江西省上饶市余干县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

余干县2022-2023学年度第一学期期中考试

九年级数学试卷

考试形式：闭卷（本卷不使用计算器）

一、选择题（本大题共6个小题，第小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．

1. 下列方程属于一元二次方程的是（　　）

A.  B.

C.  D.

2. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（    ）

A  B.  

C.  D.

3. 下列各式中，y是x的二次函数的是(       )

A. xy+x 2 =1 B. x 2 +y-2= 0 

C. y 2 -ax=-2 D. x 2 -y 2 +1=0

4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（　　）

A.  B.  C. 且 D.

5. 抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（   ）

A 右移 个单位长度，再下移 个单位长度

B. 右移 个单位长度，再上移 个单位长度

C. 左移 个单位长度，再下移 个单位长度

D. 左移 个单位长度，再上移 个单位长度

6. 已知二次函数的图像如图所示，有下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 方程的根是：_______．

8. 抛物线的顶点坐标为____________．

9. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝_____．

10. 平面直角坐标系上的三个点，将绕点O按顺时针旋转则点A、B的对应点、的坐标分别是__________，__________．

11. 设，是一元一次方程的两根，____________．

12. 如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. 用适当的方法解下列方程

（1）．

（2）．

14. 抛物线图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题：

（1）点A，B的坐标分别是A______，B______；

（2）若函数值y＞0，则x的取值范围是______；

（3）函数值y的最小值是______；

15. 解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ． 小滨的解答如下： 

解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），

方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，

小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．

16. 请仅用无刻度直尺，分别按下列要求完成画图．

（1）如图1，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的中点，以EF为边画一个矩形；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE>DE），以AE为边画一个菱形．

17. 抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克．

（1）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）商场利润能否达到6200元，若能请求出每千克应涨价多少元；若不能，请说明理由．

19. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

（1）求证：△AEB ≌△ADC；

（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．

20. 如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF＝AE，连接DF：

（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？

（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？

（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数解析式；

（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；

（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 　 　元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 　 　元．

22. 如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为．

（1）求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）；

（2）距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯EF使水流刚好到点F？

（3）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则此时水管的高度为多少？

六、（本大题共12分）

23. 综合与实践

问题情境

从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．

如图1，在中，，，为边上的中线，为上一点，将以点为旋转中心，逆时针旋转90°得到，的延长线交线段于点．探究线段，，之间的数量关系．

数学思考

（1）请你在图1中证明；

特例探究

（2）如图2，当垂直于时，求证：；

类比再探

（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

答案

1. C

解：A、，不是整式方程，故A不符合题意；

B、，当a=0时不是一元二次方程，故B不符合题意；

C、，是一元二次方程，故C符合题意；

D、，整理得，不是一元二次方程，故D不符合题意；

故选：C．

2. D

解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D.是中心对称图形，

故选：D

3. B

解：由二次函数的定义，可以化为关于的最高次数为2次的整式方程，B项可化为，故选B．

4. C

解：有两个不相等的实数根，

，

∴且，

故选：．

5. A

解：抛物线 可由抛物线 右移个单位长度，再下移个单位长度得到，

故选：A．

6. B

解：由图像可知：该二次函数的图像开口向下，即，对称轴为直线，即，所以，二次函数的图像与y轴的正半轴相交，即，与x轴相交于一点，

∴，故①错误；当时，则，即，故②错误；

由二次函数的对称性可知图像与x轴的另一个交点坐标为，

∴由图像可知：当时，，故③正确；

∵二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，

∴，故④正确；

故选B．

7. ，

解：，

或，

∴，，

故答案为：，．

8.

解：由可知其顶点坐标为；

故答案为．

9.

解：根据、两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，

，

，

故答案为：．

10. ①.     ②.

解：∵A的坐标是（-1，1），将绕点O按顺时针旋转，

∴OA=，且A1在x轴正半轴上，

∴A1点的坐标是

∵B的坐标是（-1，0），
∴OB=1，且B1在第一象限的角平分线上，

设点B1

∴

∴

∴得到B1的坐标是

11. 5

解：由一元二次方程的解可得，根据一元二次方程根与系数的关系可知，

∴；

故答案为5．

12. 9或10或18

解：如下图：

（1）当M，N分别与B，F重合时，在中，由题意得：

，

易算得：，根据正多边形的性质得，

，

为等边三角形，即为等边三角形，边长为18，

此时已为最大张角，故在左上区域不存在其它解；

（2）当M，N分别与DF，DB的中点重合时，由（1）且根据三角形的中位线

得：，

，

为等边三角形，边长为9，

（3）在（2）的条件下，阴影部分等边三角形会适当的左右摆动，使得存在无数个这样的等边三角形且边长会在到之间，其中包含边长为，，

，且等边三角形的边长为整数，

边长在到之间只能取9或10，

综上所述：该等边三角形的边长可以为9或10或18．

故答案是：9或10或18．

13. （1）

解：

移项得：，

配方得：，

合并得：，

开方得：，

∴，；

（2）

解：∵，

∴，

∴即，

解得，．

14. （1）

由图象可得，A点坐标为(﹣2，0)，

∵抛物线的对称轴为y轴，

∴点A和点B关于y轴对称，

∴点B的坐标为(2，0)，

故答案为：(﹣2，0)，(2，0)．

（2）

由图象可得，

当函数值y＞0时，表示的是x轴上方的图象，

∵A点坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(2，0)，

∴x的取值范围是或．

故答案为：或．

（3）

由图象可得，

抛物线的最低点坐标为(0，﹣4)，

∴函数值y的最小值是﹣4．

15. 解：不正确．

正确的解答过程如下：，

，

，

则或，

解得，．

16. （1）如图1，四边形EFGH即为所求的矩形；

（2）如图2，四边形AFCE即为所求的菱形.

17. 解：设

将点代入得

解得

所以

18. （1）解：设每千克应涨价元．

根据题意，得：（）（）=6000，

整理得：，

 解得：，

∵要使顾客得到实惠，

∴取，

答：每千克应涨价5元．

（2）设每千克应涨价元．

根据题意，得：（）（）=6200，

整理得：，

∵，

方程无解，

所以利润不能达到6200元．

19. （1）证明：是等边三角形，

，．

线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，

，．

．

．

在△EAB和△DAC中，

，

 ≌．

解： ，，

为等边三角形．

，

≌．

．

∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°，

．

20. 解：（1）旋转可得

（2）旋转中心是点 顺时针旋转了

（3） 理由如下：

如图，延长交于

四边形ABCD是正方形，

21. 解：（1）设y与x之间的函数解析式为，

由题意得：，

∴，

∴y与x之间的函数解析式为；

（2）设该网点每天的利润为W，

由题意得：，

∵该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，

∴，即，

解得或（舍去），

∴该食品的售价为30元；

（3）∵该食品的日销量不低于90千克，

∴，

∴，

∴，

由（2）得，

∵，

∴当时，W随x增大而增大，

∴当时，W有最大值，最大值为元，

故答案为：35，1350．

22. （1）

根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，

即设抛物线的解析式为：，

∵，

∴，

将代入中，可得，

∴，

∴抛物线解析式为：，

令，可得，

∴解得，（根据题意，负值舍去）

∴的坐标为，

∴，

即水流落地点B到点O的距离为，

故答案为：，；

（2）

根据题意令，可得，

∴解得，（根据题意，负值舍去）

∴的坐标为，即，

∴点E应该与OA的距离为，

故答案为：；

（3）

根据题意，设新的抛物线解析式为：，

∵水池直径为，中心点O处在水池中央，

∴中心点O与水池边的距离为，

∴可知此时水流落地点的坐标为：，

将代入中，可得，

∴解得，

∴此时抛物线的解析式为：，

令时，有，

∴此时，

∴，

即此时水管的高度为．

23. （1）证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，

∴∠FBC=∠EAC．

又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，

∴∠BDP+∠FBC=90°，

∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC）=90°，

∴AP⊥BE．

（2）证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，

∴四边形CEPF是矩形．

∵CE=CF   

∴四边形CEPF是正方形．

∴CE=EP=FP． 

又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°

∴△CED≌△BPD，

∴CE=BP．

∴EP+FP=2CE=2BP． 

（3）成立．

理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．

∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，

∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．

∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，

∴∠CEG=∠CFH．

∵∠CGE=∠CHF=90°，

∴△CEG≌△CFH，       

∴CH=CG，EG=FH． 

 ∴EP+FP=GP+HP

∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，

∴四边形CGPH是正方形．   

又（2）可知，GP+PH=2BP，

∴EP+PF=2BP．