中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 一次函数（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 一次函数（含答案），共15页。试卷主要包含了常量与变量，函数，确定函数自变量取值的范围的方法，函数的解析式，函数的图像，描点法画函数图形的一般步骤，函数的表示方法等内容，欢迎下载使用。

1.常量与变量
（1）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
（2）常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和y，并且对于x的每一个确定的
值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。
3.确定函数自变量取值的范围的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
4.函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式。
5.函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6.描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
7.函数的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
知识点2：一次函数
1.正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
2.正比例函数的性质
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当b=0， k≠0时， y=kx仍是一次函数．
⑶当b=0， k=0时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
4.一次函数的性质
一次函数一般形式是 y=kx+b (k不为零) = 1 \* GB3 ① k不为零 = 2 \* GB3 ②x指数为1 = 3 \* GB3 ③ b取任意实数。一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（- SKIPIF 1 < 0 ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k SKIPIF 1 < 0 0)
（2）必过点：（0，b）和（- SKIPIF 1 < 0 ，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
SKIPIF 1 < 0 直线经过第一、二、三象限
SKIPIF 1 < 0 直线经过第一、三、四象限
SKIPIF 1 < 0 直线经过第一、二、四象限
SKIPIF 1 < 0 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
5.直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的位置关系
（1）两直线平行 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
（2）两直线相交 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（3）两直线重合 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
（4）两直线垂直 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
知识点3：一次函数的应用
一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用。例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。
一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的实用价值和乐趣。
1.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未
知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
2.一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-b/k，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.
3.一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
4.一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
5.一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= SKIPIF 1 < 0 的图象相同.
（2）二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 的解可以看作是两个一次函数
y= SKIPIF 1 < 0 和y= SKIPIF 1 < 0 的图象交点.
6.一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
（1）一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（ SKIPIF 1 < 0 ，0）.
（2）直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s= SKIPIF 1 < 0
《一次函数》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.若函数y=(m﹣3)x|m|﹣2是正比例函数，则m值为( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.不能确定
2.下列函数(1)y＝πx；(2)y＝2x﹣1；(3)y＝eq \f(1,x)；(4)y＝22﹣x；(5)y＝x2﹣1中，一次函数的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是( )
A.k1＜k2＜k3＜k4 B.k2＜k1＜k4＜k3
C.k1＜k2＜k4＜k3 D.k2＜k1＜k3＜k4
4.在平面直角坐标系中，若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则直线y＝bx＋k不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.关于函数y＝﹣2x+3，下列说法中不正确的是（ ）
A.该函数是一次函数
B.该函数的图象经过一、二、四象限
C.当x值增大时，函数y值也增大
D.当x＝﹣1时，y＝5
6.已知P(x，y)是直线y＝eq \f(1,2)x﹣eq \f(3,2)上的点，则2x﹣4y﹣3的值为( )
A.3 B.﹣3 C.1 D.0
7.直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是( )
A.y=3x+3 B.y=3x﹣2 C.y=3x+2 D.y=3x﹣1
8.如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式﹣2x＞ax＋3的解集是( )
A.x＞2 B.x＜2 C.x＞﹣1 D.x＜﹣1
9.已知一次函数y=eq \f(3,2)x+m和y=-eq \f(1,2)x+n的图象都经过点A(﹣2,0)，且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积等于( ).
A.2 B.3 C.4 D.6
10.体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若(x,y)恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是( )
A.y＝x＋9与y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(22,3) B.y＝﹣x＋9与y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(22,3)
C.y＝﹣x＋9与y＝﹣eq \f(2,3)x＋eq \f(22,3) D.y＝x＋9与y＝﹣eq \f(2,3)x＋eq \f(22,3)
11.一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费.这两种收费方式的通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
小红根据图象得出下列结论：
①l1描述的是无月租费的收费方式；
②l2描述的是有月租费的收费方式；
③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为( )
A.(eq \f(5,2)，eq \f(5,2)) B.(3,3) C.(eq \f(7,4)，eq \f(7,4)) D.(eq \f(9,4)，eq \f(9,4))
二、填空题（每空3分，共18分）
13.当m＝___________时，函数y＝(m＋3)x2m＋1＋4x﹣5(x≠0)是一次函数.
14.已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1的图象上的两点，则a与b的大小关系是 .
15.已知点P(a，b)在一次函数y＝x＋1的图象上，则b﹣a＝ .
16.如图，直线y＝kx＋b经过点A(﹣1，﹣2)和点B(﹣2，0)，不等式2x＜kx＋b＜0的解集为 .
17.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米，关于y与x的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米/秒.
18.在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，与x轴相交于点D，按如图所示的方式作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3，…都在直线y＝x＋1上，点C1，C2，C3，…都在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为 (用含n的代数式表示，n为正整数).
三、解答题（7个小题，共66分）
19.已知一次函数y=(m-3)x+m2-9．
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 随x的增大而增大，求m的取值范围．
20.一次函数y＝ax－a＋1(a为常数，且a≠0).
(1)若(－eq \f(1,2),3)在一次函数y＝ax－a＋1的图象上，求a的值.
(2)当－1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值.
21.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(﹣1，1)和点(1，﹣5)
(1)求一次函数的表达式；
(2)此函数与x轴的交点是A，与y轴的交点是B，求△AOB的面积；
(3)求此函数与直线y＝2x＋4的交点坐标.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝kx﹣k的图象的交点坐标为A(m，2).
(1)求m的值和一次函数的解析式；
(2)设一次函数y＝kx﹣k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；
(3)直接写出使函数y＝kx﹣k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围.
23.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 h．
(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式．
(3)当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
24.某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.
(1)求这两种品牌计算器的单价；
(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x(x＞5)个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
(3)当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
25.一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋By＋C＝0(A，B，C是常数，且A，B不同时为0).如图1，点P(m，n)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离(d)计算公式是：d＝eq \f(|A·m＋B·n＋C|,\r(A2＋B2)).如图2，已知直线y＝－eq \f(4,3)x－4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M(3，2)，连接MA，MB，求△MAB的面积.
答案
1.B
2.B
3.B
4.C
5.C.
6.A.
7.D.
8.D.
9.C
10.C
11.D
12.D
13.答案为：﹣3，0，﹣eq \f(1,2).
14.答案为：a＞b.
15.答案为：1.
16.答案为：﹣2＜x＜﹣1.
17.答案为：20；
18.答案为：22n－3.
19.解:(1)根据题意，得
SKIPIF 1 < 0 解得m=-3；
(2)根据题意，得m-3>0，解得m>3.
20.解：(1)把(－eq \f(1,2),3)代入y＝ax－a＋1，得
－eq \f(1,2)a－a＋1＝3，解得a＝－eq \f(4,3).
(2)①当a>0时，y随x的增大而增大，则当x＝2时，y有最大值2，
把x＝2，y＝2代入函数表达式，
得2＝2a－a＋1，解得a＝1；
②当a<0时，y随x的增大而减小，则当x＝－1时，y有最大值2，
把x＝－1，y＝2代入函数表达式，
得2＝－a－a＋1，解得a＝－eq \f(1,2)，
∴a＝－eq \f(1,2)或a＝1.
21.解：(1)∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(﹣1，1)和点(1，﹣5)，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣3x﹣2；
(2)∵令y＝0，则x＝﹣eq \f(2,3)；令x＝0，则y＝﹣2，
∴A(﹣eq \f(2,3)，0)，B(0，﹣2)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×2＝eq \f(2,3)；
(3)∵解方程组得，，
∴此函数与直线y＝2x＋4的交点坐标为(﹣eq \f(6,5)，1.6).
22.解：(1)把A(m，2)代入y＝x得m＝2，则点A的坐标为(2，2)，
把A(2，2)代入y＝kx﹣k得2k﹣k＝2，解得k＝2，
所以一次函数解析式为y＝2x﹣2；
(2)把x＝0代入y＝2x﹣2得y＝﹣2，则B点坐标为(0，﹣2)，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)×2×2＝2；
(3)自变量x的取值范围是x＞2.
23.解：(1)30cm，25cm；2h，2.5h.
(2)设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为y＝k1x＋b1.
由图可知，函数的图象过点(2，0)，(0，30)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k1＋b1＝0，,b1＝30，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－15，,b1＝30.))
∴y＝－15x＋30.
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为y＝k2x＋b2.
由图可知，函数的图象过点(2.5，0)，(0，25)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2.5k2＋b2＝0，,b2＝25，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝－10，,b2＝25.))
∴y＝－10x＋25.
(3)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－15x＋30，,y＝－10x＋25，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝15.))
∴当x＝1时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等．
24.解：(1)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为x、y元，由题意得，
，解得.
答：A、B两种品牌的计算器的单价分别为30元、32元；
(2)y1＝24x，
y2＝160＋(x﹣5)×32×0.7＝22.4x＋48；
(3)当x＝50时，y1＝24x＝1200，
y2＝22.4x＋48＝1168，
∵1168＜1200，
∴买B品牌的计算器更合算.
25.解：由题意得A(－3，0)，B(0，－4)，则OA＝3，OB＝4，
由勾股定理得AB＝5.
如图，过点M作ME⊥AB于点E，则ME＝d.
y＝－eq \f(4,3)x－4可化为4x＋3y＋12＝0，
由上述距离公式得
d＝eq \f(|4×3＋3×2＋12|,\r(32＋42))＝eq \f(30,5)＝6，
即ME＝6，∴S△MAB＝eq \f(1,2)×5×6＝15.
一次
函数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
符号
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图象
性质
SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大
SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小
b>0
b<0
b=0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小