2，⋯，xn的平均数)
19.(本小题15分)
已知椭圆C：x2m+y2=1(m>0)，F1、F2为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，满足|MF1|+|MF2|=2 2，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率．
(Ⅱ)设点P(0,2)，过P的直线l与椭圆C交于A、B两点，满足PA=tPB，点D满足AD=tDB满足，求证：点D在定直线上．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=eax−x−1
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意的实数k，b，函数y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f(x)为“恒切函数”.当a=1时，若函数g(x)=ex2f(x)+m是“恒切函数”，求证：−1821.(本小题15分)
记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn=Mn+mn2．
(1)若an=2n−3n，请写出b1，b2，b3，b4的值；
(2)求证：“数列{an}是递增的等差数列”是“数列{bn}是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若∀n∈N*，|an|<2023，|bn|=1，求证：存在k∈N*，使得∀n≥k，有bn+1=bn．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意集合A={1,2,3}，B={x|x2−1=0}={1,−1}，
所以A∪B={−1,1,2,3}．
故选：B．
化简集合B，结合并集的概念即可得解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵复数z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，
∴z共轭复数z=−12−12i在复平面内对应的点为(−12,−12)在第三象限．
故选：C．
利用复数的运算法则、共轭复数的意义、复数的几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义、复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵a−b=( 3, 2)，∴|a−b|= ( 3)2+( 2)2= 5，
∴|a−b|2=|a|2−2a⋅b+|b|2=3−2a⋅b=5，解得：a⋅b=−1，
∴|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2=1−2+2=1，解得：|a+b|=1．
故选：C．
根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合|a−b|2=5可求得a⋅b，由此可得|a+b|2，进而求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积应用以及模长计算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：f(x)=1x−1，x≠1，为非奇非偶函数，不符合题意；
当x>0时，f(x)=(12)|x|=(12)x单调递减，不符合题意；
f(x)=lg(x2+1)，x∈R，f(−x)=lg[(−x)2+1]=lg(x2+1)=f(x)，即f(x)为偶函数，
当x>0时，根据复合函数的单调性可知，f(x)单调递增，符合题意；
f(x)=x−1x为奇函数，不符合题意．
故选：C．
结合基本初等函数及复合函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数及复合函数奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：( x−1x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r×( x)5−r×(−1x)r=C5r×(−1)r×x52−32r，
令52−32r=1，得r=1，
∴x的系数为C51×(−1)1=−5．
故选：A．
先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得x的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程x=−p2，
显然点A的横坐标为2，
根据抛物线定义得|AF|=2+p2=3，∴p=2．
故选：B．
先根据题意求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用抛物线的几何性质，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，依题意设∠BAD=∠CAD=θ，
由S△ABC=S△ABD+S△ADC，可得
12|AB||AC|sin2θ=12|AB||AD|sinθ+12|AC||AD|sinθ，
即sin2θ=sinθ+12sinθ=32sinθ，即2sinθcsθ=32sinθ，
显然sinθ≠0，可得csθ=34，
在△ABD中，由余弦定理可得
csθ=|AB|2+|AD|2−|BD|22|AB||AD|=22+12−|BD|22×2×1=34，
解得|BD|= 2．
故选：B．
根据角平分线利用三角形等面积公式可得cs∠BAD=34，再由余弦定理即可求得|BD|= 2．
本题考查三角形中的几何计算，考查倍角公式及余弦定理，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：(1)当a=0时，f(x)=0恒成立，所以f(x)在[1,+∞)上存在最小值，最小值为0；
(2)当a>0时，f(x)=ax+a，其图象可以看作是由函数y=ax(a>0)的图象向左平移a个单位长度得到的，所以f(x)在[1,+∞)上只有最大值，没有最小值；
(3)当a<0时，f(x)=ax+a，其图象可以看作是由函数y=ax(a<0)的图象向右平移−a个单位长度得到的，所以f(x)若要在[1,+∞)上有最小值，需要−a<1，即a>−1．
综上所述，当−1所以“a>−1”是“−1−1”是“函数f(x)在[1,+∞)上存在最小值”的必要不充分条件．
故选：B．
分别讨论a=0，a>0，a<0时的单调性，求最值可得结果．
本题主要考查函数的单调性和最值，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】解：对A：若数列{an}为常数列，
则an2−3an+2=0，
解得an=1或an=2，
故A错误；
对B：易得an+1=4an−2an+1，
若{an}为递减数列，
则an+1−an=4an−2an+1−an=−an2+3an−2an+1<0，
解得an>2或−1故不存在a1∈(1,2)使得{an}递减数列，
故B错误；
对C，令a1=12，
则a2=0，a3=−2，a4=10，
故{an}不是递减数列，
故C错误；
对D，用数学归纳法证明an>2，
当n=1，a1∈(2,+∞)显然成立，
假设当n=k(k∈N*)，an>2，
则n=k+1时，ak+1−2=4ak−2ak+1−2=2(ak−2)ak+1>0，
故当n=k+1时an>2成立，
由选项B知，对任意 an>2，
则数列{an}为递减数列，
故an≤a1，
故D正确．
故选：D．
解方程判断A，利用单调性结合数学归纳法判断BD，举反例判断C．
本题考查了数列的递推关系，重点考查了数学归纳法，属中档题．
10.【答案】A
【解析】解：以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，D(0,3,0)，C1(3,3,3)，AB=(3,0,0),AD=(0,3,0),AC1=(3,3,3)，
不妨设平面α的法向量为n=(x,y,z)，且x，y，z>0，
由已知dB=|AB⋅n||n|=1dD=|AD⋅n||n|= 2，得9x2=x2+y2+z29y2=2(x2+y2+z2)，
则y2=2x2，z2=6x2，
则dC1=|AC1⋅n||n|=3|x+y+z| x2+y2+z2= 6+ 2+1．
故选：A．
设平面α的法向量为n=(x,y,z)，且x，y，z>0，应用向量法表示点面距，进而求C1到平面α的距离．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量及其应用，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】{x|x>1，且x≠2}
【解析】解：函数y=1lg(x−1)的定义域为x−1>0lg(x−1)≠0，
解得{x|x>1，且x≠2}．
故答案为：{x|x>1，且x≠2}．
由题设知函数y=1lg(x−1)的定义域为x−1>0lg(x−1)≠0，由此能求出其结果．
本题考查对数函数的定义域，解题时要注意分母不能为0．
12.【答案】2 33
【解析】解：由双曲线y2−mx2=1，得y2−x21m=1，
则a=1，b= 1m，其渐近线方程为y=± mx，即 mx±y=0，
∵双曲线y2−mx2=1的一条渐近线为 3x−y=0，
∴ m= 3，可得m=3，则c= 1+1m=2 33．
∴该双曲线的离心率为e=ca=2 33．
故答案为：2 33．
由已知求解m值，进一步求出c，则双曲线的离心率可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】12 23
【解析】解：当a=12，b=23时，满足a+b≥1，但a3+b3=18+827<1，不满足a3+b3≥1．
故答案为：12，23(答案不唯一)．
由已知结合不等式的性质，举出反例即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
14.【答案】134
【解析】解：由题知，满足上述条件的数列为14，29，44，…，
该数列为首项是14，公差为15的等差数列{an}，
则an=14+15(n−1)=15n−1≤2023,n∈N*，
解得n≤134，
故该数列的项数为134．
故答案为：134．
先得到新数列14，29，44，…，是首项为14，公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式即能求出数列的项数．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
15.【答案】①③④
【解析】解：对于A，因为f(x+2π)=tan[sin(x+2π)]+tan[cs(x+2π)]=tan(sinx)+tan(csx)=f(x)，
所以2π是f(x)的周期，①正确；
对于B，因为f(x−π2)=tan[sin(x−π2)]+tan[cs(x−π2)]=tan(csx)+tan(sinx)=f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x=π4成轴对称，即f(x)有对称轴，②错误；
对于C，x∈(0,π2)⇒sinx∈(0,1)，csx∈(0,1)
⇒sinx+csx= 2sin(x+π4)≤ 2<π2
⇒sinx<π2−csx
⇒tan(sinx)⇒0⇒tan(sinx)+tan(csx)
tan(sinx)+tan(csx)即当x∈(0,π2)时，f(x)对于D，因为2π是f(x)的周期，所以只需考虑k=0，1即可．
当k=0时，x∈(−π2,0)，sinx和csx都单调递增⇒f(x)在(−π2,0)上单调递增；
当k=1时，x∈(π2,π)，sinx和csx均单调递减⇒f(x)在(π2,π)上单调递减，④正确．
故答案为：①③④．
由f(x+2π)=f(x)可判断①；由f(x−π2)=f(x)可判断②；由题意当x∈(0,π2)时，有sinx<π2−csx，利用三角函数的性质即可判断③；利用2π是f(x)的周期，可对k分k=0，1两类讨论，分析函数的单调性可判断④．
本题考查三角函数的周期性、对称性及单调性的综合应用，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，
∴AB/​/DE，
又∵AB⊄平面PDE，
∴AB/​/平面PDE，
∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB/​/FG；
(2)解：∵PA⊥底面ABCDE，AB，AE⊂底面ABCDE，
∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如图建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，
E(0,2,0)，F(0,1,1)，BC=(1,1,0)，
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=0n⋅AF=0，即x=0y+z=0，
令z=1，则y=−1，
∴n=(0,−1,1)，
设直线BC与平面ABF所成的角为α，
则sinα=|cs|=|n⋅BC|n|⋅|BC||=12，
∴直线BC与平面ABF所成的角为π6，
设H(u,v,w)，∵H在棱PC上，
∴可设PH=λPC(0<λ<1)，
即(u,v,w−2)=λ(2,1,−2)，
∴u=2λ，v=λ，w=2−2λ，
∵n是平面ABF的法向量，
∴n⋅AH=0，即(0,−1,1)⋅(2λ,λ,2−2λ)=0，解得λ=23，
∴H(43,23,23)，
∴PH= (43)2+(23)2+(−43)2=2．
【解析】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是中档题．
(1)运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；
(2)由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cs|，求出角α；设H(u,v,w)，再设PH=λPC(0<λ<1)，用λ表示H的坐标，再由n·AH=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．
17.【答案】解：若选条件①②：
(1)由题意可知，
f(x)=sin2ωx+sinωxcsωx+b=1−cs2ωx2+12sin2ωx+b
= 22sin(2ωx−π4)+b+12．
函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
则T2=π2=2π2ω，所以ω=1，
因为函数f(x)的图象经过点(π2,1)，
所以f(π2)= 22sin(2×π2−π4)+b+12=1，所以b=0，
所以f(x)= 22sin(2x−π4)+12，
所以f(x)min=− 22+12．
(2)函数f(x)在区间(−t,t)(t>0)上有且仅有2个零点，
2x−π4∈(−2t−π4,2t−π4)，
令f(x)=0，则 22sin(2x−π4)=−12在(−t,t)上有两个根，
即sin(2x−π4)=− 22在(−t,t)上有两个根，
由正弦曲线可知−2t−π4<−3π42t−π4≤5π4，解得π4所以t的取值范围是(π4,3π4].
若选择条件①③：
(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
则T2=π2=2π2ω，所以ω=1，
f(x)min=− 22+b+12，f(x)max= 22+b+12，
函数f(x)的最大值与最小值的和为1，
所以− 22+b+12+ 22+b+12=1，
所以b=0，所以f(x)= 22sin(2x−π4)+12，
所以f(x)min=− 22+12．
(2)函数f(x)在区间(−t,t)(t>0)上有且仅有2个零点，
2x−π4∈(−2t−π4,2t−π4)，
令f(x)=0，则 22sin(2x−π4)=−12在(−t,t)上有两个根，
即sin(2x−π4)=− 22在(−t,t)上有两个根，
由正弦曲线可知−2t−π4<−3π42t−π4≤5π4，解得π4所以t的取值范围是(π4,3π4].
若选条件②③：
f(x)min=− 22+b+12，f(x)max= 22+b+12，
函数f(x)的最大值与最小值的和为1，
所以− 22+b+12+ 22+b+12=1，
所以b=0，
函数f(x)的图象经过点(π2,1)，
所以f(π2)= 22sin(2ω×π2−π4)+12=1，
所以sin(ωπ−π4)= 22，所以ωπ−π4=π4+2kπ,k∈Z，或ωπ−π4=3π4+2kπ,k∈Z，
因为函数f(x)的解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去．
【解析】(1)先将f(x)解析式化简，再代入相应条件求函数解析式；
(2)由x∈(−t,t)，求出2x−π4的范围，再结合正弦曲线，根据条件列出不等式求出t的范围．
此题考查了三角恒等变换，考查了三角函数图像性质，考查了转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)2013年产品的平均利润为3853>100元/台，2014年产品的平均利润为4505=90<100元/台，
2015年产品的平均利润为4205<100元/台，2016年产品的平均利润为5506<100元/台，
2017年产品的平均利润为6106>100元/台，2018年产品的平均利润为9659>100元/台，
2019年产品的平均利润为9989>100元/台，2020年产品的平均利润为100010=100元/台，
2021年产品的平均利润为115010>100元/台，
所以平均利润小于100元/台的有3个，不小于100元/台的有6个，
所以所求的概率为P=C61C31+C62C92=1112；
(2)2013年产品的年返修率为3230000>11000，2014年产品的年返修率为3850000<11000，
2015年产品的年返修率润为5450000>11000，2016年产品的年返修率为5860000<11000，
2017年产品的年返修率为5260000<11000，2018年产品的年返修率为7190000<11000，
2019年产品的年返修率为6490000<11000，2020年产品的年返修率为80100000<11000，
2021年产品的年返修率为75100000<11000，
所以年返修率超过千分之一的年份有2个，不超过千分之一的年份有7个，
X的可能取值为1，2，3，
则P(X=1)=C71C22C93=112，P(X=2)=C72C21C93=12，P(X=3)=C73C93=512，
所以X的分布列为：
所以EX=1×112+2×12+3×512=73．
(3)2013～2017年年生产台数的平均数为x1−=3+5+5+6+65=5(万台)，
所以s12=15[(3−5)2+(5−5)2+⋯+(6−5)2]=1.2，
2018～2022年的年生产台数的平均数为x2−=9+9+10+10+a5=38+a5，
所以s22=15[(9−38+a5)2+(9−38+a5)2+⋯+(a−38+a5)2]=1.2，
解得a=7或12．
【解析】(1)计算出各年产品的平均利润，得到平均利润不小于100元/台的有6个，小于100元/台的有3个，利用组合知识求出概率；
(2)计算出各年的年返修率，得到不超过千分之一的年份有7个，超过千分之一的年份有2个，得到X的可能取值和对应的概率，求出分布列及期望值；
(3)计算出s12，从而得到方程，求出a的值．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由椭圆的定义知，
|MF1|+|MF2|=2 2=2 m，故m=2，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1，
故a= 2,b=1,c= a2−b2=1，
所以椭圆C的离心率为e=ca=1 2= 22．
(2)证明：若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+2，
则联立y=kx+2x22+y2=1可得：(1+2k2)x2+8kx+6=0，
则Δ=64k2−24(2k2+1)=16k2−24>0，解得：k2>32，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−8k2k2+1，x1x2=62k2+1，
由PA=tPB可得：(x1,y1−2)=t(x2,y2−2)，
即x1x2=y1−2y2−2=t，
设D(x0,y0)，由AD=tDB可得：
y0=kx0+2=k⋅3−2k+2=12，所以点D在定直线y=12上；
若直线l的斜率不存在，过P的直线l与椭圆C交于A、B两点，
则A(0,1)，B(0,−1)，
PA=(0,−1)=tPB=t(0,−3)，所以t=13，
则AD=(x0,y0−1)=13DB=13(−x0,−1−y0)，
所以y0−1=13(−1−y0)，解得：y0=12，
满足点D在定直线y=12上．
【解析】(1)由椭圆的定义求出m=2，即可求出椭圆C的方程和离心率；
(2)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+2，与椭圆方程联立消去y整理为关于x的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得k的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．根据PA=tPB可得x1，x2，t间的关系式．设D(x0,y0)，再由AD=tDB可得x0，x2，x1间的关系式，将韦达定理代入化简即可得出点D在定直线y=12上，再检验直线l的斜率不存在是否满足．
本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=eax−x−1，f′(x)=aeax−1，
当a=1时，f′(x)=ex−1，
∴f′(0)=0，当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)有极小值f(0)=0，无极大值．
(2)由f(x)=eax−x−1，得f′(x)=aeax−1，
当a>0时，aeax−1=0，eax=1a，x=ln1aa=−lnaa，
∴f′(−lnaa)=0，且f′(x)=aeax−1为增函数，
∴x>−lnaa时，f′(x)>0，f(x)在(−lnaa,+∞)单调递增；
x<−lnaa时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,−lnaa)单调递减；
当a≤0时，f′(x)=aeax−1≤−1，f(x)在(−∞,+∞)单调递减，
综上，当a>0时，f(x)在(−lnaa,+∞)单调递增，在(−∞,−lnaa)单调递减；
当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)单调递减．
(3)证明：当a=1时，函数g(x)=ex2f(x)+m=ex2(ex−x−1)+m是“恒切函数”，
且g′(x)=ex2(2ex−x−2)，
设函数y=g(x)+kx+b与直线y=kx+b切点(x0,y0)，
则y0=g(x0)+kx0+b=kx0+bg′(x0)+k=k，∴g(x0)=0g′(x0)=0，
∴ex02(ex0−x0−1)+m=0ex02(2ex0−x0−2)=0，∴ex0=x0+22，
m=−ex02(ex0−x0−1)=18(x0+1)2−18，
∵ex0=x0+22，∴x0是方程2ex0−x0−2=0的根，
设h(x)=2ex−x−2，h′(x)=2ex−1，则h′(ln12)=0，
当x当x>ln12时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
且h(x)min=h(ln12)=1−ln12−2=ln2−1<0，
h(0)=2−2=0，h(−2)=2e−2=2e2>0，h(−1)=2e−1<0
x0是方程h(x)=2ex−x−2=0的根，∴x0=0或x0∈(−2,−1)，
∴m=18(x0+1)2−18=0或m∈(−18,0)
故−18【解析】(1)对f(x)求导，利用极值的定义求解即可；
(2)对a分类讨论，求f(x)的单调区间即可；
(3)利用“恒切函数”的定义，列方程组得出m=18(x0+1)2−18，再结合x0的范围求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
21.【答案】解：(1)因为an=2n−3n，
所以a1=−1，a2=−2，a3=−1，a4=4，
所以M1=−1，M2=−1，M3=−1，M4=4，m1=−1，m2=−2，m3=−2，m4=−2，
所以b1=−1，b2=−32，b3=−32，b4=1，
(2)证明：(必要性)当数列{bn}是递增的等差数列时，设其公差为d′，则d′>0，
所以bn−bn−1=Mn+mn2−Mn−1−mn−12=Mn−Mn−12+mn−mn−12=d′>0，
若an若an=an−1，则Mn=Mn−1，mn=mn−1，bn−bn−1=0矛盾，
所以an>an−1，
所以数列{an}是递增的等差数列．
(充分性)当数列{an}是递增的等差数列时，设其公差为d，则d>0，
因为an>an−1>⋅⋅⋅>a1，所以Mn=an，mn=a1，
所以bn=an+a12，
所以 bn−bn−1=an+a12−an−1+a12=d2>0，
所以数列{bn}是递增的等差数列．
综上，“数列{an}是递增的等差数列”是“数列{bn}是递增的等差数列”的充要条件；
(3)假设结论不成立．
因为|bn|=1，即bn=1或者bn=−1，
所以对任意k∈N*，一定存在i>k，使得bi，bi+1符号相反，
所以在数列{bn}中存在bk1，bk2，bk3，……，bki，bki+1……，其中k1且−1=bk1=bk2=bk3=⋯=bki=bki+1⋯，
1=bk1+1=bk2+1=bk3+1=⋯=bki+1=bki+1+1⋯，
因为bki=−1,bk1+1=1，
即Mki+mki2=−1，Mki+1+mki+12=1，
注意Mki+1≥Mki，mki+1≤mki，且有且仅有一个等号成立，
所以必有Mki+1>Mki，mki+1=mki，
所以Mki+1=Mki+4，
所以aki+1=Mki+1=Mki+4，
因为ki>ki−1，所以ki≥ki−1+1，
所以Mki≥Mki−1+1，
所以aki+1≥aki−1+1+4，
所以aki+1−aki−1+1≥4，
所以ak2+1−ak1+1≥4，
ak3+1−ak2+1≥4，
ak4+1−ak3+1≥4，
……
akm+1−akm−1+1≥4，
所以akm+1−ak1+1≥4(m−1)，
所以akm+1≥ak1+1+4(m−1)，
所以ak1012+1≥ak1+1+4(1012−1)>−2018+4044=2026，
这与|an|<2023矛盾，所以假设错误，
所以存在k∈N*，使得∀n≥k，有bn+1=bn．
【解析】(1)分别计算出a1，a2，a3，a4，结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；
(2)先证充分性，由数列{an}是递增的等差数列，证明bn>bn−1，再证必要性，由数列{bn}是递增的等差数列，证明an−an−1>0，进而得最后结论；
(3)利用反证法，由bn=1或者bn=−1可得−1=bk1=bk2=bk3=⋯=bki=bki+1⋯，1=bk1+1=bk2+1=bk3+1=⋯=bki+1=bki+1+1⋯，化简可得aki+1=Mki+1=Mki+4，即Mki≥Mki+1，对aki+1≥aki−1+1+4利用累加法，可得ak1012+1≥2026与题意矛盾，即得结论．
本题考查等差数列判断与证明，分类讨论思想的应用，运算求解能力，化归与转化思想以及反证法在证明中的应用，属于难题．年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年生产台数(单位：万台)
3
5
5
6
6
9
9
10
10
a
年返修台数(单位：台)
32
38
54
58
52
71
64
80
75
b
年利润(单位：百万元)
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
9.98
10.00
11.50
c
X
1
2
3
P
112
12
512