江西省2024届九年级上学期中考模拟卷（四）数学试卷(含答案)

这是一份江西省2024届九年级上学期中考模拟卷（四）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．－1.5，－ eq \r(2)，0， eq \r(3)中最小的数是( )
A．0 B．－ eq \r(2)
C．－1.5 D． eq \r(3)
2．如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是( )
3．下列运算正确的是( )
A．(－a5)2＝a10 B．2a·3a2＝6a2
C．－a＋a＝－3a D．－6a6÷2a2＝－3a3
4．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为( )
A．540° B．720°
C．900° D．1 080°
5．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为( )
A． eq \r(2) B． eq \f(\r(2)＋1,2)
C． eq \f(\r(5)＋1,2) D． eq \f(4,3)
6.如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…，若经过23秒质点到达点A，经过33秒质点到达点B，则直线AB的解析式为( )
A．y＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(9,2) B．y＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(9,2)
C．y＝2x＋9 D．y＝－2x＋9
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．因式分解：4a－4a2－1＝_________________________.
8．(2023·抚州模拟)某品牌手机内部的A16芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到0.000 000 005米．将数字0.000 000 005用科学记数法表示为________．
9．若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0无实数根，则k的取值范围是________________．
10．如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝________．
11．已知一组数据x，－2，4，1的中位数为1，则其方差为________．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E.若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)解不等式组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5＜x＋1，,2(2x－1)≥3x－4，))并把它的解集在数轴上表示出来；
(2)如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，E是AD上一点，M，N分别是CE，AE的中点，且MN＝2，求菱形ABCD的周长．
14．以下是小华化简分式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,x＋1)－x))÷ eq \f(x2－x,x＋1)的过程：
解：原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,x＋1)－x))· eq \f(x＋1,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)))①
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－x2＋x,x＋1)))· eq \f(x＋1,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)))②
＝ eq \f(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x)),x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)))③
(1)小华的解答过程在第________步出现错误．
(2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当x＝5时分式的值.
15．小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A(楼梯)，B(客厅)，C(走廊)三盏电灯，其中走廊的灯已坏(对应的开关闭合也没有亮).
(1)若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是________事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是________事件；(填“不可能”“必然”或“随机”)
(2)若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．
16．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中，画出△ABC的中线AE；
(2)在图2中，画出△ABC的角平分线AF.
17．某家具厂生产一种餐桌和椅子，已知一张餐桌的售价比一把椅子的售价多480元，购买一套桌椅(一张餐桌和四把椅子)共需1 280元．
(1)分别求出一张餐桌和一把椅子的售价；
(2)某经销商计划从该家具厂购进一批桌椅，已知购进椅子的数量比餐桌的数量的3倍多15个，且餐桌和椅子的总数不超过120个．该经销商计划把一半餐桌成套(每张餐桌配四把椅子)销售，每套1 600元，其余桌椅按每张餐桌1 000元，每把椅子300元零售．设该经销商购进餐桌x张，销售完这批桌椅获得的利润为y元．请你帮该经销商设计一种获利最大的进货方案，并求出最大利润．
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．为进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分100分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩，已知抽取得到的八年级的数据如下：80、95、60、80、75、60、95、65、75、70、80、75、85、65、90、70、75、80、85、80.(分数80分以上、不含80分为优秀).为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了如表和直方图：
八、九年级成绩的平均数、中位数如表：
(1)根据题目信息填空：a＝________，b＝________，c＝________；补全八年级的频数分布直方图．
(2)八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由．
(3)若九年级学生成绩的优秀率是八年级的两倍，且九年级共有600人参加参赛，请估计九年级获得优秀的学生人数．
19．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝ eq \f(k,x)的图象交于A(2，2)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)))两点．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)C为y轴负半轴上一动点．作CD∥AB交x轴交于点D，交反比例函数的图象于点E.当D为CE的中点时，求点C的坐标．
20．图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2，图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60 cm，点D是AB的中点，前支撑板DE＝30 cm，后支撑板EC＝40 cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(参考数据：sin 53°≈\f(4,5)，cs 53°≈\f(3,5)，tan 53°≈\f(4,3)))
(1)如图2，当支撑点E在水平线BC上时，求支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长．
(2)如图3，当座板DE与地平面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，点D为⊙O上一点，且CD＝CB.连接DO并延长交CB的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若AB＝CB＝6，连接BE.
①求图中阴影部分的面积；
②求DF的长．
22.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，1)，二次函数y＝ eq \f(1,3)x2＋bx－ eq \f(3,2)的图象经过点C.
(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
(2)把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积．
(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
六、解答题(本大题共12分)
23．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如在图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
特例探索：
(1)①如图1，当∠ABE＝45°，c＝4 eq \r(2)时，a＝________，b＝________；
②如图2，当∠ABE＝30°，c＝2时，求a和b的值．
归纳证明：
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求MG2＋MH2的值．
2024年江西中考数学中考模拟卷(四)答案
1．C ∵－1.5<－ eq \r(2)<0< eq \r(3)，
∴最小的数是－1.5.
2．D 两个圆所在的面是相对的，不相邻，故A错误；
B，C中空白的圆圈不与白色的三角形相邻，故B，C错误；
D.正确．
3．A A.(－a5)2＝a10，故正确；B.2a·3a2＝6a3，故错误；
C.－2a＋a＝－a，故错误；D.－6a6÷2a2＝－3a4，故错误．
4．D 正多边形的边数为360°÷45°＝8，则这个多边形是正八边形，所以该正多边形的内角和为(8－2)×180°＝1 080°.
5．A 由折叠补全图形如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA′＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB.
由第一次折叠得∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE＝ eq \f(1,2)∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1.
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝ eq \r(2)AD＝ eq \r(2).
由第二次折叠可知，DC＝DE，
∴AB＝ eq \r(2).
6．B 3秒时到了(1，0)；
8秒时到了(0，2)；
15秒时到了(3，0)；
24秒到了(0，4)；
35秒到了(5，0)；
∴23秒到了(1，4)，33秒到了(5，2)，
∴A(1，4)，B(5，2).
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝4，,5k＋b＝2，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝\f(9,2)，))
∴直线AB的解析式为y＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(9,2).
7．解析：原式＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a2－4a＋1))＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－1))2.
答案：－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－1))2
8．解析：0.000 000 005＝5×10-9.
答案：5×10-9
9．解析：∵a＝1，b＝2，c＝－k，
由题意知，Δ＝b2－4ac＝22－4×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－k))＝4＋4k<0，
解得k<－1.
答案：k<－1
10．解析：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝ eq \f(1,2)∠BAC＝ eq \f(1,2)×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°.
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝ eq \f(1,2)(180°－∠CAD)＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.
答案：15°
11．解析：∵数据x，－2，4，1的中位数为1，
∴①当这样排列时，x，－2，1，4，中位数不是1，舍去；
②当这样排列时，－2，x，1，4，中位数为1，则 eq \f(x＋1,2)＝1，解得x＝1，
③当这样排列时，－2，1，4，x，中位数不是1，舍去．
综上，数据为－2，1，1，4，
∴数据的平均数＝ eq \f(－2＋1＋1＋4,4)＝1，
∴方差＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－1))2＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－1))2,4)＝ eq \f(9,2).
答案： eq \f(9,2)
12．解析：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是AC的中点，
∴AB＝2 eq \r(2)，AD＝CD＝1，
∴BD＝ eq \r(5)，
∴CE＝ eq \f(CD·BC,BD)＝ eq \f(2\r(5),5).
∵∠DCB＝90°，CE⊥BD，
∴△CDE∽△BDC，
∴CD2＝DE·DB.
∵AD＝CD，
∴AD2＝DE·DB，
∴ eq \f(AD,DE)＝ eq \f(DB,AD).
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△DAE∽△DBA，
∴ eq \f(AE,AB)＝ eq \f(AD,BD)＝ eq \f(\r(5),5)，
∴AE＝ eq \f(2\r(10),5).
∵DE＝ eq \f(\r(5),5)，BD＝ eq \r(5)，
∴BE＝ eq \f(4\r(5),5).
如图1中，若AE＝AF时，
∴AF＝ eq \f(2\r(10),5).
如图2中，若FE＝AE时，过点E作EJ⊥AB于J.
∵JE2＝AE2－AJ2＝EB2－BJ2，
∴ eq \f(40,25)－AJ2＝ eq \f(80,25)－(2 eq \r(2)－AJ)2，
∴AJ＝ eq \f(4\r(2),5).
∵AE＝EF，EJ⊥AF，
∴AF＝2AJ＝ eq \f(8\r(2),5).
如图3中，若EF＝AF时，过点E作EJ⊥AB于J.
∵EJ2＝AE2－AJ2＝EF2－FJ2，
∴ eq \f(40,25)－ eq \f(32,25)＝AF2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(2),5)－AF)) eq \s\up12(2)，
∴AF＝ eq \f(\r(2),2).
综上所述，AF的长为 eq \f(2\r(10),5)或 eq \f(8\r(2),5)或 eq \f(\r(2),2).
答案： eq \f(2\r(10),5)或 eq \f(8\r(2),5)或 eq \f(\r(2),2)
13．解：(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5＜x＋1，①,2(2x－1)≥3x－4，②))
解不等式①，得x<3.
解不等式②，得x≥－2.
所以原不等式组的解集为－2≤x<3.
在数轴上表示如下：
(2)如图，连接AC.
∵M，N分别是CE，AE边的中点，
∴MN是△ACE的中位线，
∴AC＝2MN＝4.
∵四边形ABCD是菱形，且∠D＝60°，
∴AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴CD＝AC＝4，
∴C菱形ABCD＝4CD＝16，
∴菱形ABCD的周长为16.
14．解：(1)小华的解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号，
第②步应该为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－x2－x,x＋1)))· eq \f(x＋1,x(x－1))，
故答案为②.
(2)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,x＋1)－\f(x(x＋1),x＋1)))÷ eq \f(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)),x＋1)
＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x,x＋1)－\f(x2＋x,x＋1)))· eq \f(x＋1,x(x－1))
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－x2－x,x＋1)))· eq \f(x＋1,x(x－1))
＝ eq \f(－x2,x＋1)· eq \f(x＋1,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)))＝－ eq \f(x,x－1)，
当x＝5时，
原式＝－ eq \f(5,5－1)＝－ eq \f(5,4).
15．解：(1)若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件．
∵走廊的灯已坏，
∴若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件，
故答案为随机；不可能．
(2)设客厅灯亮了为事件A，楼梯灯亮了为事件B，走廊灯亮了为事件C，则树状图如下：
∴共有6种结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2种，
∴P(客厅灯和楼梯灯都亮了)＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3).
16．解：(1)如图1，线段AE即为△ABC的中线．
根据三角形三条中线交于一点即可证明．
(2)如图2，线段AF即为△ABC的角平分线．
证明：∵OA＝OH，∴∠HAO＝∠H.
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH＝∠H，
∴∠CAF＝∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
17．解：(1)设一张餐桌和一把椅子的售价分别为a元、b元．
根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝480，,a＋4b＝1 280，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝640，,b＝160.))
答：一张餐桌和一把椅子的售价分别为640元、160元．
(2)由题意得x＋3x＋15≤120，
解得x≤26 eq \f(1,4).
由题意得y＝ eq \f(x,2)×1 600＋ eq \f(x,2)×1 000＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋15－\f(x,2)×4))×300－640x－(3x＋15)×160
＝800x＋500x＋300x＋4 500－640x－480x－2 400
＝480x＋2 100.
∵480＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝26时，y取最大值，最大值为14 580，
此时3x＋15＝93.
答：当购进26张餐桌，93把椅子时，销售完这批桌椅所获利润最大，最大利润为14 580元．
18．解：(1)根据频数统计的方法可得，
成绩在60≤x≤70的有6人，即a＝6，
成绩在80八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 eq \f(75＋80,2)＝77.5(分)，因此中位数是77.5，即c＝77.5，
补全图形如下：
故答案为：6，3，77.5.
(2)八年级小宇的排名更靠前．理由如下：
因为八年级的中位数是77.5，九年级的中位数是82.5，
所以八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，小宇的排名更靠前．
(3) eq \f(3＋2,20)×2×600＝300(人)，
∴九年级获得优秀的学生人数为300人．
19．解：(1)∵反比例函数y＝ eq \f(k,x)的图象过点A(2，2)，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ eq \f(4,x).
∵反比例函数y＝ eq \f(4,x)过点B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)))，
∴m＝4÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－8，
∴B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－8，－\f(1,2)))，
∴把A，B代入一次函数解析式得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝2a＋b，,－\f(1,2)＝－8a＋b，))
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(3,2)，))
∴一次函数解析式为y＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(3,2).
(2)∵CD∥AB，
∴设直线CD的解析式为y＝ eq \f(1,4)x－n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＞0)).
令x＝0，则y＝－n，
∴C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－n))，
∴OC＝n.
∵D为CE的中点，
∴E的纵坐标为n，
代入y＝ eq \f(1,4)x－n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＞0))，求得x＝8n，
∴E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8n，n)).
∵反比例函数过点E，
∴n＝ eq \f(4,8n)，
∴n＝ eq \f(\r(2),2)(负数舍去)，
∴C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(2),2))).
20．解：(1)如图1，过点D作DF⊥BE于点F.
由题意知BD＝DE＝30 cm，
∴BF＝BD cs ∠ABC≈30× eq \f(3,5)＝18(cm)，
∴BE＝2BF＝36(cm).
答：BE的长为36 cm.
(2)如图2，过点D作DM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N.
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN＝DE＝30 cm.
在Rt△DBM中，BM＝BD cs ∠ABC≈30× eq \f(3,5)＝18(cm)，
EN＝DM＝BD sin ∠ABC≈30× eq \f(4,5)＝24(cm).
在Rt△CEN中，CE＝40 cm，
∴由勾股定理可得CN＝ eq \r(EC2－EN2)＝ eq \r(402－242)＝32(cm)，
则BC＝18＋30＋32＝80(cm)，
原来BC＝36＋40＝76(cm)，
80－76＝4(cm)，
∴变形前后两轴心BC的长度增加了4 cm.
21．(1)证明：如图1，连接OC.
在△OCB与△OCD中，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(CB＝CD，,CO＝CO，,OB＝OD，))
∴△OCB≌△OCD(SSS)，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
(2)解：①如图2，连接OE.
∵AB＝CB＝6，AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，AE＝EC，
∴OE＝ eq \f(1,2)BC＝3，OE∥BC，
∴OE＝OB＝3，∠EOB＝90°，
∴阴影部分的面积＝S扇形EOB－S△EOB＝ eq \f(90π×32,360)－ eq \f(1,2)×3×3＝ eq \f(9π,4)－ eq \f(9,2).
②∵AB＝CB＝6，CD＝CB，
∴CD＝6.
∵∠FBO＝∠FDC＝90°，∠F＝∠F，
∴△FBO∽△FDC，
∴ eq \f(OB,CD)＝ eq \f(BF,DF)，
∴ eq \f(BF,DF)＝ eq \f(1,2).
设BF＝x，DF＝2x，
∴OF＝2x－3.
∵OF2＝OB2＋BF2，
∴(2x－3)2＝32＋x2，
∴x＝4，x＝0(不合题意，舍去)，
∴BF＝4，
∴DF＝8.
22．解：(1)将点C(3，1)代入二次函数解析式y＝ eq \f(1,3)x2＋bx－ eq \f(3,2)，
可得3＋3b－ eq \f(3,2)＝1，解得b＝－ eq \f(1,6)，
故解析式为y＝ eq \f(1,3)x2－ eq \f(1,6)x－ eq \f(3,2)，
y＝ eq \f(1,3)x2－ eq \f(1,6)x－ eq \f(3,2)＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))2－ eq \f(73,48).
(2)作CK⊥x轴，如图．
由题意可得∠BOA＝∠CKA＝∠BAC＝90°，AB＝AC，OK＝3，CK＝1，
∴∠BAO＋∠CAK＝∠BAO＋∠OBA＝90°，
∴∠ABO＝∠KAC，
∴△ACK≌△BAO(AAS)，
∴OB＝AK，OA＝CK＝1，
∴OB＝AK＝OK－OA＝2，
∴点B(0，2)，A(1，0)，则AB＝ eq \r(OA2＋OB2)＝ eq \r(5).
令 eq \f(1,3)x2－ eq \f(1,6)x－ eq \f(3,2)＝2，解得x＝ eq \f(7,2)或x＝－3(舍去)，
即D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，2))，可知△ABC向右平移的距离为 eq \f(7,2)，即AE＝ eq \f(7,2).
由题意可得△ABC扫过区域的面积为平行四边形ABDE和△ABC的面积和，
即S▱ABDE＋S△ABC＝AE×OB＋ eq \f(1,2)AC×AB＝ eq \f(7,2)×2＋ eq \f(1,2)× eq \r(5)× eq \r(5)＝9.5.
(3)当∠BAP＝90°时，由题意可得AB＝AP＝AC，∠BAC＝∠BAP＝90°，
∴△BAP≌△BAC(SAS).
又∵A(1，0)，C(3，1)
∴P(－1，－1).
当x＝－1时，y＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,6)－ eq \f(3,2)＝－1，点P(－1，－1)在抛物线上．
当∠ABP＝90°时，同理可求得P(－2，1)或P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))，
当x＝－2时，y＝ eq \f(1,3)×4＋ eq \f(1,6)×2－ eq \f(3,2)≠1，P(－2，1)不在抛物线上，
当x＝2时，y＝ eq \f(1,3)×4－ eq \f(1,6)×2－ eq \f(3,2)≠1，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))不在抛物线上．
综上所述，存在点P(－1，－1)，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形．
23．解：如图1，图2，图3，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
则EF＝ eq \f(1,2)AB，EF∥AB，∴△EFP∽△BPA，
∴ eq \f(PB,PE)＝ eq \f(PA,PF)＝ eq \f(AB,EF)＝2.
(1)①如图1，在直角三角形ABP中，PA＝PB＝AB sin 45°＝4，
∴PE＝PF＝2，
∴a＝b＝2BF＝2 eq \r(PB2＋PF2)＝4 eq \r(5).
②如图2，在直角三角形ABP中，PA＝AB sin 30°＝1，PB＝AB cs 30°＝ eq \r(3)，
∴PE＝ eq \f(1,2)PB＝ eq \f(\r(3),2)，PF＝ eq \f(1,2)PA＝ eq \f(1,2)，
则a＝2BF＝2 eq \r(PB2＋PF2)＝ eq \r(13)，b＝2AE＝2 eq \r(PA2＋PE2)＝ eq \r(7).
(2)关系为a2＋b2＝5c2，
证明：如图3，PF＝ eq \f(1,2)PA，PE＝ eq \f(1,2)PB，
则a2＋b2＝(2BF)2＋(2AE)2
＝4(BF2＋AE2)
＝4(BP2＋PF2＋AP2＋PE2)
＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)BP2＋\f(5,4)AP2))
＝5(BP2＋AP2)＝5c2.
(3)如图4，连接EF.在菱形ABCD中，E，F分别为线段AO，DO的中点，
则EF＝ eq \f(1,2)BC＝ eq \f(1,2)AD.
∵AE＝OE＝ eq \f(1,3)EC，AG∥BC，
∴AG＝ eq \f(1,3)BC＝ eq \f(1,3)AD.
同理HD＝ eq \f(1,3)AD，∴GH＝ eq \f(1,3)AD，
∴GH＝ eq \f(2,3)EF.
∵GH∥BC，EF∥BC，
∴HG∥EF，∴MG＝ eq \f(2,3)ME＝ eq \f(1,3)MB.
同理MH＝ eq \f(1,3)MC，
则MG2＋MH2＝ eq \f(1,9)(MB2＋MC2)＝ eq \f(1,9)×5×BC2＝5.
成绩等级
分数(单位：分)
学生数
D等级
60≤x≤70
a
C等级
70＜x≤80
9
B等级
80＜x≤90
b
A等级
90＜x≤100
2
年级
平均数
中位数
八年级
77
c
九年级
78.5
82.5