69，重庆市沙坪坝区第八中学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份69，重庆市沙坪坝区第八中学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题，共33页。试卷主要包含了 的相反数是， 如图，，，则的大小为， 由n等内容，欢迎下载使用。

1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
【详解】解；的相反数是，
故选D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高3. 如图，，，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了．
4. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改变，由此逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，∴，故该选项成立，不合题意；
、∵，∴，故该选项成立，不合题意；
、∵，∴，∴，故该选项成立，不合题意；
、∵，当时，；
当时，不等式两边除以无意义；
当时，；
故该选项不一定成立，符合题意；
故选：．
5. 若要调查下列问题，你认为适合采用全面调查的是（ ）
A. 对全国中学生每天睡眠时长情况的调查
B. 对某市中小学生周末手机使用时长的调查
C. 对新都区居民知晓“一盔一带”交通法规情况的调查
D. 对“神舟十七号”载人飞船发射前各零部件质量情况的调查
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A．对全国中学生每天睡眠时长情况的调查，适合抽样调查，故A不符合题意；
B．对某市中小学生周末手机使用时长的调查，适合抽样调查，故B不符合题意；
C．对新都区居民知晓“一盔一带”交通法规情况的调查，适宜采用抽样调查，故C不符合题意；
D．对“神舟十七号”载人飞船发射前各零部件质量情况的调查，适合全面调查，故D符合题意．
故选：D．
6. 若点都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
又∵都在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，熟记概念是关键．
7. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设乙同学的速度是米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】解∶设乙同学的速度是米/分，可得：
故选∶ D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8. 如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据为的直径，可得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为的圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质是解题的关键．
9. 如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理的应用等，解题的关键是构造正方形．
作，构造正方形，设，易证，由此列出比例式可求解a的值，然后在中，利用勾股定理即可求得的长度．
【详解】过点F作于点M，作于点N，如图所示．

∵四边形为正方形，，
∴
∵，
∴四边形为矩形．
∵平分，
∴．
∴四边形为正方形．
∴，
设，则
∵，
∴
即，
解得：
在中，，
由勾股定理，得
故选：C．
10. 由n（）个正整数组成一列数，记为，，…，任意改变它们的顺序后记作，，…，若，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，，…，则M一定为偶数；
②当时，若，，为三个连续整数，则M一定为偶数；
③若M为偶数，则n一定为奇数；
④若M为奇数，则n一定为偶数．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶数偶数偶数，偶数奇数奇数，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，偶数奇数偶数，分别对每一结论进行推断即可．
【详解】解：①，，，
，，也分别是偶数，
、、、、的结果分别是偶数，
是偶数，
故①符合题意；
，，为三个连续整数，
三个数中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，
任意改变它们的顺序后，，中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，
、、中一定有一个偶数，
一定为偶数；
故②符合题意；
为偶数，
、、、，中一定有一个偶数，
若，，，均为偶数时，无论奇数还是偶数，都是偶数，
故③不符合题意；
为奇数，
、、、，中一定都是奇数，
，，，中奇数与偶数的个数相等，
是偶数，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，理解题意，根据奇数与偶数的性质进行推断是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 计算：_____．
【答案】0
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根以及绝对值的定义分别化简各项，再相减．
【详解】解：
=
=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
12. 若，则的值是 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，变形代入计算即可．
【详解】，
故，
故答案为：7．
13. 如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边，则的数为__________．
【答案】66°##66度
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可；
【详解】解：因为△CDF是等边三角形，
所以∠CDF=60°，
因为∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°，
所以∠BCF=108°-60°=48°，
因为BC=CF，
所以∠BFC=（180°-48°）÷2=66°．
故答案为：66．
【点睛】此题考查了等边三角形和多边形的内角和，解题的关键是明确等边三角形的每个内角都是60°和多边形的内角和公式．
14. 不透明袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了画树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．
【详解】设两个红球分别为A，B，黑球为C，白球为D，根据题意，画树状图如下：
．
一共有12种等可能性，其中，一红一黑等可能性有4种．
故摸出1个红球1个黑球的概率为，
故答案为．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，BC＝4，∠BCA＝30°，E为AD上一点，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点F，若BF＝AB，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留��）．
【答案】
【解析】
【分析】由∠BAC＝90°，BC＝4，∠BCA＝30°，求得AB＝2，∠B＝60°，AC＝2，四边形ABCD是平行四边形，得到∠CAD＝∠BCA＝30°，∠ACD＝∠BAC＝90°，证明△ABF是等边三角形，得AE＝AF＝2，利用阴影部分的面积＝代入数值即可得到答案．
【详解】解：连接AF，
∵∠BAC＝90°，BC＝4，∠BCA＝30°，
∴AB＝BC＝2，∠B＝90°－∠BCA＝60°，AC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，ADBC，ABCD，
∴∠CAD＝∠BCA＝30°，∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵BF＝AB，
∴△ABF是等腰三角形，
∵∠B＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF＝AB＝2，
∴AE＝AF＝2，
∴阴影部分的面积＝
＝
＝．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，扇形面积公式等知识，证明△ABF是等边三角形是解题的关键．
16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的整数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围．
【详解】解：分式方程去分母得：，
整理，得，
故
∵方程有整数解，且，
∴，，，，，，
解得，，，，，，且，
解不等式组得：，
∵不等式组至多有6个整数解，
∴，
∴，
∴或或或，
∴符合条件的所有整数m的和是，
故答案为：．
17. 如图，等边中，点D在上，点E在上，，连接、交于点F，，，则的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】过点E作于点G，过点D作于点H，利用勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，三角形全等计算即可．
【详解】∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点E作于点G，
则，
设
则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
过点D作于点H，
则，

设
则，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，正切函数，勾股定理，熟练掌握三角函数，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
18. 对于各位数字均不为零的三位自然数，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”，例如是“对偶数”；又如不能被3整除，不是“对偶数”，将m的百位数字放在其个位数字后得，再将的百位数字放在其个位数字后得．记．已知一个“对偶数”（其中），若能被7整除，则所有满足条件的n的最大值为 ________．
【答案】514
【解析】
【分析】本题主要考查了整除问题以及新定义“对偶数”，正确理解新定义“对偶数”以及运用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
先表示出，进而得出，即可得出，进而得出是7的倍数，可推导21或35或49，最后分类讨论即可求出答案．
【详解】∵，
∴，，
∴
，
∴
，
∵能被7整除，
∴是7的倍数，
∵，且a、b为整数，
∴，，
∴，
∴14或21或28或35或42或49，
∵，即为偶数，
∴是奇数，
∴21或35或49，
①当时，，
∵a、b为整数，
∴，，
∴，
∵，8能被2整除，
∴224是“对偶数”，符合题意；
②当时，，
∵a、b为整数，
∴，或，或，，
当，时，，，12不能被7整除，故174不是“对偶数”，不符合题意；
当，时，，，11不能被4整除，故344不是“对偶数”，不符合题意；
当，时，，，10能被1整除，故514是“对偶数”，符合题意；
③当时，，
∵a、b为整数，
∴，或，，
当，时，，，14不能被6整除，故464不是“对偶数”，不符合题意；
当，时，，，13能被3整除，故634不是“对偶数”，不符合题意；
综上所述，所以满足条件的n为224或514．
则所有满足条件n的最大值为514，
故答案为：514．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【小问1详解】
解：原式＝
；
【小问2详解】
解：原式＝
．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
20. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1）尺规作图，以为边，为顶点作交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）．
证明：四边形为矩形
在和中
②______
③______
即
四边形为平行四边形（④______）（填写推理依据）．
【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查了作与已知角相等的角的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质等知识，证明是解答本题的关键．
（1）根据作一个角等于已知角的作图方法作图即可；
（2）根据全等三角形的判定得出，再由平行四边形的判定即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示即为所求；
【小问2详解】
证明：四边形为矩形
在和中
即
四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
21. 某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”该公司共有10个部门，且各部门的人数相同.为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息..部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，）：
.部门每日餐余重量在这一组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8
.部门每日餐余重量如下：1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
. 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是________（填“”或“”），理由是____________；
（3）结合这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量.
【答案】(1)m=6.8，n=6.9;(2) A，A部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数（3）15600kg．
【解析】
【分析】（1）根据频数（率）分布直方图中数据即可得到结论；
（2）根据表中数据即可得到结论；
（3）根据A、B两个部门这20个工作日每日餐余量的平均数即可得到结论．
【详解】（1）m==6.8，n=6.9；
（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是A，理由是A部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数；
故答案为A，A部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数．
（3）10×240×=15600kg，
答：估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余重量15600kg．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，求中位数和众数等等，正确的理解题意是解题的关键．
22. 某大型包裹分拣中心采用人工分拣和机器自动化分拣对包裹进行分拣．
（1）已知一条人工分拣流水线5分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线3分钟分拣的包裹总量为210件，一条人工分拣流水线3分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线6分钟分拣的包裹总量为315件．求一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？
（2）随着智能化发展，该包裹分拣中心将人工分拣流水线更换为智能分拣流水线，其每分钟平均分拣的包裹数量是自动分拣流水线的4倍，分拣完1500件包裹，一条智能分拣流水线比一条自动分拣流水线少用25分钟，求一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？
【答案】（1）一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为15件，45件
（2）一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为45件，180件
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程以及分式方程的实际应用：
（1）先设一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为x件，y件，再依题意，列式计算，即可作答．
（2）设一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为a件，则一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为件，再依题意，列式计算，即可作答．
注意分式方程要验根
【小问1详解】
解：解：设一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为x件，y件，
由题意得
解方程组，得
答：一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为15件，45件．
【小问2详解】
解：设一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为a件，则一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为件，由题意得
解方程，得．
经检验，当时，．
所以，原分式方程解为，且．
答：一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为45件，180件．
23. 如图，在中，，，动点和分别以每秒3和4个单位长度速度同时从点出发，点沿方向运动，到达点即停止运动，点沿方向运动，到达点即停止运动．设运动时间为秒，，．

（1）请直接写出和关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时的值，保留1位小数，误差小于．
【答案】（1），，
（2）作图见详解，在时，的函数图象关于轴对称
（3）时，，
【解析】
【分析】本题主要考查了求解一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象与性质；
（1）根据运动的特点有：，，且，问题随之得解；
（2）由题意画出图象，由二次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）中的图象及一次函数与二次函数的交点可得出答案．
【小问1详解】
根据运动的特点有：，，且，
∵在中，，，，
∴，，
，；
【小问2详解】
如图，

函数的一条性质为：在时，函数图象关于轴对称；
【小问3详解】
由图象可知：时，，．
24. 如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向．（参考数据：，，）
（1）求的距离；（结果保留整数）
（2）渔船在B处改变航行线路，沿北偏东方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．
【答案】（1）164海里
（2）不能
【解析】
【分析】（1）由题意先得到，，利用和中的三角函数表示，进行求解即可得出结论；
（2）根据题意可得，利用和中的三角函数求得和的长度，由路程=时间×速度求得时间，再进行比较即可．
【小问1详解】
解：过点作，由题意得(海里)，
在A处测得小岛C在北偏东方向，则，
在B处测得小岛C在北偏东方向，则，
设海里，
在中，，则，
，则，
在中，，则，
且，
，
解得，
答：的距离为164海里；
【小问2详解】
解：与小岛C最近的D处，即，
在B处沿北偏东方向继续航行，则,
在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行，则，
，
由（1）得的距离为164海里，
在中，，
，
在中，，
，
渔船所用时间为：，
答：渔船不能在下午5点之前到达E处
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
25. 如图1：平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，点是抛物线上一点，
（1）求抛物线表达式．
（2）如图2，点是y轴上一点，连接，点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作轴交直线于点E，在射线上取一点F，使得，求周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点N，射线上有一点G，连接，过点G作的垂线与抛物线交于点M，连接，若，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）周长的最大值为：，
（3）点M的坐标为：，，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）延长交x轴于点于点H，由待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，根据二次函数的性质即可得到答案．
（3）根据，得到抛物线沿射线方向平移4个单位长度即将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，确定解析式后分点M在第一象限和第三象限解答即可．
【小问1详解】
∵点，是抛物线上的点，
解得，
故抛物线的解析式为．
【小问2详解】
延长交x轴于点于点H，
∵点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
设的周长为w，
则
∵轴，
∴轴，
设直线的解析式为：，
将点，，
代入直线的解析式得：，
解得，
直线的解析式为：，
设，则，
∴
，
，
∴，
由可得，w有最大值，
且当，的周长的最大值为，
当时，，
∴点．
【小问3详解】
∵，
∴抛物线沿射线方向平移4个单位长度即将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
得，
故，
故抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵点G是直线的解析式为：，
设，
当点M在第一象限时，
过点G作于点L，过点M作于点T，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
解得，
∴或；
当点M在第三象限时，
过点G作于点L，过点M作于点T，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴，
∴；
综上所述，符合题意的点坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
26. 在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接．
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，连接，若，点G为的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）本题根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题．
（2）本题根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题．
（3）本题根据题意分析点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小为，求出的值，即可解题．
【小问1详解】
解： ，
，
又，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
．
【小问2详解】
解：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：
G为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
即，
又，，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
【小问3详解】
解：点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线垂足为点I，如图所示：
是等边三角形，，
，，
由旋转性质可得，，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在等边中，，，
，
的最小值是．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，中点的性质、旋转的性质、对称的性质、矩形的判断和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．部门
平均数
中位数
众数

6.4
7.0

6.6
7.2