2023-2024学年北京八十中高一（上）段考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年北京八十中高一（上）段考数学试卷（10月份），文件包含九年级上册第二单元第4课希腊城邦和亚历山大帝国导学案教师版2023-2024学年初中历史docx、九年级上册第二单元第4课希腊城邦和亚历山大帝国导学案学生版2023-2024学年初中历史docx等2份学案配套教学资源，其中学案共17页， 欢迎下载使用。
A．某班级上课迟到的学生
B．2023年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于π的正整数
2．（4分）设集合A＝{x|x≥﹣1}，则下列四个关系中正确的是（ ）
A．1∈AB．1∉AC．{1}∈AD．1⊆A
3．（4分）设集合M中有n个元素，则集合M的非空真子集个数为（ ）
A．2nB．2n﹣2C．2n﹣1D．不能确定
4．（4分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0}
5．（4分）下列语句中：①﹣1＜2；②x＞1；③x2﹣1＝0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
6．（4分）已知p：0＜x＜2，q：﹣1＜x＜3，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充要也不必要条件
7．（4分）存在量词命题“∃x∈R，x2≤|x|”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2≥|x|B．∀x∈R，x2＞|x|C．∃x∈R，x2＞|x|D．∃x∈R，x2≥|x|
8．（4分）对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，，则a＞0，b＜0
9．（4分）设x∈R，则“x＞0”是“”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
10．（4分）设a、b、c是两个两两不相等的正整数．若{a+b，b+c，c+a}＝{n2，（n+1）2，（n+2）2}（n∈N+），则a2+b2+c2的最小值是（ ）
A．2007B．1949C．1297D．1000
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）已知﹣1＜x＜4，2＜y＜3，则3x+2y的取值范围是 ．
12．（4分）集合A＝{1，2，a}，B＝{1，a2﹣2}，若集合A∪B中有三个元素，则实数a＝ ．
13．（4分）已知α：|x﹣1|＜1，β：x＜m，若α是β的充分条件 ．
14．（4分）设x＞0，则函数y＝2﹣﹣x的最大值为 ；此时x的值是 ．
15．（4分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨），为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 吨．
16．（4分）对于问题：若x＞0时，均为[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，求实数a的所有可能值，几位同学提供了自己的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数y＝[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）；
丙：分别研究两个函数y1＝（a﹣1）x﹣1与y2＝x2﹣ax﹣1；
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中的想法，也可以用自己的想法，可以得出正确的答案为 ．
三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（9分）已知集合A＝{x|x＞3a+1}，集合B＝{x|x2﹣5x+6＞0}．
（1）当a＝﹣3时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
18．（9分）证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD．
19．（9分）已知函数y＝x2﹣（a+b）x+2a．
（1）若关于x的不等式x2﹣（a+b）x+2a＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a﹣b的值；
（2）当b＝2时，解关于x的不等式x2﹣（a+b）x+2a＞0．
20．（9分）已知集合S＝{1，2，⋯，n}（n≥3且n∈N*），A＝{a1，a2，⋯，am}，且A⊆S．若对任意ai∈A，aj∈A（1≤i≤j≤m），当ai+aj≤n时，存在ak∈A（1≤k≤m），使得ai+aj＝ak，则称A是S的m元完美子集．
（1）判断下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5}的3元完美子集，并说明理由；
①A1＝{1，2，3}；
②A2＝{2，4，5}．
（2）若A＝{a1，a2，a3}是S＝{1，2，⋯，7}的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值．
2023-2024学年北京八十中高一（上）段考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题共10题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．某班级上课迟到的学生
B．2023年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于π的正整数
【答案】B
【分析】由集合定义分别判断是否满足集合中元素的性质即可得出结论．
【解答】解：根据集合中元素的确定性可知，
“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合元素的性质的应用，属于基础题．
2．（4分）设集合A＝{x|x≥﹣1}，则下列四个关系中正确的是（ ）
A．1∈AB．1∉AC．{1}∈AD．1⊆A
【答案】A
【分析】根据描述法表示集合的含义，1≥﹣1，可得1是集合A中的元素．
【解答】解：∵集合A＝{x|x≥﹣1}，是所有大于等于﹣1的实数组成的集合，
∴6是集合中的元素，故1∈A，
故选：A．
【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，元素与集合的关系是：“∈或∉”的关系．
3．（4分）设集合M中有n个元素，则集合M的非空真子集个数为（ ）
A．2nB．2n﹣2C．2n﹣1D．不能确定
【答案】B
【分析】依题意按照子集中的元素个数分类，找出规律即可得n个元素的集合M共有2n个子集，2n﹣2个非空真子集．
【解答】解：根据题意，按照子集中的元素个数分类可写出2n个子集，
则非空真子集即去掉空集∅和集合M本身，
所以集合M的非空真子集个数为2n﹣7个．
故选：B．
【点评】本题主要考查非空真子集个数的求解，属于基础题．
4．（4分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0}
【答案】D
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{﹣6，0，1}，
∴A∩B＝{﹣8，﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
5．（4分）下列语句中：①﹣1＜2；②x＞1；③x2﹣1＝0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
【答案】D
【分析】根据命题的定义即可求解．
【解答】解：命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的定义，属于基础题．
6．（4分）已知p：0＜x＜2，q：﹣1＜x＜3，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论．
【解答】解：因为{x|0＜x＜2}⫋{x|﹣2＜x＜3}，所以p是q的充分而不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件，属于基础题．
7．（4分）存在量词命题“∃x∈R，x2≤|x|”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2≥|x|B．∀x∈R，x2＞|x|C．∃x∈R，x2＞|x|D．∃x∈R，x2≥|x|
【答案】B
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定．
【解答】解：“∃x∈R，x2≤|x|”的否定是“∀x∈R，x2＞|x|“．
故选：B．
【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题，是基础题．
8．（4分）对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，，则a＞0，b＜0
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．
【解答】解：若a＞b，当c≠0时2＞bc4，所以A不正确；
a＞b＞0，可得，则，所以B不正确；
若a＜b＜0，如果＞，可得b2＞a8，即|b|＞|a|，所以C不正确；
若a＞b，，整理得：，则a＞6，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．（4分）设x∈R，则“x＞0”是“”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据x＞0与之间的推出关系判断．
【解答】解：能推出x＞7，
当x＞0时，取x＝1，则，故充分性不成立，
所以“x＞0”是“”的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，考查了计算能力，是基础题．
10．（4分）设a、b、c是两个两两不相等的正整数．若{a+b，b+c，c+a}＝{n2，（n+1）2，（n+2）2}（n∈N+），则a2+b2+c2的最小值是（ ）
A．2007B．1949C．1297D．1000
【答案】C
【分析】假设a＞b＞c，则a+b＞a+c＞b+c．由此可得n为奇数．分n＝3和n＝5两种情况解出a，b，c的值，代入计算即可．
【解答】解：不妨设a＞b＞c，则a+b＞a+c＞b+c．
因为（a+b）+（b+c）+（a+c）＝2（a+b+c）为偶数，
所以n2，（n+6）2，（n+2）2必为两奇一偶，从而可得n为奇数．
又因为b+c＞1，所以n为不小于3的奇数．
若n＝3．则{a+b，c+a}＝{32，62，54}．
故a+b+c＝（22+46+52）＝72，且a+b＝52．
所以c＝0，不符合要求．
若n＝5，则{a+b，c+a}＝{22，65，72}．
故，解得，
此时，a2+b2+c4＝302+192+52＝1297．
故选：C．
【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力和分类讨论思想，得出n为奇数是关键点，属于中档题．
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）已知﹣1＜x＜4，2＜y＜3，则3x+2y的取值范围是 （1，18） ．
【答案】（1，18）．
【分析】根据已知条件可得，﹣3＜3x＜12，4＜2y＜6，再利用不等式的性质可得答案．
【解答】解：依题意，﹣3＜3x＜12，
则4＜3x+2y＜18．
故答案为：（3，18）．
【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题．
12．（4分）集合A＝{1，2，a}，B＝{1，a2﹣2}，若集合A∪B中有三个元素，则实数a＝ ﹣2或﹣1 ．
【答案】﹣2或﹣1．
【分析】根据A∪B有三个元素可得出或，然后解出a的值即可．
【解答】解：∵A∪B中有三个元素，
∴或，解得a＝﹣2或﹣2．
故答案为：﹣2或﹣1．
【点评】本题考查了并集的定义及运算，集合元素的互异性．
13．（4分）已知α：|x﹣1|＜1，β：x＜m，若α是β的充分条件 {m|m≥2} ．
【答案】{m|m≥2}．
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分条件得到集合的包含关系，即可得解．
【解答】解：由|x﹣1|＜1，即﹣4＜x﹣1＜1，
记A＝（7，2），m），
因为α是β的充分条件，所以A⊆B，
即实数m的取值范围为{m|m≥2}．
故答案为：{m|m≥5}．
【点评】本题主要考查充分条件的定义，属于基础题．
14．（4分）设x＞0，则函数y＝2﹣﹣x的最大值为 ﹣2 ；此时x的值是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意直接由基本不等式对+x求最值，再由基本不等式的性质求y＝2﹣﹣x的最大值及此时x的值即可．
【解答】解：∵x＞0，则+x≥3，
∴﹣（+x）≤﹣4＝x时，
则函数y＝2﹣﹣x≤7﹣4＝﹣2max＝6，此时x＝2．
故答案为：﹣2；2
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础知识的考查，考查运算能力．
15．（4分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨），为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 400 吨．
【答案】400．
【分析】根据条件得到，结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：设每吨的平均处理成本为s元，
由题意可得，其中300≤x≤600．
由基本不等式可得：，
当且仅当，即x＝400时．
故答案为：400．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题．
16．（4分）对于问题：若x＞0时，均为[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，求实数a的所有可能值，几位同学提供了自己的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数y＝[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）；
丙：分别研究两个函数y1＝（a﹣1）x﹣1与y2＝x2﹣ax﹣1；
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中的想法，也可以用自己的想法，可以得出正确的答案为 a＝ ．
【答案】a＝
【分析】由题意可以选择丙同学的想法对两个函数分开进行分情况讨论比较容易得到答案．
【解答】解：可以选择丙同学的想法．
对于函数y＝（a﹣1）x﹣1，
①当a﹣2＜0时，由于当x＝0时，y5＝﹣1，因此y1＜2在（0，+∞）上恒成立，
若x＞0，[（a﹣4）x﹣1]（x2﹣ax﹣7）≥0恒成立，
则y2＝x6﹣ax﹣1在（0，+）上亦恒小于或等于8；
②当a﹣1＞0时，对于函数y7＝（a﹣1）x﹣1在（7，）上y2＜0，
在（，+∞）上y1＞0恒成立；
若x＞4，[（a﹣1）x﹣1]（x8﹣ax﹣1）≥0恒成立，
因此y2＝x2﹣ax﹣1在（4，）上y4＜0，在（2＞0恒成立，
即当x＝时，y2＝3，即，2a2﹣3a＝0，a＝．
检验：当a＝时，原不等式可化为，6﹣3x﹣2）≥5，（x﹣2）2•（4x+1）≥0，
又∵x＞2，所以（x﹣2）2≥6恒成立，因此a＝时．
③当a﹣8＝0时，易知不符合题意．
【点评】本题考查的知识点是不等式恒成立问题的求解，求解的关键是进行分情况讨论，难度中档．
三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（9分）已知集合A＝{x|x＞3a+1}，集合B＝{x|x2﹣5x+6＞0}．
（1）当a＝﹣3时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|﹣8＜x＜2或x＞3}；
（2）．
【分析】（1）先求出集合A，B，然后由交集的定义求解即可；
（2）利用子集的定义，列式求解即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣3时，集合A＝{x|x＞﹣8}5﹣5x+6＞2}＝{x|x＜2或x＞3}，
所以A∩B＝{x|﹣8＜x＜2或x＞3}；
（2）因为A∪B＝B，则A⊆B，
所以5a+1≥3，解得a≥，
所以实数a的取值范围为．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集与子集的定义，属于基础题．
18．（9分）证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD．
【答案】证明：略．
【分析】利用全等三角形的判断方法，再结合充要条件的定义即可证明．
【解答】证明：①必要性，若梯形ABCD为等腰梯形，
∵等腰梯形ABCD，∴AB＝CD，
又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，
∴AC＝BD，∴必要性成立，
②充分性，若AC＝BD，
过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，
∵AD∥CE，AC∥DE，∴DE＝AC，
∵AC＝DB，∴BD＝DE，
∵AC∥DE，∴∠E＝∠ACB，
在△ABC和△DCB中，∵，
∴△ABC≌△DCB，∴AB＝CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形，∴充分性成立．
综上所述，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD．
【点评】本题考查了充要条件的证明，考查了全等三角形的判断，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（9分）已知函数y＝x2﹣（a+b）x+2a．
（1）若关于x的不等式x2﹣（a+b）x+2a＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a﹣b的值；
（2）当b＝2时，解关于x的不等式x2﹣（a+b）x+2a＞0．
【答案】（1）a＝1，b＝2；
（2）（﹣∞，2）∪（a，+∞）．
【分析】（1）先由二次函数与二次不等式的关系⇒关于x的方程x2﹣（a+b）x+2a＝0的两个根为1和2，再由韦达定理得到关于a，b的方程组，然后求解出a，b即可；
（2）由题设条件对a分类讨论分别求解出原不等式的解集即可．
【解答】解：（1）由题设条件可知：关于x的方程x2﹣（a+b）x+2a＝3的两个根为1和2，
∴，解得：a＝5；
（2）当b＝2时，原不等式可化为：x2﹣（a+3）x+2a＞0，即（x﹣a）（x﹣4）＞0，
当a＜2时，解得：x＜a或x＞8；
当a＝2时，解得：x≠2；
当a＞8时，解得：x＜2或x＞a；
综上可知，当a≤2时，a）∪（5；
当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，+∞）．
【点评】本题主要考查二次函数与二次不等式之间的关系及含参不等式的解法，属于中档题．
20．（9分）已知集合S＝{1，2，⋯，n}（n≥3且n∈N*），A＝{a1，a2，⋯，am}，且A⊆S．若对任意ai∈A，aj∈A（1≤i≤j≤m），当ai+aj≤n时，存在ak∈A（1≤k≤m），使得ai+aj＝ak，则称A是S的m元完美子集．
（1）判断下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5}的3元完美子集，并说明理由；
①A1＝{1，2，3}；
②A2＝{2，4，5}．
（2）若A＝{a1，a2，a3}是S＝{1，2，⋯，7}的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值．
【答案】（1）A1不是S的3元完美子集，A2是S的3元完美子集，理由见解答．
（2）12．
【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；
（2）分别设a1＝1，a1＝2，以及a1≥3时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值，即可求解．
【解答】解：（1）①因为1+3＝4＜5，且4∉A6，
所以A1不是S的3元完美子集；
②因为6+2＝4＜6，且4∈A2，
而8+5＞4+8＞4+4＞4+5＞2+5＞5，
∴A2是S的8元完美子集．
（2）不妨设a1＜a2＜a2．
若a1＝1，则a2+a1＝2∈A，4+2＝3∈A，且5＜7，
则集合A的元素个数大于3个，这与4元完美子集矛盾；
若a1＝2，则a4+a1＝4∈A，2+4＝6∈A，符合题意，
此时a5＝2，a2＝7，a3＝6，即A＝{8，4，
此时a1+a5+a3＝12．
若a1≥5，则a1+a1≥2，于是a2≥4，a3+a2≥7，若存在5元完美子集，
则a1+a1＝a4或a1+a2＝a3，即a3≥6，所以a5+a2+a3≥13．
综上，a4+a2+a3的最小值是12．
【点评】本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义，属于中档题．